周娜，宓為建，姜波

(1.上海海事大學(xué)物流工程學(xué)院，上海 201306;2.上海海洋大學(xué)工程學(xué)院，上海 201306)

0 引言

設(shè)備單行布局是指n臺(tái)設(shè)備以給定的方向沿一條給定的線排列［1］，其形式簡單、安全性高，且其數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建及求解都相對(duì)簡單，是制造業(yè)常用的布局形式，但很少有文獻(xiàn)對(duì)它進(jìn)行單獨(dú)研究.文獻(xiàn)［2］把設(shè)備單行布局歸結(jié)為多行布局問題的特例，其研究針對(duì)直線型的布局形式，沒有考慮U形［3］、半圓形［4］等設(shè)備布局方式;文獻(xiàn)［5］提出基于總運(yùn)距最小的單行布局模型，該模型基于很多理想考慮且優(yōu)化目標(biāo)過于單一;文獻(xiàn)［6］構(gòu)建設(shè)備單行布局的多目標(biāo)優(yōu)化模型并采用QUEST仿真，沒有考慮仿真軟件的不穩(wěn)定性對(duì)仿真結(jié)果的影響，并且忽略不確定性物流對(duì)設(shè)備布局的影響及部分檢驗(yàn)設(shè)備間到達(dá)關(guān)系對(duì)物流距離的影響;文獻(xiàn)［7］和［8］構(gòu)建直線形設(shè)備間作必要訪問次數(shù)的物流費(fèi)用模型并用遺傳算法進(jìn)行求解，但遺傳算法在求解U形和半圓形設(shè)備布局時(shí)顯得力不從心，更多應(yīng)用于設(shè)備多行布局模型求解中.基于上述研究現(xiàn)狀，本文構(gòu)建設(shè)備在不確定環(huán)境下多產(chǎn)品生產(chǎn)的多目標(biāo)單行布局優(yōu)化模型，并考慮產(chǎn)品部分檢驗(yàn)設(shè)備間到達(dá)關(guān)系對(duì)物流距離的影響，以模糊物流成本模型替代傳統(tǒng)物流成本模型并用eM－Plant仿真.仿真結(jié)果的預(yù)期性和穩(wěn)定性表明本文模型更加貼合實(shí)際生產(chǎn)，不僅可為相關(guān)研究提供參考，也可用作中小型生產(chǎn)企業(yè)的設(shè)備布局指導(dǎo).

1 問題描述和模型假設(shè)

1.1 問題描述

可以將設(shè)備單行布局問題描述為:n臺(tái)設(shè)備，可以采用直線形、U形和半圓形等3種常用的單行布局形式，在已知產(chǎn)品k加工工位Ski(k=1，2，…，m;i=1，2，…，n)的尺寸、加工時(shí)間、物流量和最小間距等條件下，確定設(shè)備的最優(yōu)布局形式，使產(chǎn)品的物流成本、加工時(shí)間和車間面積利用率等目標(biāo)達(dá)到最優(yōu).

1.2 模型假設(shè)

模型基于如下基本假設(shè):(1)所有設(shè)備和車間形狀均為矩形;(2)同一工位上的幾臺(tái)設(shè)備并聯(lián)后作為一臺(tái)設(shè)備處理;(3)設(shè)備按同一方位布置，直線形布局中心點(diǎn)位于一條直線上，U形布局中心點(diǎn)位于U形線上，半圓形布局中心點(diǎn)位于同一圓周上;(4)產(chǎn)品加工順序與工位編號(hào)順序一致;(5)產(chǎn)品尺寸較小，忽略原材料、半成品和產(chǎn)成品在車間占用的面積.

2 設(shè)備單行布局模型構(gòu)建

2.1 模糊物流成本數(shù)學(xué)模型

2.2 模糊加工時(shí)間數(shù)學(xué)模型

2.3 面積利用率數(shù)學(xué)模型

由于產(chǎn)品尺寸較小，忽略其原材料、半成品和產(chǎn)成品在車間占用的面積.因此，面積利用率是指車間的所有設(shè)備面積之和占包絡(luò)所有設(shè)備最小矩形面積的比例.所有設(shè)備的面積之和不變，包絡(luò)所有設(shè)備的矩形面積越小，面積利用率越大;布局越緊湊，車間剩余的面積越大，即可再利用的面積越大.因此，設(shè)備布局追求面積利用率最大化.

式(3)～(6)中:η為車間面積利用率;si為設(shè)備i的面積;S為包絡(luò)車間全部設(shè)備的最小矩形面積;xi和yi為設(shè)備i的中心點(diǎn)分別到x軸和y軸的距離;li和hi為設(shè)備 i的長和高;(xa，ya)，(xb，yb)為包絡(luò)矩形的左下角a點(diǎn)和右上角b點(diǎn)的坐標(biāo).

將物流成本、加工時(shí)間和面積利用率多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化函數(shù):

因?yàn)椴季中问降牟煌?，需要有針?duì)性地額外設(shè)定一些約束:

(2)設(shè)備呈U形布局時(shí)，所有設(shè)備坐標(biāo)滿足xi≠xj，yi=yj或 xj=xp，yj≠yp，因此要滿足約束

保證設(shè)備在x和y軸方向上不重疊;U形布局兩行之間最小間距必須滿足約束

(3)設(shè)備呈半圓形布局時(shí)，要滿足約束

保證設(shè)備在x和y軸方向上不重疊;i，j，p=1，2，…，n.

車間和設(shè)備尺寸見圖1.圖1中H為車間的長和高;h為U形布局兩行之間的最小間距.

圖1 車間布局及設(shè)備幾何尺寸

3 基于部分檢驗(yàn)和不等概率到達(dá)關(guān)系的物流成本模型

第2.1節(jié)的成本模型假設(shè)每個(gè)工位只有1臺(tái)設(shè)備且產(chǎn)品必須全部接受檢驗(yàn).實(shí)際上，生產(chǎn)線上的每個(gè)工位根據(jù)生產(chǎn)能力需求可能有多臺(tái)設(shè)備，其加工能力和尺寸也不盡相同，并且在多數(shù)情況下，部分產(chǎn)品無須檢驗(yàn)而被直接傳送到后續(xù)加工工位.這樣，工位間設(shè)備的到達(dá)關(guān)系和檢驗(yàn)概率對(duì)物流距離有很大影響，因此需修正第2.1節(jié)物流成本模型.

設(shè)加工工位S有nS臺(tái)設(shè)備(S=1，2，…，M)，不需要送檢的產(chǎn)品比例為X%，需要送到檢測設(shè)備E的產(chǎn)品比例為Y%，需要送到檢測設(shè)備F的產(chǎn)品比例為 Z%，滿足 X＞0，Y＞0，Z ＞ 0，并 且X+Y+Z=100(見圖2).

工位間無須送檢產(chǎn)品的平均物流距離［9］:

圖2 前后工位間的加工流程

工位間需檢驗(yàn)的部分產(chǎn)品從前一道工位到檢測設(shè)備的平均物流距離

與式(6)相對(duì)應(yīng)，產(chǎn)品從檢測設(shè)備到后續(xù)工位設(shè)備的平均物流距離

綜合式(8)～(10)，前后工位部分檢驗(yàn)產(chǎn)品的平均物流距離

于是，考慮前后工位設(shè)備間不等概率到達(dá)關(guān)系 和產(chǎn)品部分檢驗(yàn)的物流成本

4 設(shè)備單行布局問題eM－Plant仿真

4.1 案例說明

以某日化企業(yè)面膜生產(chǎn)車間設(shè)備布局為例進(jìn)行驗(yàn)證.車間長12 m，寬12 m，負(fù)責(zé)生產(chǎn)兩種面膜產(chǎn)品P1和P2，原來生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品需要花費(fèi)的物流成本為242.7元/h，消耗的產(chǎn)品加工時(shí)間為4 512 s，車間面積利用率為28.3%.

利用三角函數(shù)處理模糊加工時(shí)間和物流頻率，在 eM－Plant中三角分布函數(shù)為 z_triangle(s，a，b，c).其中:s表示生成三角分布使用的隨機(jī)數(shù)流序號(hào);a，b，c分別表示三角分布的3個(gè)參數(shù)，其中a為最小值，b為最可能值，c為最大值.表1和2是按照(a，b，c)的格式給出加工時(shí)間和物流頻率三角分布參數(shù)值的.以灌裝工位為例，加工時(shí)間三角函數(shù)中(a，b，c)分別對(duì)應(yīng)工位時(shí)間的(0.267，0.315，0.412).

由于每個(gè)工位的所有設(shè)備加工能力基本一致，所以設(shè)備間到達(dá)關(guān)系為等概率到達(dá).設(shè)需要經(jīng)過檢驗(yàn)的產(chǎn)品占總產(chǎn)品比例的10%，每個(gè)檢驗(yàn)工位只有一項(xiàng)檢驗(yàn)內(nèi)容.灌裝工位有4臺(tái)灌裝設(shè)備，每臺(tái)設(shè)備的尺寸為1.5 m×1 m，根據(jù)模型假設(shè)(2)，灌裝工位的尺寸為1.5 m×4 m，其他工位同理.因此，各個(gè)工位設(shè)備尺寸和單位產(chǎn)品的工位加工時(shí)間(均服從三角分布)見表1.

表1 車間不同工位尺寸及加工時(shí)間

只有工位 S1與 S2，S5與 S6，S9與 S10在坐標(biāo)系中x軸和y軸方向均需要保持1 m的最小間距，其余各工位沒有距離要求.因此，對(duì)于P1只需計(jì)算S1與S2，S5與S6，S9與S10間的當(dāng)量物流量和物流頻率即可;對(duì)于P2，由于其不需要S7加工，在P1的基礎(chǔ)上還要計(jì)算S6與S8之間的當(dāng)量物流量和物流頻率，見表2.

表2 P1/P2當(dāng)量物流量和物流頻率

設(shè)所有工位間的物流費(fèi)用為2×10－3元/m，U形布局兩行之間的最小間距為1.5 m.采用專家評(píng)分法確定優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)重因數(shù)ui={0.39，0.35，0.26}.

4.2 仿真模型構(gòu)建及穩(wěn)態(tài)分析

車間設(shè)備直線形、半圓形和U形的eM－Plant系統(tǒng)仿真物理模型見圖3.

4.2.1 穩(wěn)態(tài)仿真次數(shù)設(shè)置

兩次仿真，得出物流費(fèi)用和加工時(shí)間的結(jié)果見表3.

兩次仿真設(shè)置的所有參數(shù)一致，但卻得出不同的結(jié)果.為此，對(duì)直線形布局物流費(fèi)用重新進(jìn)行20次仿真，結(jié)果比較見圖4.

圖3 車間設(shè)備直線形、半圓形和U形的eM－Plant系統(tǒng)仿真模型

表3 第1次仿真結(jié)果

從圖4可見，除第4次仿真結(jié)果異常外，其余仿真結(jié)果差距不大，分布較勻稱.在運(yùn)行仿真模型時(shí)，輸入數(shù)據(jù)的隨機(jī)性會(huì)帶來輸出結(jié)果的隨機(jī)性，如果運(yùn)行一次或幾次仿真，仿真結(jié)果的有效性、精確性和一般性是無法保證的.因此，為了使仿真結(jié)果更加穩(wěn)定、真實(shí)，需要重復(fù)進(jìn)行N次仿真并取其平均值作為最終結(jié)果，這需要借助Experiment對(duì)象完成.

圖4 直線形布局物流費(fèi)用20次仿真結(jié)果

圖5 仿真次數(shù)對(duì)置信區(qū)間的影響

同樣以直線形布局物流費(fèi)用為例，N分別取 10，50，100，200，300和500，置信度取90%，仿真結(jié)果見圖5.

由此可見，當(dāng)N=50時(shí)置信區(qū)間相對(duì)較短，因此取仿真次數(shù)N為50.

4.2.2 穩(wěn)態(tài)仿真產(chǎn)品數(shù)量設(shè)置

分別進(jìn)行1萬件和2萬件產(chǎn)品的仿真，仿真參數(shù)設(shè)置相同，仿真結(jié)果差異很大:當(dāng)仿真產(chǎn)品數(shù)量為1萬件和2萬件時(shí)，物流費(fèi)用分別為154.2元和168.9元.因?yàn)樵诜抡孢\(yùn)行的最初階段模型中沒有產(chǎn)品，處于空閑狀態(tài)，為此本文提出兩種解決方案:一是尋找比空閑初態(tài)更好的初始狀態(tài)，0時(shí)刻在模型中便放置一些產(chǎn)品，然后開始仿真;二是讓模型先運(yùn)行一段時(shí)間“預(yù)熱”，初態(tài)的偏差會(huì)被后面出現(xiàn)的數(shù)據(jù)平衡，即初始狀態(tài)影響被消除，然后清空統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)重新開始.前者需要確定在哪些對(duì)象預(yù)先放置多少產(chǎn)品，而后者需要確定預(yù)熱時(shí)間，即本文的產(chǎn)品數(shù)量設(shè)置為多少，相對(duì)而言，后者容易實(shí)現(xiàn).確定預(yù)熱產(chǎn)品數(shù)量的方法是畫關(guān)鍵變量隨時(shí)間變化的趨勢圖(取多次仿真平均值)，進(jìn)而查看穩(wěn)定狀況，見圖6.

由圖6可以看出，在模型運(yùn)行到6 000時(shí)，模型中產(chǎn)品的數(shù)量趨于穩(wěn)定，因此設(shè)產(chǎn)品的預(yù)熱數(shù)量為6 000，當(dāng)運(yùn)行到6 000后開始進(jìn)行數(shù)據(jù)的收集統(tǒng)計(jì).

圖6 模型中產(chǎn)品數(shù)量

4.3 優(yōu)化結(jié)果與分析

同樣生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品，通過計(jì)算和eM－Plant系統(tǒng)仿真，得出多產(chǎn)品生產(chǎn)直線形、半圓形和U形布局在不同優(yōu)化目標(biāo)下優(yōu)化結(jié)果的對(duì)比情況，見表4.

由表4可知，針對(duì)面膜生產(chǎn)車間，在沒有空間約束的情況下:要實(shí)現(xiàn)物流成本最小，應(yīng)選擇直線形布局;要實(shí)現(xiàn)加工時(shí)間最低，應(yīng)選擇半圓形布局;要實(shí)現(xiàn)面積利用率最大化，應(yīng)選擇U形布局;要實(shí)現(xiàn)三方面的綜合最優(yōu)，應(yīng)選擇直線形布局.由于實(shí)際車間空間有限，直線形布局超出車間范圍，方案無法實(shí)現(xiàn)，因此選擇次優(yōu)方案U形布局.面膜生產(chǎn)車間設(shè)備布局改進(jìn)前后的對(duì)比情況見表5.

表4 車間多產(chǎn)品生產(chǎn)不同優(yōu)化目標(biāo)下最優(yōu)布局

表5 改進(jìn)后車間布局與原來設(shè)備布局狀況比較

由表5計(jì)算可知，面膜生產(chǎn)車間設(shè)備布局改進(jìn)后物流成本降低1.46%，加工時(shí)間縮短3.41%，面積利用率提高53.60%.

5 結(jié)束語

對(duì)加工產(chǎn)品尺寸較小、設(shè)備和車間形狀工整、生產(chǎn)環(huán)境不確定、多產(chǎn)品混合生產(chǎn)的生產(chǎn)車間布局進(jìn)行研究:(1)構(gòu)建不確定性環(huán)境下多產(chǎn)品生產(chǎn)的物流成本、加工時(shí)間和面積利用率的多目標(biāo)組合優(yōu)化模糊數(shù)學(xué)模型;(2)考慮到產(chǎn)品部分檢驗(yàn)和設(shè)備間到達(dá)關(guān)系對(duì)物流距離的影響，修改物流成本計(jì)算公式;(3)構(gòu)建eM－Plant仿真模型，對(duì)常用的直線形、U形和半圓形設(shè)備單行布局進(jìn)行仿真與選優(yōu)，為了增加仿真結(jié)果的精確性和可靠性，討論仿真次數(shù)設(shè)置和仿真產(chǎn)品數(shù)量設(shè)置問題.實(shí)例應(yīng)用證明，基于設(shè)備單行布局理論的仿真，可為決策者從眾多的單行布局類型中選擇出合適的布局方案應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)踐提供理論依據(jù).

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