吳蓓蓓，黃 海，吳文瑞

（北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191）

0 引 言

解析目標(biāo)分流（ATC）方法是密歇西根大學(xué)的Michelena等于1999年基于產(chǎn)品開發(fā)過程的提出的一種復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計方法［1］，主要用于汽車、飛機(jī)等設(shè)計領(lǐng)域［2－3］；協(xié)同優(yōu)化（CO）方法是斯坦福大學(xué)的Kroo等人于1994年針對航空系統(tǒng)學(xué)科間組織困難和通訊困難提出的一種兩級多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化（MDO）方法［4］，在航天飛機(jī)、衛(wèi)星和星座系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用［5－6］。兩種方法既存在相似性也有不同之處，本文在兩種方法基本原理研究的基礎(chǔ)上重點對兩種方法的計算效率進(jìn)行對比，已有研究中，密歇西根大學(xué)的Allison等人通過數(shù)學(xué)解析算例說明了兩種方法的不同點和互補(bǔ)性［7］，文獻(xiàn) ［8］將兩種方法應(yīng)用到飛機(jī)設(shè)計中，得到了相近的結(jié)果，但上述研究對兩種方法的計算效率無對比研究。同時，由于ATC方法在航天器MDO問題中的應(yīng)用研究較少，本文將進(jìn)一步將ATC方法的應(yīng)用某衛(wèi)星設(shè)計問題，推進(jìn)其在航天器設(shè)計領(lǐng)域的應(yīng)用。

1 基本原理

本節(jié)介紹兩種方法的基本原理并討論二者的相似和區(qū)別，它們是ATC與CO方法對比研究的基礎(chǔ)。

1.1 ATC方法

ATC方法起初面向的是可分解為層級問題的產(chǎn)品設(shè)計，如圖1所示，設(shè)計指標(biāo)自系統(tǒng)到子系統(tǒng)到部件不斷分流，同時各級響應(yīng)由下而上不斷反饋，系統(tǒng)、子系統(tǒng)和部件級各單元問題分別獨立求解，上下級間交疊優(yōu)化直到滿足收斂條件優(yōu)化過程停止。以第i級第j個問題Pij為例，其優(yōu)化表達(dá)式如式（1）所示

式中：Xij＝［xij，yij，y（i＋1），R（i＋1），εR，εy］T——設(shè) 計 變 量，它包含局部設(shè)計變量xij，共享設(shè)計變量yij，子問題共享變量y（i＋1）和子問題響應(yīng)矢量 R（i＋1），約束容差εR和εy。其中，y（i＋1）＝｛y（i＋1）k｝k，R（i＋1）＝｛R（i＋1）k｝k，y（i＋1）k，R（i＋1）k——問題Pij第k個子問題的共享變量和響應(yīng)矢量，k＝1，2，…cij，cij——子問題數(shù)目；，——問題 Pij的Rij和yij參 數(shù) 在 父 代 復(fù) 制；，——問 題 Pij的和參數(shù)在子代的復(fù)制；gij，hij——不等式約束和等式約束。

原始ATC方法將容差εR和εy也作為設(shè)計變量，增加了優(yōu)化問題的維數(shù)，Michalek和Papalambros使用罰函數(shù)法［9－10］，將一致性約束直接放入優(yōu)化目標(biāo)降低了優(yōu)化問題維數(shù)。2005年，Tosserams等人用廣義拉格朗日罰函數(shù)代替二次罰函數(shù)，并引入交替方向乘子法協(xié)調(diào)各級優(yōu)化問題，進(jìn)一步提高了ATC方法的計算效率［11］，2010年Tosserams等人又發(fā)展了ATC方法的非層級表達(dá)式，使之適用于一般的復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計問題［12］。

圖1 ATC方法

1.2 CO方法

CO方法將復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計問題沿學(xué)科邊界進(jìn)行分解，各學(xué)科在滿足本學(xué)科約束的情況下獨立獨立進(jìn)行優(yōu)化，系統(tǒng)級通過一致性約束協(xié)調(diào)學(xué)科級問題之間的差異。按照標(biāo)準(zhǔn)CO方法，系統(tǒng)級優(yōu)化問題可以描述為

式中：F（z）——系統(tǒng)級目標(biāo)函數(shù)，z——系統(tǒng)級設(shè)計變量，由學(xué)科間共享設(shè)計變量和耦合參數(shù)變量組成；——系統(tǒng)級約束，又稱為一致性約束，通過調(diào)用學(xué)科優(yōu)化得到，j∈1，2…n，n為學(xué)科數(shù)目。學(xué)科（子系統(tǒng)）級優(yōu)化問題可以描述為

式中：xj＝｛xij｝i——j學(xué)科共享設(shè)計變量，i＝1，2，…h(huán)′j；——j學(xué)科局部設(shè)計變量；yij——j學(xué)科輸出到其他學(xué)科的耦合參數(shù)，i＝＋1，＋2，…h(huán)j；zij——系統(tǒng)級分配到j(luò)學(xué)科的指標(biāo)參數(shù)矢量，i＝1，2，…h(huán)j；cj——j學(xué)科約束。

CO方法由于系統(tǒng)一致性約束而存在一系列缺陷，比如系統(tǒng)級約束函數(shù)不光滑，系統(tǒng)級約束函數(shù)在最優(yōu)解處的雅可比矩陣奇異，學(xué)科級優(yōu)化問題拉格朗日乘子為0等問題。面對CO方法的缺陷，相關(guān)學(xué)者提出了一系列改進(jìn)措施來改善上述問題，如約束松弛法、響應(yīng)面法、罰函數(shù)法等［13］。

1.3 原理對比

表1列出了ATC與CO方法在起源、級數(shù)、分解標(biāo)準(zhǔn)、表達(dá)式、優(yōu)化過程、信息通訊、收斂性等方面的對比信息，可以看出ATC與CO方法雖然在問題的表達(dá)式方面相似，但是在起源、適用級數(shù)、分解標(biāo)準(zhǔn)，特別是優(yōu)化過程、通訊方式、收斂性等方面二者卻不同。在ATC方法中，上下級之間采用交替優(yōu)化的策略，子系統(tǒng)優(yōu)化后向系統(tǒng)級返回共享變量和響應(yīng)參數(shù)，而CO方法中，學(xué)科優(yōu)化嵌套于系統(tǒng)優(yōu)化中，在系統(tǒng)級優(yōu)化每一步均要調(diào)用一次完整的學(xué)科級優(yōu)化，學(xué)科優(yōu)化后向系統(tǒng)返回一致性約束（即學(xué)科優(yōu)化目標(biāo)）。

2 解析算例測試對比

該節(jié)使用ATC和CO方法分別求解兩解析算例，分別給出測試問題在兩種方法下的優(yōu)化表達(dá)式、協(xié)調(diào)策略優(yōu)化結(jié)果對比，重點對兩種方法的計算效率進(jìn)行對比研究。算例一分解后子問題之間僅存在共享設(shè)計變量，算例二子問題之間除了包含共享變量外，還存在耦合參數(shù)［13］，兩者求解過程略有不同。

2.1 算例一

算例一如式（4）所示，該優(yōu)化問題精確最優(yōu)解為X＝［0.8，1.6］和f＝3.2000，為了進(jìn)行算法測試可以將其看為如圖2所示的兩個子問題組成

表1 ATC和CO方法特性對比

圖2 算例一分解

2.1.1 問題表達(dá)式

（1）ATC方法

按照ATC方法，系統(tǒng)級優(yōu)化表達(dá)如式（5）所示，為了避免罰因子過大帶來的病態(tài)問題，采用廣義拉格朗日罰函數(shù)處理偏差項［11］

式中：Z1，Z2——系統(tǒng)級設(shè)計變量；π（c）——廣義拉格朗日罰函數(shù)，c——系統(tǒng)指標(biāo)和子系統(tǒng)響應(yīng)差，上標(biāo)（1）和（2）分別代表子系統(tǒng)1和2的響應(yīng)，v為拉格朗日乘子矢量，w為罰因子矢量。以子問題1為例的優(yōu)化表達(dá)式為

式中：π（c1）——子系統(tǒng)1的優(yōu)化目標(biāo)，同樣采用拉格朗日函數(shù)形式，v1，w1——對應(yīng)的拉格朗日乘子矢量和罰權(quán)重矢量。

（2）CO方法

按照CO方法，系統(tǒng)級優(yōu)化問題表達(dá)如式（5）所示，為了改善一致性約束帶來的缺陷，采用罰函數(shù)法處理一致性約束

式中：J1，J2——學(xué)科1和2的優(yōu)化目標(biāo)，以子問題1為例的優(yōu)化表達(dá)式

式中：x1，x2——學(xué)科1設(shè)計變量；γ——罰參數(shù)；J1由系統(tǒng)目標(biāo)和一致性約束組成。

2.1.2 協(xié)調(diào)策略

ATC方法的協(xié)調(diào)過程如圖3所示，拉格朗日乘子，罰權(quán)重初值和增長步長分別為0，1和2。CO框架如圖4所示，系統(tǒng)優(yōu)化內(nèi)嵌學(xué)科優(yōu)化，罰參數(shù)取為1。

2.1.3 優(yōu)化結(jié)果

尋優(yōu)算法采用序列二次規(guī)劃（NLPQL）算法，系統(tǒng)和子系統(tǒng)（學(xué)科）問題均采用解析法計算敏度，收斂精度為1e－5，一致性約束要求不超過1e－4，選定5組初值分別進(jìn)行計算，所需運算次數(shù)和結(jié)果誤差的平均值見表2。

從表2可以看出，ATC和CO計算精度相當(dāng)；就系統(tǒng)級函數(shù)運算次數(shù)來說，ATC方法約是CO方法的3倍；就子系統(tǒng)函數(shù)運算次數(shù)來說（以子系統(tǒng)1為例），CO方法約是ATC方法的3倍；就系函數(shù)總運算次數(shù)說，CO方法約是ATC方法的1.6倍，表明采用ATC方法的計算效率高于CO方法。

表2 算例一優(yōu)化結(jié)果對比

2.2 算例二

算例二如式（9）所示，該問題全局最優(yōu)解為X＝［3.03，0，0］和f＝8.00286，將其看作如圖5所示的兩子問題組成，y1和y2為學(xué)科間耦合參數(shù)

圖5 算例二分解

算例二問題表達(dá)式、協(xié)調(diào)過程同算例一基本類似，。對于耦合參數(shù)，通過將其作為設(shè)計變量實現(xiàn)子問題之間的解耦。對于優(yōu)化過程，ATC方法求設(shè)置拉格朗日乘子，罰權(quán)重初值和增長步長分別為0，0.1和1.2；對于CO方法，通過求解序列罰參數(shù)下的系統(tǒng)級優(yōu)化問題來獲得滿足一致性約束的優(yōu)化結(jié)果，罰參數(shù)序列初值為1，增長因子為1.2。對于尋優(yōu)算法，同樣采用NLPQL法，但敏度計算通過有限差分法計算，并計入函數(shù)運算次數(shù)，同樣選取5組初值進(jìn)行計算，所需運算次數(shù)和結(jié)果誤差的平均值如表3所示。

從兩種方法運算次數(shù)和結(jié)果精度的對比可以得出與算例一相似的結(jié)論。該例中CO方法結(jié)果精度略高，但CO方法函數(shù)總運算次數(shù)約是ATC方法的2倍，所以就計算效率而言，ATC方法相對CO方法有較大優(yōu)勢。

2.3 結(jié) 論

由以上兩個算例可以看出ATC方法通過減少子系統(tǒng)優(yōu)化和函數(shù)運算次數(shù)，使整個優(yōu)化過程的計算效率高于CO方法。對于大型分布分析式問題，可以按子系統(tǒng)邊界進(jìn)行分解，采用ATC方法組織設(shè)計過程，減少子系統(tǒng)分析設(shè)計次數(shù)，提高設(shè)計效率。

表3 算例二優(yōu)化結(jié)果對比

3 衛(wèi)星設(shè)計問題應(yīng)用

衛(wèi)星設(shè)計涉及有效載荷、軌道、電源、結(jié)構(gòu)、控制、推進(jìn)多個學(xué)科，是典型的復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計問題，本文將ATC方法應(yīng)用到文獻(xiàn) ［14］描述的對地觀測衛(wèi)星總體參數(shù)MDO問題中，檢驗該方法在航天器設(shè)計問題中的有效性。

3.1 問題描述

該問題以地面分辨率G和覆蓋帶寬φ的綜合指標(biāo)最大化為優(yōu)化目標(biāo)，考慮有效載荷、姿控、電源、結(jié)構(gòu)和推進(jìn)等5個子系統(tǒng)的設(shè)計變量和約束條件（具體見文獻(xiàn) ［14］）。將原問題按照子系統(tǒng)邊界進(jìn)行分解，形成一個系統(tǒng)級和五個子系統(tǒng)級優(yōu)化問題，按照ATC方法形成問題表達(dá)式，系統(tǒng)級問題可以描述為

式中；P（X）——系統(tǒng)優(yōu)化目標(biāo)；X——系統(tǒng)級設(shè)計變量，h，hsa，Lsa，Lt——共享設(shè)計變量，其它為耦合參數(shù)變量，各符號含義如表4所示。π（c）——廣義拉格朗日罰函數(shù)，c——系統(tǒng)指標(biāo)和子系統(tǒng)響應(yīng)之間的偏差矢量，t1，t2，…，t5——系統(tǒng)分配到有效載荷、姿控、電源、結(jié)構(gòu)和推進(jìn)子系統(tǒng)的指標(biāo)矢量，r1，r2，…，r5——子系統(tǒng)對應(yīng)響應(yīng)參數(shù)矢量。

以姿控子系統(tǒng)為例的子系統(tǒng)級優(yōu)化問題表達(dá)式為

式中：Hwheel——動量輪容量，為姿控子系統(tǒng)局部設(shè)計變量；Tc——飛輪控制力矩；TD——外界環(huán)境干擾力矩；aoc——軌控加速度；c2——姿控子系統(tǒng)指標(biāo)響應(yīng)偏差，t2和r2如式（12）所示

表4 符號含義

3.2 結(jié) 果

拉格朗日乘子和罰權(quán)初值以及罰權(quán)步長分別選取0和1以及1.3，各子系統(tǒng)一致性約束要求不超過10－6。經(jīng)過12次循環(huán)，優(yōu)化過程停止，表5給出了采用ATC方法目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化結(jié)果，與文獻(xiàn) ［14］結(jié)果一致。圖6和圖7分別給出了目標(biāo)函數(shù)和子系統(tǒng)一致性約束的迭代曲線，隨著系統(tǒng)和子系統(tǒng)之間的協(xié)調(diào)，目標(biāo)函數(shù)得到優(yōu)化，同時一致性約束也逐漸滿足，表明ATC方法求解衛(wèi)星MDO問題是有效的。

表5 優(yōu)化結(jié)果對比

4 結(jié)束語

ATC和CO作為兩種基于分解思想的復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計方法，在計算表達(dá)式以及系統(tǒng)指標(biāo)、一致性約束等關(guān)鍵術(shù)語方面存在相似性，但在上下級（系統(tǒng)和子系統(tǒng)）之間優(yōu)化策略、通訊方式和適用級數(shù)等方面存在不同。本文針對實際問題求解中兩種方法的計算效率問題，采用兩個解析算例進(jìn)行測試求解，結(jié)果表明ATC方法相對CO方法可以大大減少子系統(tǒng)優(yōu)化分析次數(shù)，進(jìn)而提供整個優(yōu)化過程的計算效率。最后通過ATC方法在衛(wèi)星設(shè)計問題中的求解得到正確的結(jié)果，表明ATC方法在航天器設(shè)計問題中應(yīng)用的有效性。

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