孫 健，孟 晨

（軍械工程學(xué)院，河北 石家莊 050003）

0 引 言

任意波形發(fā)生器可以生成標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的如正弦、方波信號(hào)之外的任意波形。當(dāng)前，直接數(shù)字合成（DDS）的方法廣泛應(yīng)用于任意波形發(fā)生器的設(shè)計(jì)中，DDS是隨著DSP技術(shù)的高速發(fā)展而產(chǎn)生的，以采樣定理為基礎(chǔ)的全數(shù)字波形產(chǎn)生方法。該類發(fā)生器首先基于樣本信號(hào)生成離散的采樣波形數(shù)據(jù)并存儲(chǔ)在專用的存儲(chǔ)器中，然后通過頻率控制讀取存儲(chǔ)器中的離散波形值，最后經(jīng)過數(shù)模轉(zhuǎn)換和濾波器濾波之后生成期望的模擬波形輸出。系統(tǒng)雙通道輸出是可以產(chǎn)生兩路基于存儲(chǔ)器件的同步信號(hào)。任意波形發(fā)生器生成的波形將存儲(chǔ)器中存儲(chǔ)的波形數(shù)據(jù)以首尾相接的形式在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行任意周期的延伸；因此，如果不能很好地調(diào)整初始波形數(shù)據(jù)，循環(huán)周期的波形數(shù)據(jù)可能在單個(gè)周期的連接點(diǎn)處存在不連續(xù)的現(xiàn)象。

本文擬通過反傅里葉變換的性質(zhì)來實(shí)現(xiàn)任意波形的產(chǎn)生方式。根據(jù)采樣定理，經(jīng)過IFFT變換輸出的時(shí)域波形總是周期性的并且是連續(xù)的，IFFT變換生成的非周期的任意波形通過窗函數(shù)抑制非連續(xù)信號(hào)，然后通過疊加重疊的窗函數(shù)時(shí)間序列來合并連續(xù)的信號(hào)也可以得到連續(xù)的波形。例如生成寬動(dòng)態(tài)范圍的信號(hào)時(shí)需要對(duì)加窗時(shí)域部分有75%的復(fù)疊。該過程與傳統(tǒng)的利用FFT變換對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行頻域分析的過程是相逆的。圖1描述了該變換的頻域分析過程以及相對(duì)的時(shí)域合成過程。

反變換混疊的窗瓣合并技術(shù)已經(jīng)被成功地應(yīng)用在了混合控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)通過時(shí)間信號(hào)來驅(qū)動(dòng)從頻域范圍內(nèi)修正過的功率譜得到的一個(gè)混合對(duì)應(yīng)表。

1 窗函數(shù)設(shè)計(jì)

窗函數(shù)設(shè)計(jì)首先需要面臨的問題是窗函數(shù)的結(jié)構(gòu)要確保在合并過程中時(shí)域信號(hào)復(fù)現(xiàn)時(shí)不受雜波干擾。窗函數(shù)各瓣的混疊部分的合并求和理想情況是得到連續(xù)的包絡(luò)。該包絡(luò)可以被理解為直流輸入信號(hào)的復(fù)現(xiàn)，其經(jīng)過合并過程的分段，加窗和重新混疊形成。圖2描述了在合并過程中可能出現(xiàn)的扇形包絡(luò)。

圖1 任意時(shí)域連續(xù)混疊窗瓣信號(hào)的分析及合成

圖2 合并過程形成的扇形包絡(luò)曲線

可以將窗函數(shù)視為包含若干個(gè)離散余弦反傅里葉變換的時(shí)間序列。例如式（1）所形成的窗函數(shù)——海明窗，其為一個(gè)升余弦的窗函數(shù)，a0、a1為常量，通常兩個(gè)常量不相等，因此該窗函數(shù)有一個(gè)較小的不連續(xù)量存在。

有50%的窗瓣發(fā)生混疊的合并過程見式（2），其圖示見圖3。

如圖3所示，兩列波形分量的窗函數(shù)部分有100%的位移，而兩列波形分量的相對(duì)位移只有50%。其中兩列余弦曲線的50%相對(duì)位移即180°相位移動(dòng)。由于該相位移動(dòng)，兩列余弦分量相互疊加成零分量，而最后結(jié)果成為兩列常量的和2a0。如果在窗函數(shù)中包含另一諧波分量，例如三重的Blackman-harris窗，相同的時(shí)間延遲并不能改變?cè)撝C波分量的相位移動(dòng)，因此最后的結(jié)果為直流分量2a0和諧波分量2a2。該諧波分量即為必須通過合適的窗函數(shù)來抑制合成過程中出現(xiàn)的的扇形包絡(luò)。該例子說明僅僅通過50%的窗函數(shù)混疊來得到預(yù)期變換是不夠的。

圖3 窗函數(shù)混疊加和處理過程

僅由單諧波組成的窗函數(shù)包括矩形窗、三角窗、Hann和Hamming名窗口。這些窗函數(shù)分別有-13，-26，-32和-44dB的旁瓣峰值。窗函數(shù)中主瓣寬度越寬旁瓣越明顯即包含多余的諧波分量，而這些諧波分量必須在合并的處理過程中消除。如果主瓣寬度增加使得旁瓣等級(jí)大約控制在較主瓣低100 dB以下，則主瓣包含一個(gè)直流分量和4個(gè)諧波分量。該諧波分量的分布意味著在合成過程中需要75%的重疊來抑制雜波。圖4為Kaiser-Bessl窗的時(shí)間和頻域內(nèi)響應(yīng)曲線，圖5為四重Blackman-harris窗其旁瓣衰減為90dB，也可以發(fā)現(xiàn)在合成過程中出現(xiàn)的扇形包絡(luò)。

圖4 Kasier窗合成曲線的時(shí)域與頻域分析

2 窗函數(shù)的應(yīng)用

在標(biāo)準(zhǔn)的波形分析中應(yīng)用窗函數(shù)在時(shí)域內(nèi)的相乘等價(jià)于頻域內(nèi)的卷積關(guān)系，如式（3）所示的連續(xù)時(shí)間序列和式（4）所示的采樣時(shí)間序列。

圖5 Blackman窗合成曲線的時(shí)域與頻域分析

當(dāng)時(shí)域內(nèi)采樣信號(hào)是正弦無限延伸的信號(hào)時(shí)，其頻率響應(yīng)在中心頻率θ=θ0為一脈沖響應(yīng)，如式（5）所示。

當(dāng)采用離散傅里葉變換獲得的結(jié)果是在采樣點(diǎn).k·2π/N獲得的連續(xù)周期函數(shù)的采樣值。如式（7）所示。

下面對(duì)連續(xù)窗口間隔的時(shí)間遷移對(duì)變換樣本的影響進(jìn)行研究，如式（8）所示。對(duì)s*N/4的時(shí)延進(jìn)行了展開，從得到的結(jié)果中可以看出變換后的響應(yīng)曲線不僅與中心頻率密切相關(guān)，而且與窗函數(shù)的時(shí)間補(bǔ)償帶來的相位移動(dòng)密切相關(guān)。式（8）使得窗時(shí)間序列的連續(xù)相位與每次變換歸零的DFT變換的離散相位得到了校準(zhǔn)。

式（8）將窗函數(shù)對(duì)頻域范圍的影響轉(zhuǎn)換至DFT變換的本中心，通過補(bǔ)償?shù)南辔恍D(zhuǎn)然后進(jìn)行IDFT變換得到窗形式的時(shí)間序列。而如果其本中心恰好相當(dāng)于DFT變化，則只需將變換取DFT變換的系數(shù)使得關(guān)于期望中心頻率對(duì)稱，圖6為無窗和有窗時(shí)間序列的頻域和時(shí)域波形。在連續(xù)地轉(zhuǎn)換過程中窗的影響將會(huì)帶來如式（8）所示的π/2的整倍數(shù)的相位移動(dòng)。

圖6 無窗和加窗時(shí)間序列的頻域和時(shí)域波形

當(dāng)選擇的中心頻率點(diǎn)不是整數(shù)的時(shí)候，在進(jìn)行反變換合成之前需要進(jìn)行調(diào)整。大多數(shù)情況下，k0點(diǎn)是包含小數(shù)部分的。例如頻率為0.1的256點(diǎn)DFT變換的正弦合成樣本的中心頻率相當(dāng)于0.1·fs，即為25.6。以此為例，可以將整數(shù)和小數(shù)部分分別視為25和0.6或者26和-0.4。其變換窗口額頻譜和DFT響應(yīng)位置如圖7所示。

圖7 基帶偏移-0.4與中心頻率轉(zhuǎn)換點(diǎn)為25.6的采樣窗

完成DFT變換的基帶窗的-0.4的位移系數(shù)的關(guān)鍵語句為：

% 窗函數(shù)調(diào)用

合成過程中通過相位偏移形成的時(shí)間序列準(zhǔn)確地匹配了通過窗變換得到的頻率為0.1的正弦時(shí)間序列曲線。圖8描述了通過反變換操作得到的該曲線的初始合成階段的時(shí)間序列和頻域特性曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)在合成過程中在時(shí)域內(nèi)其連續(xù)波形不存在間斷點(diǎn)，頻域內(nèi)衍生的雜頻相對(duì)于中心頻譜被衰減至100dB以下，得到了很好的抑制效果。

圖8 合成曲線的時(shí)域和頻域特性曲線

3 結(jié)束語

本文主要研究了通過結(jié)合傅里葉逆變換和窗函數(shù)來合成一種或多種任意頻率的復(fù)雜正弦曲線。頻域描述的正弦合成技術(shù)只能使得正弦曲線在每個(gè)間隔內(nèi)為若干個(gè)整數(shù)倍周期。非整數(shù)個(gè)周期使得時(shí)域范圍的曲線出現(xiàn)斷續(xù)，造成了頻域泄露至傅里葉變換的所有頻譜點(diǎn)。引入窗函數(shù)混合使得頻譜帶旋轉(zhuǎn)抑制了時(shí)間范圍內(nèi)斷續(xù)帶來的影響，可以產(chǎn)生任意頻率的正弦波形。

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