摘要：本文運(yùn)用Haar小波求解Fredholm-Volterra方程，建立了Haar小波的算子矩陣，利用Haar小波方法求解積分方程的基本思想是將求解積分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解一組代數(shù)方程組的問題。由于積分方程多出現(xiàn)在物理、工程等諸多應(yīng)用性研究領(lǐng)域，且解析解難以求出，因此研究其數(shù)值解具有重要意義。

關(guān)鍵詞：Haar小波 算子矩陣 Fredholm-Volterra方程

1 Haar小波與算子矩陣

1.1 Haar小波

Haar尺度函數(shù)為

h0（t）=1，0≤t<10，其它

定義母小波函數(shù)為

h1（t）=1，0≤t<1/2-1，1/2≤t<10，其它

h1（t）的伸縮和平移生成小波函數(shù)族

hn（t）=h1（2jt-k） （1）

其中n=2j+k，j≥0，0≤k<2j前八個(gè)Haar小波函數(shù)如圖1所示。

■

如圖1:前八個(gè)Haar小波函數(shù)hn（t），n=0，1，……，7

Haar小波都是相互正交的，即

■hm（t）hn（t）dt=2-jδmn=2-j，m=n=2-j+k0，m≠n

1.2 函數(shù)逼近

任一函數(shù)f（t）∈L2[0，1）可展開成Haar級數(shù)

f（t）=■cnhn（t） （2）

系數(shù)cn由下式確定

cn=2j■f（t）hn（t）dt （3）

n=2j+k，j≥0，0≤k<2j特別地，c0=■f（t）dt.

f（t）的級數(shù)展開式包含無限多項(xiàng)，如果f（t）本身是分段連續(xù)的，或者在每個(gè)子分區(qū)間上都可以近似地看成是分段連續(xù)的，那么f（t）可用有限多項(xiàng)近似表示，即

f（t）≈■cnhn（t）=C■■■（t） （4）

系數(shù)向量C■■和Haar函數(shù)向量■（t）為

C■■=[c0，c1，…cm-1]

和h （m）（t）=[h0（t），h1（t），…，hm-1（t）]T，

m=2j符號T代表矩陣的轉(zhuǎn)置。

設(shè)k（t，s）是兩個(gè)獨(dú)立變量t∈[0，1），s∈[0，1）的函數(shù)，則它的m階Haar展開為，

k（t，s）≈■■auvhv（t）hu（s）， (5)

auv=2i+q■■k（t，s）hv（t）hu（s）dtds (6)

其中u=2i+j，i≥0，0≤j<2i，v=2q+r，q≥0，0≤r<2q.

由此可得k（t，s）≈h■■（t）K■（s） (7)

其中k≈｛＜auv＞■■｝ (8)

1.3 積分算子矩陣

定義

■=■■（1/2m），■（3/2m），…，■（(2m-1)/2m）■ (9)

其中■=[１]，■=1 11 -1.

例如選擇配置點(diǎn)t=n/8，n=1，3，5，7，則

■（1/8）=［1，1，1，0］T，■（3/8）=［1，1，-1，0］T，

■（5/8）=［1，-1，0，1］T，■（7/8）=［1，-1，0，-1］T.

或表示成矩陣形式

■=[■（1/8），■（3/8），■（5/8），■（7/8）]=1 1 1 11 1 -1 -11 -1 0 00 0 1 -1.

Haar函數(shù)向量■（t）的積分為

■■（t）dt=■■（x），x∈（0，1]， （10）

其中■是m階的算子矩陣，并且

■ =■2mP■ -H■H■■ 0. （11）

((11)式的證明見[3])，P■=[1/2]，由(11)式得

P■=■2 -11 0，P■=■8 -4 -2 -24 0 -2 21 1 0 01 -1 0 0，

P■=■32 -16 -8 -8 -4 -4 -4 -416 0 -8 8 -4 -4 4 44 4 0 0 -4 4 0 04 4 0 0 0 0 -4 41 1 2 0 0 0 0 01 1 -2 0 0 0 0 01 -1 0 2 0 0 0 01 -1 0 -2 0 0 0 0，

由H■=[1]，P■=[1，2]，可得

H■■=（1/m）H■■diag（1，1，2，2，■，…，■）(12)

m=2a（a是正整數(shù)），并且，兩個(gè)Haar函數(shù)的內(nèi)積可表示為

■h■（t）h■■（t）dt=D. (13)

其中

D=diag（1，1，1/2，1/2，■，…，■）.(14)

1.4 乘積算子矩陣

設(shè)Haar函數(shù)的乘積矩陣為[4]

h■（t）h■■（t）=M■（t）. (15)

定義■a（t）=[ha（t），h1（t），…，hm/2-1（t）]T.

■b（t）=[hm/2（t），hm/2+1（t），…，hm-1（t）]T.

則Mm（t）=M■（t） H■ding■■（t） ding[■■（t）]H■■ ding[H■■■■（t）]. (16)

其中M1（t）=[h0（t）]

Mm（t）C■=■■h■（t）. (17)

定義

■■（t）=[c0（t），c1（t），…，cm/2-1（t）]T. (18)

■■（t）=[cm/2（t），cm/2+1（t），…，cm-1（t）]T (19)

則■■=■■ H■ding[■■] ding[■■]H■■ ding■■■■■Hm/2]. (20)

2 Haar小波求解非線性Fredholm-Volterra方程

考慮非線性Fredholm-Volterra方程

y（x）=f（x）+λ1■k1（x，t）[y（t）]pdt+λ2■k2（x，t）[y（t）]qdt，0≤x，t≤1. (21)

其中f（x）∈L2（0，1），λ1，λ2是任意參數(shù)，k1（x，t），k2（x，t）∈L2（[0，1]×[0，1]），p，q為非負(fù)整數(shù).

將y（x），k1（x，t），[y（t）]p，k2（x，t），[y（t）]q分別展開成Haar小波函數(shù)[3-6]，即

y（x）≈H■■（x）Y， (22)

k1（t，x）≈H■■（x）K1h■■（t），[y（t）]p≈H■■（t）Ｙ■■， (23)

k2（t，x）≈H■■（x）K2h■■（t），[y（t）]q≈H■■（t）Ｙ■■， (24)

其中Ｋ１，Ｋ２均可由(8)式給出，Ｙ■■，Ｙ■■分別為Y中元素的線性組合所構(gòu)成的列向量，以m=4為例，給出Ｙ■■的具體形式

Ｙ■■=y■■+y■■+y■■+y■■ 2y■y■ 2y■y■+2y■y■ 2y■y■-2y■y■

把(22)-(24)式代入到方程(21)中，則

h■■（x）Y=f（x）+λ1■h■■（x）k1h■■（t）h■■（t）Ｙ■■dt+λ2■h■■（x）k2h■■（t）h■■（t）Ｙ■■dt (25)

類似于(17)求解■的推導(dǎo)，可求得■使得

h■■（t）h■■（x）Ｙ■■=■■h■■（t），

因此原方程可變?yōu)?/p>

h■■（x）Ｙ=f（x）+λ1h■■（x）k1■■■h■■（t）h■■（t）dt+λ2h■■（x）K2DＹ■■， (26)

其中矩陣D參見(13)

利用(10)式，可得

h■■（x）Ｙ=f（x）+λ1h■■（x）k1■■P■■h■■（x）+λ2h■■（x）K2DＹ■■， (27)

在區(qū)間［０，１］上插入m個(gè)配置點(diǎn)，即｛xi｝■■，從而可得到下列方程組：

h■■（x1）Ｙ=f（x1）+λ1h■■（x1）k1■■P■■h■■（x1）+λ2h■■（x1）K2DＹ■■， (28)

通過上式可求出Y.

例2.1考慮下列方程

y（x）=2x-■x4-■+■■（x-t）y2（t）dt+■（1+t）y（t）dt

方程的精確解為y（x）=2x，表1和圖2分別給出了當(dāng)m=32和n=64的數(shù)值解及圖像

表1 精確解與數(shù)值解對照

■

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圖2 精確解與數(shù)值解對照

從上面結(jié)果可以看出，利用Haar小波求解Fredholm-Volterra方程的近似解，近似程度是比較高的，且所得的數(shù)值解隨著m的增大而更加趨于精確，因此要得到更好的解，我們可以取更大的m值。

參考文獻(xiàn):

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