我們知道：若數(shù)列{ } a是等差數(shù)列，則坐標(biāo)

()

n a，表示的點(diǎn)在一條直線上.反過(guò)來(lái)，若()

n a，表示的點(diǎn)在一條直線上，則數(shù)列{ } a是等差數(shù)列.引理 若將無(wú)窮數(shù)列{ } a每隔1k?項(xiàng)取一項(xiàng)，得到k個(gè)新數(shù)列

a都是等差數(shù)列；再每隔1l?項(xiàng)取一項(xiàng)，得到l個(gè)新數(shù)列

n k l∈N，，也都是等差數(shù)列，且k與l互質(zhì)，則數(shù)列{ } a是等差數(shù)列.證明 若1k =，則數(shù)列{ } a已是等差數(shù)列.若1k >，1l >，設(shè)數(shù)列

a?+的公差為d，由

?+?+?+∈N，在一條直線上.即數(shù)列

a?+在原數(shù)列中表示的點(diǎn)在一條直

線上，我們記該直線為h.同理數(shù)列

{}a在原數(shù)列中表示的點(diǎn)也分別在同一條直線上.對(duì)數(shù)列

a?+上的點(diǎn)

()n∈N在一條直線上.我們記該直線為

kx lyc c?=∈N至少有兩個(gè)正整數(shù)解，即總存在*

lm l?+至少有兩解，即點(diǎn)點(diǎn)重合.

根據(jù)直線的基本性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線，∴直線h與直線

h重合.

一般地，k∵與l互質(zhì)，對(duì)任意* ij∈N，，方程

kn kilm lj?+ =?+也至少有兩正整數(shù)解，即點(diǎn)

()

?++?+，與點(diǎn)()

()m n∈N，至少有兩點(diǎn)重合.

∴題中兩組數(shù)列各任取一數(shù)列都能證它們表示的點(diǎn)在同一直線上.

因此，數(shù)列

{}a上所有的點(diǎn)都在直線h上.即數(shù)列{ } a是等差數(shù)列.

例 (2011年高考江蘇卷·題20)設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列{ }

S.已知對(duì)任意的正整數(shù)kM∈，當(dāng)整數(shù)nk>時(shí)，

2() a的值.（Ⅱ）設(shè){3 4}M =，，求數(shù)列{ } a的通項(xiàng)公式.

解 （Ⅰ）略；

（Ⅱ）對(duì)于nk>，2()

a+都是等差數(shù)

列，由于{3 4}kM∈=，滿足條件，∴數(shù)列

a+都是等差數(shù)列，又因?yàn)檎麛?shù)3與4互質(zhì)，

∴由引理得，當(dāng)2n≥時(shí)，數(shù)列{ } a是等差數(shù)列.

設(shè)其公差為d，

由(*)式得() ()2

ad=.

又 an=?.

本題可以看成是一道難度適中的常規(guī)題 “等差

a的公差d，前n項(xiàng)和為 12ad=對(duì)任

意的正整數(shù)k，當(dāng)整數(shù)nk>時(shí)，求證：

2()

+?+=+” 的逆命題的一種變式.它增加了原題的思維量和難度.

不改變題設(shè)“設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列{ }

a的首項(xiàng) S.已知對(duì)任意的正整數(shù)kM∈，當(dāng)整數(shù)nk>時(shí)，2()

11a =，前n項(xiàng)和為

都成立”的情況下.我們還可推廣，得到以下結(jié)論：（1）若{1}M =，則從第2項(xiàng)起數(shù)列是{ }

a+都是等差數(shù)列；（3）若kM∈，且