“收納”利用“分門(mén)別類(lèi)”的方式把那些看似與美

無(wú)緣的雜物以智慧和靈感的方式呈現(xiàn)其可愛(ài)的一

面.市面上充斥著各類(lèi)收納產(chǎn)品很yf( x )=12(x3?12x2+45x )

好的利用了分類(lèi)與整合思想.分類(lèi)

與整合思想是解決問(wèn)題的一種邏輯

方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，對(duì)于簡(jiǎn)

1 2 3 45x

化研究對(duì)象，發(fā)展人的思維有著重要作用.

1 基于考試的分類(lèi)與整合思想的考查概述

1.1 內(nèi)涵闡釋

分類(lèi)與整合思想是在問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，然后再對(duì)每一類(lèi)分別研究得出相應(yīng)的結(jié)論，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答.它是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)思想策略.

1.2 功能剖析

分類(lèi)與整合思想同其它數(shù)學(xué)思想一樣，是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程中，其考查可以從架構(gòu)學(xué)生全面數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度進(jìn)行思考.

（1）廣蓋知識(shí)

知識(shí)是血肉骨架，思想是神經(jīng)靈魂.知識(shí)可見(jiàn)，思想蘊(yùn)涵，對(duì)知識(shí)剖析、整理以至形成系統(tǒng)性知識(shí)體系就是對(duì)知識(shí)分類(lèi)與整合的過(guò)程.因此分類(lèi)與整合思想的考查一般可以覆蓋較多的知識(shí)點(diǎn)，蘊(yùn)涵較大的思維量，有利于知識(shí)點(diǎn)交匯考查，實(shí)現(xiàn)廣蓋知識(shí)點(diǎn)的考查功能.

案例1 設(shè)集合=M{} 1 2 3 4 5，，，，.選擇M的兩個(gè)非空子集A和B，求使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)的概率.

評(píng)析：按集合A中最大數(shù)可分四類(lèi)：12 34、、、，對(duì)應(yīng)集合B的個(gè)數(shù)分別是15 14 12 8、、、，共49個(gè).本題主要考查集合、排列組合、概率等基礎(chǔ)知識(shí)，蘊(yùn)涵的分類(lèi)與整合思想體現(xiàn)在：（1）空集與非空集合；（2）集合中元素的大小關(guān)系.

（2）呼喚意識(shí)

意識(shí)是思考判斷，思想是方法導(dǎo)向.通過(guò)思想方法的學(xué)習(xí)可以對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式有更深刻的認(rèn)識(shí).因此考查分類(lèi)與整合思想有利于培養(yǎng)邏輯劃分和歸納整合的能力與意識(shí)，實(shí)現(xiàn)呼喚意識(shí)的考查功能.

案例2 直角坐標(biāo)系xOy中，i，j分別是與x，y軸正方向同向的單位向量.在直角三角形ABC中，若2AB =+

ij，則k可能值的個(gè)數(shù)是

A.1 B.2 C.3 D.4

評(píng)析：本題的突破口在于利用直角三角形中的“直角”.由角A，B，C均可能是直角引發(fā)分類(lèi)與整合，解決它需要熟練的分類(lèi)意識(shí)引領(lǐng).

（3）揭露能力

能力是效能呈現(xiàn)，思想是指導(dǎo)引領(lǐng).應(yīng)用分類(lèi)與整合思想可以提出問(wèn)題的不同解決方案，創(chuàng)造性的解決問(wèn)題.因此考查分類(lèi)與整合思想有利于掌握分類(lèi)方法和整合原則，實(shí)現(xiàn)揭露能力的考查功能.

案例3 已知函數(shù)

，.

本題分類(lèi)的抉擇有創(chuàng)新性.若先整理( )t x′再對(duì)m分類(lèi)，則當(dāng)0m≤時(shí)對(duì)( )t x′符號(hào)的判斷十分繁雜.

（4）挖掘潛能

潛能是心智脫穎，思想是挈領(lǐng)導(dǎo)航.通過(guò)對(duì)分類(lèi)與整合思想的學(xué)習(xí)，如果能夠準(zhǔn)確甄別、成熟辨析、匠心整合數(shù)學(xué)問(wèn)題，那就說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)具有反哺應(yīng)用、創(chuàng)新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)潛能.因此在實(shí)際問(wèn)題中滲透分類(lèi)與整合思想，可實(shí)現(xiàn)挖掘潛能的考查功能.

案例4 過(guò)定點(diǎn)(0)D m，(0m > )作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)24yx=于A，B兩點(diǎn)，E是D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，是否存在垂直于x軸的直線(xiàn)被以AD為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出直線(xiàn)的方程，若不存在，說(shuō)明理由.

評(píng)析：本題有兩個(gè)分類(lèi)點(diǎn).（1）對(duì)動(dòng)點(diǎn)A，D分類(lèi)；（2）對(duì)參數(shù)m取值分類(lèi)整合.線(xiàn)段AD是變動(dòng)的，但細(xì)磨則發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D定而點(diǎn)A動(dòng)，即線(xiàn)段AD是因A而動(dòng)，對(duì)A和D進(jìn)行動(dòng)靜分類(lèi)就抓住了問(wèn)題的命門(mén).本題能有效檢測(cè)學(xué)生的潛能.

2 分類(lèi)與整合思想的考查回顧

對(duì)思想方法的考查要以課標(biāo)和考試大綱為本源依據(jù)，以考試說(shuō)明為直接依據(jù)，以基礎(chǔ)知識(shí)為載體.全面考查蘊(yùn)涵其中的基本技能、思想方法、情感態(tài)度、價(jià)值觀和學(xué)習(xí)潛能.在對(duì)分類(lèi)與整合思想的考查上，著重體現(xiàn)對(duì)分類(lèi)方法及整合原則的考查.

2.1 廣蓋知識(shí)類(lèi)

此類(lèi)試題通常常規(guī)通俗，簡(jiǎn)單明快，難度易中，面向知識(shí)，涵蓋的知識(shí)點(diǎn)有多有少，主要考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度.

案例5（2011年高考福建卷·理 7/文10）設(shè)圓錐曲線(xiàn)Γ的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為

評(píng)析：本題引發(fā)分類(lèi)與整合的原因是圓錐曲線(xiàn)具有不同的類(lèi)型，著重考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線(xiàn)不同類(lèi)型的掌握情況.

2.2 呼喚意識(shí)類(lèi)

此類(lèi)試題難度易中，直奔主旨，可適量的知識(shí)交匯.主要考查雙基，著重檢測(cè)學(xué)生對(duì)分類(lèi)與整合思想的應(yīng)用意識(shí).

案例6（2011年高考福建卷·文12）在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記為[ ] knk n=+∈Z，0 1 2 3 4k =，，，，.

給出如下四個(gè)結(jié)論：①2011 [1]∈；②3 [3]?∈；③[0] [1] [2] [3] [4]Z =∪∪∪∪；④整數(shù)a，b屬于同一“類(lèi)”的充要條件是“[0]a b?∈”.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

A.1 B.2 C.3 D.4

評(píng)析：運(yùn)用的分類(lèi)與整合思想進(jìn)行推理論證、分析求解問(wèn)題的意識(shí)和能力，是求解本題的關(guān)鍵.

2.3 揭露能力類(lèi)

此類(lèi)試題往往著力知識(shí)主干，綜合度高，思維量大，要求掌握的知識(shí)扎實(shí)全面，思想方法嫻熟深刻，能力高超強(qiáng)悍.當(dāng)然此類(lèi)試題往往廣蓋知識(shí)，有所交匯，突顯應(yīng)用意識(shí)和綜合處理能力.

案例7 (2009年高考福建卷·理10)函數(shù) m f xnf xp++=

是四次方程，解集的元素個(gè)數(shù)分5種情況：0 1 2 3 4，，，，，由選項(xiàng)知含2 4，兩種.因?yàn)楹瘮?shù)( )f x的圖象關(guān)于直線(xiàn)

=?對(duì)稱(chēng)，而兩個(gè)根必關(guān)于它們平均值對(duì)稱(chēng)，所以判斷選項(xiàng)C，D即可，因?yàn)樗鼈兊脑囟紡男〉酱笈帕?，? 42 3+=+，1 644 16+≠+，故選D.解決本題要有高超的分類(lèi)與整合能力.

2.4 挖掘潛能類(lèi)

此類(lèi)試題具備覆蓋面廣、綜合度高、思維量大、素養(yǎng)層深等特征，同時(shí)兼具靈活性和創(chuàng)新性，因此對(duì)能力的要求全面深刻，反哺潛能顯著，區(qū)分功能強(qiáng)勁，具備優(yōu)秀的選拔功能.

案例8 (2011年高考福建卷·理10)已知函數(shù)

( )ex一定是鈍角三角形；②ABC△可能是直角三角形；③ABC△可能是等腰三角形；④ABC△不可能是等腰三角形.其中，正確的判斷是

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

評(píng)析：本題蘊(yùn)涵按邊分類(lèi)與按角分類(lèi)綜合分類(lèi)三角形的判別問(wèn)題，交匯量大，綜合度高，靈活性和創(chuàng)新性十分突出.

3 分類(lèi)與整合思想的考查展望

作為考查，應(yīng)優(yōu)先確定整體考查目標(biāo)、層次、地位、作用和要求.對(duì)分類(lèi)與整合思想的考查，可以是知識(shí)型、思想型、能力型或交匯綜合型.基于此及以上的研究，對(duì)分類(lèi)與整合思想的考查可從以下五個(gè)方面考慮：

3.1 直奔知識(shí)

考查知識(shí)體系中關(guān)乎分門(mén)別類(lèi)型知識(shí)的掌握情況，著力概念、性質(zhì)、公式等的理解和掌握.

案例9 已知m，n為直線(xiàn)，α，β為平面，給出下列命題：

①

//.

命制意圖：本題主要考查學(xué)生對(duì)線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面位置關(guān)系類(lèi)別的掌握情況.

3.2 面向思想

考查關(guān)乎分類(lèi)與整合思想四個(gè)關(guān)注點(diǎn)，關(guān)注公平、關(guān)注交匯、關(guān)注應(yīng)用、關(guān)注潛能.著力分類(lèi)方法和整合原則的應(yīng)用.

案例10 已知函數(shù)( )f x的定義域均為R，

( )( ) cos S.

命制意圖：交匯考查函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)和分類(lèi)與整合思想的應(yīng)用情況，從而考查推理論證、運(yùn)算求解等能力.（1）單調(diào)區(qū)間和極值因?qū)?shù)值變化不同引發(fā)分類(lèi)；（2）

3.3 著眼能力

在運(yùn)用分類(lèi)與整合思想解決問(wèn)題中綜合考查數(shù)學(xué)思想和能力.

案例11已知橢圓 D，與以線(xiàn)段AB為直徑的圓的位置關(guān)系.

命制意圖：交匯考查直線(xiàn)、橢圓、圓等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合等思想，運(yùn)算求解、推理論證等能力.本題由圖形的位置關(guān)系引發(fā)分類(lèi)與整合，蘊(yùn)涵直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，兩種位置關(guān)系相結(jié)合，最終整合出針對(duì)參數(shù)的不同情況下的點(diǎn)和圓位置關(guān)系.

3.4 力圖潛能

綜合考查數(shù)學(xué)思想方法和反哺能力，具有較大的思維量，分類(lèi)時(shí)機(jī)靈活.

案例12曲線(xiàn)C：+=，過(guò)點(diǎn)(0 1)，作直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A B，，當(dāng)AOB∠為銳角，求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍.

命制意圖：交匯考查圓錐曲線(xiàn)和直線(xiàn)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合等思想，運(yùn)算求解、推理論證等能力，應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等潛能.本題分類(lèi)時(shí)機(jī)的把握至關(guān)重要.當(dāng)1m >時(shí)，曲線(xiàn)C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)1m =時(shí)，曲線(xiàn)C表示圓；當(dāng)01m<<時(shí)，曲線(xiàn)C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.若解題過(guò)程中按曲線(xiàn)類(lèi)型分類(lèi)去實(shí)施，同樣可以解決它，但書(shū)寫(xiě)量非常大，其中同一模塊要書(shū)寫(xiě)三次，從時(shí)間上和占用空間上看都不是理想的選擇.由AOB∠為銳角轉(zhuǎn)化為0OA OB?>+取值的討論同樣只須統(tǒng)一執(zhí)行.因此，僅僅只須就0Δ>獲得m，k的關(guān)系式對(duì)m分三類(lèi)展開(kāi)討論.

3.5 規(guī)避分類(lèi)

有些分類(lèi)整合型試題分類(lèi)后有多種情況，逐類(lèi)加以分析討論需要繁瑣、冗長(zhǎng)的步驟，解題過(guò)程極易導(dǎo)致錯(cuò)誤.換個(gè)角度去審視，有時(shí)分類(lèi)與整合其實(shí)是可以規(guī)避的.此類(lèi)問(wèn)題可以檢測(cè)能力及學(xué)習(xí)潛能.(《請(qǐng)分類(lèi)討論讓路》：《福建中學(xué)數(shù)學(xué)》2005年第4期，作者：楊躍民)

案例13已知曲線(xiàn)+?至少有一個(gè)正極值點(diǎn)，試求a的取值范圍.

命制意圖：重點(diǎn)考查分類(lèi)與整合的思想，同時(shí)檢測(cè)是否具備規(guī)避分類(lèi)的潛能品質(zhì).