學(xué)過(guò)幾何的人都知道勾股定理(在西方又叫畢達(dá)哥拉斯定理)．它是幾何中一個(gè)重要的定理，應(yīng)用十分廣泛． 迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有400多種，成為世界上證明方法最多的定理之一． 像三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽、古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得、美國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德、畫(huà)家達(dá)?芬奇、偉大的物理學(xué)家愛(ài)因斯坦等，都用各自的方法證明了勾股定理． 愛(ài)因斯坦12歲時(shí)，在未學(xué)過(guò)平面幾何的情況下，根據(jù)三角形的相似特性(兩直角三角形的相似，完全取決于它們的一個(gè)銳角，如果有一銳角相等，二者相似；否則，不相似)，獨(dú)立地給出了畢達(dá)哥拉斯定理的一個(gè)證法，為此，他長(zhǎng)時(shí)間地激動(dòng)！這雖然僅涉及一個(gè)非常古老的著名定理，他卻經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)者首次的快樂(lè)． 而且這一證法是畢達(dá)哥拉斯定理中最簡(jiǎn)單和最好的證法，證法如下.

已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．

求證：AC 2+BC 2=AB 2．

證明：過(guò)C作CD⊥AB于D．

∵ CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB．

又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．

∴ =，得AC 2=AD?AB． 同理BC 2=BD?AB．

∴ AC 2+BC 2=AD?AB+BD?AB=(AD+BD)?AB=AB 2．

愛(ài)因斯坦之所以在12歲時(shí)完成了常人無(wú)法達(dá)到的成果，是由于他天賦的好奇心、敏銳的理性思維、刻苦的鉆研精神以及啟蒙者對(duì)他的諄諄教導(dǎo)． 雖然在公元前歐幾里得的《幾何原本》中，已經(jīng)有了這種證法，但12歲的愛(ài)因斯坦證明出畢達(dá)哥拉斯定理，卻是常人很難達(dá)到的成就．

需要說(shuō)明的是，愛(ài)因斯坦的證明方法用到了“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等”，其實(shí)也可應(yīng)用“相似三角形面積的比等于相似比的平方”證明． 即由△ACD∽△ABC得=．同理=．

∴+=+===1．

∴ AC2+BC2=AB2． 這種證法也十分簡(jiǎn)捷．

為了開(kāi)拓同學(xué)們的視野，下面再介紹兩種利用相似證明勾股定理的方法：

證法1 如圖2，延長(zhǎng)CA至D，使AD=AC，延長(zhǎng)CB至E，使BE=BC． 連接DE，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DE，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DE，垂足分別為M、N．

易證△ABC∽△DAM． ∴=，即AC?AD=DM?AB．

而AD=AC，∴ AC2=DM?AB．

同理BC2=EN?AB．

而AB為△CDE的中位線，四邊形ABNM為矩形，

∴ DE=DM+EN+MN=DM+EN+AB=2AB，∴ DM+EN=AB．

∴ AC2+BC2=DM?AB+EN?AB=(DM+EN)?AB=AB2．

說(shuō)明：上述證法是美國(guó)權(quán)威雜志《數(shù)學(xué)教師》上面的證法．

證法2 如圖3，分別過(guò)點(diǎn)A、B作BC、AC的平行線，相交于點(diǎn)D．

易證四邊形ACBD為矩形．

于是AC=BD，AD=BC，∠BCD=∠ABC=∠ADC=∠BAD．

過(guò)點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作∠ACE=∠BCD．

又∠ACB=∠CBD=90°，∴△ACE∽△DCB．

∴ =，即AC?BD=AE?CD．①

而∠BEC=∠BAC+∠ACE=∠BAC+∠BAD=∠CAD．

∴△BEC∽△ADB． ∴ =，即AD?BC=BE?AB．②

① 、 ②兩邊分別相加，得AC?BD+AD?BC=AE?CD+BE?AB．

即AC2+BC2=AE?AB+BE?AB=AB(AE+BE)=AB2．