學(xué)過(guò)幾何的人都知道勾股定理(在西方又叫畢達(dá)哥拉斯定理).它是幾何中一個(gè)重要的定理,應(yīng)用十分廣泛. 迄今為止,關(guān)于勾股定理的證明方法已有400多種,成為世界上證明方法最多的定理之一. 像三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽、古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得、美國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德、畫(huà)家達(dá)?芬奇、偉大的物理學(xué)家愛(ài)因斯坦等,都用各自的方法證明了勾股定理. 愛(ài)因斯坦12歲時(shí),在未學(xué)過(guò)平面幾何的情況下,根據(jù)三角形的相似特性(兩直角三角形的相似,完全取決于它們的一個(gè)銳角,如果有一銳角相等,二者相似;否則,不相似),獨(dú)立地給出了畢達(dá)哥拉斯定理的一個(gè)證法,為此,他長(zhǎng)時(shí)間地激動(dòng)!這雖然僅涉及一個(gè)非常古老的著名定理,他卻經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)者首次的快樂(lè). 而且這一證法是畢達(dá)哥拉斯定理中最簡(jiǎn)單和最好的證法,證法如下.
已知:如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
求證:AC 2+BC 2=AB 2.
證明:過(guò)C作CD⊥AB于D.
∵ CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠ADC=∠ACB.
又∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC.
∴ =,得AC 2=AD?AB. 同理BC 2=BD?AB.
∴ AC 2+BC 2=AD?AB+BD?AB=(AD+BD)?AB=AB 2.
愛(ài)因斯坦之所以在12歲時(shí)完成了常人無(wú)法達(dá)到的成果,是由于他天賦的好奇心、敏銳的理性思維、刻苦的鉆研精神以及啟蒙者對(duì)他的諄諄教導(dǎo). 雖然在公元前歐幾里得的《幾何原本》中,已經(jīng)有了這種證法,但12歲的愛(ài)因斯坦證明出畢達(dá)哥拉斯定理,卻是常人很難達(dá)到的成就.
需要說(shuō)明的是,愛(ài)因斯坦的證明方法用到了“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等”,其實(shí)也可應(yīng)用“相似三角形面積的比等于相似比的平方”證明. 即由△ACD∽△ABC得=.同理=.
∴+=+===1.
∴ AC2+BC2=AB2. 這種證法也十分簡(jiǎn)捷.
為了開(kāi)拓同學(xué)們的視野,下面再介紹兩種利用相似證明勾股定理的方法:
證法1 如圖2,延長(zhǎng)CA至D,使AD=AC,延長(zhǎng)CB至E,使BE=BC. 連接DE,過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DE,過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DE,垂足分別為M、N.
易證△ABC∽△DAM. ∴=,即AC?AD=DM?AB.
而AD=AC,∴ AC2=DM?AB.
同理BC2=EN?AB.
而AB為△CDE的中位線,四邊形ABNM為矩形,
∴ DE=DM+EN+MN=DM+EN+AB=2AB,∴ DM+EN=AB.
∴ AC2+BC2=DM?AB+EN?AB=(DM+EN)?AB=AB2.
說(shuō)明:上述證法是美國(guó)權(quán)威雜志《數(shù)學(xué)教師》上面的證法.
證法2 如圖3,分別過(guò)點(diǎn)A、B作BC、AC的平行線,相交于點(diǎn)D.
易證四邊形ACBD為矩形.
于是AC=BD,AD=BC,∠BCD=∠ABC=∠ADC=∠BAD.
過(guò)點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作∠ACE=∠BCD.
又∠ACB=∠CBD=90°,∴△ACE∽△DCB.
∴ =,即AC?BD=AE?CD.①
而∠BEC=∠BAC+∠ACE=∠BAC+∠BAD=∠CAD.
∴△BEC∽△ADB. ∴ =,即AD?BC=BE?AB.②
① 、 ②兩邊分別相加,得AC?BD+AD?BC=AE?CD+BE?AB.
即AC2+BC2=AE?AB+BE?AB=AB(AE+BE)=AB2.