判斷算法結果

（★★★★★）必做1 如圖1所示程序框圖，輸出結果是（ ）

A． 5 B． 8 C． 13D． 21

圖1

精妙解法 這是直到型循環(huán)結構，先執(zhí)行循環(huán)體再進行判斷，直到滿足條件才退出循環(huán)．第1次運算為S=1，i=2，a=2；繼續(xù)第2次運算S=3，i=3，a=5；同樣第3次運算S=8，i=4，a=13，滿足條件退出循環(huán)． 所以a=13，選C．

極速突擊 在理解程序框圖和循環(huán)結構兩種形式的基礎上，按部就班的運算是解這類試題的關鍵．這類試題一般會融入簡單的數列知識，難度不大．

（★★★★★）必做2 圖2是一個程序框圖，則輸出結果為______．

圖2

精妙解法 這是一個當型循環(huán)結構．第一次運算 S=，n=2；判斷不符合條件，繼續(xù)第二次運算S=+，n=3，由于數據比較大，不可能枚舉，就要注意觀察規(guī)律，S=++…，n=2010，

S=++…，n=2011，此時符合條件，退出循環(huán)．由裂項法求和得 S=1－=．

極速突擊 對于多次循環(huán)問題要注意觀察，通過歸納規(guī)律，轉化為求解一些特殊數列的通項、求和等問題．

金刊提醒

理解兩種循環(huán)結構，讀懂程序框圖，能夠按部就班的枚舉是基本的解題方法；另外還可以根據有限運算，發(fā)現其內在規(guī)律，結合函數、數列、不等式等知識來解決．

補充判斷條件

（★★★★★）必做3 執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，若輸出的結果是8，則判斷框內m的取值范圍是（ ）

圖3

A． （30，42］ B． （42，56］

C． （56，72］ D． （30，72）

精妙解法 這是當型循環(huán)結構，滿足條件執(zhí)行循環(huán)體． 借助隱含的遞推關系，通過“試運行”不難找出答案：第1次運算為S=2，k=2；繼續(xù)第2次運算S=6，k=3；同樣第3次運算S=12，k=4；……第6次S=42，k=7，滿足條件繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)；第7次S=56，k=8，依題知不符合條件，退出循環(huán)． 所以42

極速突擊 根據循環(huán)結構特點，準確判斷限制條件；有時還可以通過反向代入，檢驗獲得臨界值．

誤點警示 驗算“臨界步驟”，確定循環(huán)參數和輸出參數的值是減少失誤的重要環(huán)節(jié)．

金刊提醒

關于程序框圖，高考易將其與函數、數列、不等式等內容簡單綜合，算法的三種基本邏輯結構（順序結構、條件結構和循環(huán)結構）是考查的主要內容.

判斷命題真假

（★★★★★）必做4 設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，給定下列四個命題：p：m⊥nnαm⊥α，q：a⊥αaβα⊥β，r：m⊥αn⊥αm∥n，s：mαnβα∥βm∥n，則以下說法正確的是（ ）

A． “p∨q”為假

B． “q∧r”為真

C． “r∨s”為假

D． s的否定為假

精妙解法 立體幾何中位置關系的判斷是常見的命題真假判斷形式． 既可以根據公理和定理進行判斷，也可以通過構造正方體模型等特殊處理來解決；本問題中②③是真命題，①④是假命題． 所以根據或且非命題的真值表，不難得到結論B．

誤點警示 理順命題間相互關系，掌握完善的數學知識，是減少解題失誤的重要途徑．

（★★★★）必做5 有下列四個命題：

①“若ab＞0且a＞b，則＜”的否命題為真命題；

②“全等三角形的面積相等”的否命題為真命題；

③“若q≤1，則x2+2x+q=0有實根”的逆否命題為真命題；

④“不等邊三角形的三個內角相等”的逆命題為真命題，其中正確的是（ ）

A． ①②B． ②③

C． ①③D． ③④

精妙解法 “若ab＞0且a＞b，則＜”的否命題為“已知ab＞0，若a≤b，則≥”或者“已知a＞b，若ab≤0，則≥”，①正確；“全等三角形的面積相等”的否命題為“不全等三角形的面積不相等”，顯然是假命題，②錯誤；對于③，若q≤1，則4－4q≥0，即Δ=4－4q≥0，所以x2+2x+q=0有實根. 又原命題與逆否命題同真假，故③正確；“不等邊三角形的三個內角相等”的逆命題為“三個內角相等的三角形為不等邊三角形”，顯然是假命題，④錯誤，選C．

誤點警示 命題①是兩個條件的命題，在寫其否命題時，不能同時否定．一般地，若一個命題有多個條件，可以將其中一個看做小前提，其余的均作為大前提來處理．在寫否命題時，大前提不能否定，這樣根據不同的小前提，可以寫出不同的否命題．

極速突擊 本題主要考查了命題間的關系，由原命題寫出其逆命題、否命題、逆否命題． 兩個命題的條件與結論換位，稱為互逆命題；兩個命題的條件和結論都互為否定，稱為互否命題；兩個命題的條件和結論既換位又互為否定，稱為互逆否命題．

金刊提醒

判斷命題真假，常見的方法有：一種是分清條件、結論，直接對原命題的真假進行判斷；另一種是根據命題之間的關系進行判斷，如逆否命題間的真值關系、特稱命題與全稱命題的關系，命題與命題的否定等．

充要條件的判斷

（★★★★）必做6 如果對于任意實數x， 表示不小于x的最小整數，如<1.1>=2，<－1.1>=－1，那么“x－y<1”是“=”的（ ）

A． 充分不必要條件

B． 必要不充分條件

C． 充要條件

D． 既不充分也不必要條件

精妙解法 根據題中信息知：=x－y<1，而令x=1.9，y=2.1時，x－y<1，但≠，故“x－y<1”是“=”成立的必要不充分條件，故選B．

誤點警示 弄清充要條件相關概念，儲備充分的數學知識，準確理解問題本質，是判斷正確的保障．

極速突擊 根據充要條件相關概念，將具體問題化歸轉化為條件、結論的互推模式，并借助集合、圖象、新信息等做出直觀判斷，是解題的關鍵和根本．

金刊提醒

充要條件問題往往是“試題在充要內，內容在充要外”，比如不等式的性質、集合間的關系等，因此既要積累相關知識，又要理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，了解命題的概念，會分析原命題及其逆命題、否命題與逆否命題這四種命題的相互關系．

含有一個量詞的命題的否定

（★★★★）必做7 已知命題p：x∈R，x≥2，那么命題p為（ ）

A． x∈R，x≤2

B． x∈R，x<2

C． x∈R，x≤－2

D． x∈R，x<－2

精妙解法 由全稱命題x∈M，p（ｘ）的否定為x∈M，p（ｘ）可得p為x∈R，x<2，故選B．

誤點警示 弄清含有一個量詞的否定，關鍵在于形式上的理解記憶、否定詞的準確理解和選用．

極速突擊 含有一個量詞的否定，主要以全稱量詞、特稱量詞為載體進行考查，常常以選擇題或填空題的形式出現．

金刊提醒

理解并區(qū)分命題的否定和否命題這兩個概念，有助于解決“含有一個量詞的否定”問題；要能結合具體問題進行命題的否定，首先要理解“任意、存在、至少、至多”等等量詞的內涵，并掌握這些量詞相應的否定詞．

類比推理

（★★★★）必做8 在平面幾何里，有：“若△ABC的三邊長分別為a，b，c，內切圓半徑為r，則三角形面積為S△ABC=（a+b+c）r”，拓展到空間，類比上述結論，“若四面體A－BCD的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內切球的半徑為r，則四面體的體積為______．”

精妙解法 平面與空間維度不同，但關系、規(guī)律具有相似性． 四面體A－BCD的體積可以分割成四個錐體（以內切球的球心為頂點，四個底面為相應底面的的四個錐體）的體積之和，即V=（S1+S2+S3+S4）·r．

金刊提醒

類比的關鍵是找到兩類事物間可以進行類比的“支點”——相同或相似的性質. 常見的類比有結構類比、升維類比、簡化類比、概念類比等.

歸納推理

（★★★★★）必做9 有下列各式：1++>1，1++…+>，1+++…+>2，…，則按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為：_________．

精妙解法 觀察結構——不等式；觀察左端式子特點——奇數個分數的和運算，分子都是1，分母是從1開始連續(xù)的自然數，分母最大的數依次是3，7，15……；右端可以化成一個分數，分子比序號大1，分母都是2，故猜想得1+++…+>，n∈N．

（★★★★）必做10 設平面內有n條直線（n≥3），其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點，若用f（n）表示這n條直線交點的個數，則f（4）=______；當n>4時， f（n）=_______（用含n的數學表達式表示）．

精妙解法 求出f（3），f（4），f（5），再進行歸納推理. f（2）=0， f（3）=2， f（4）=5， f（5）=9． 每增加一條直線，交點增加的個數等于原來直線的條數，所以f（3）－f（2）=2， f（4）－f（3）=3， f（5）－ f（4）=4，…， f（n）－f（n－1）=n－1，累加得 f（n）－f（2）=2+3+4+5+…+（n－1）=·（n－2）=， f（n）=.

金刊提醒

歸納推理的重點是通過觀察特例，發(fā)現特例的某些相似性或規(guī)律，然后把這種相似性推廣為一個明確表述的一般命題（猜想），再根據需要對得出的猜想進行特例檢驗或證明.

直接證明與間接證明

（★★★★）必做11 下面的四個不等式：①+≥2，②4a（1－a）≤1，③a2+b2+c2≥ab+bc+ca，④（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，其中不成立的有____．（把符合題意的命題序號都填上）

精妙解法 借助均值不等式考查①，易知①中缺少前提條件ab>0，故不成立；借助二次函數性質驗證②成立；③④則可通過作差比較證明是正確的，所以只有①不成立． 當然③④可以利用柯西不等式、排序不等式等解決．

（★★★）必做12 若a，b，c都是正數，則三個數a+，b+，c+的值中（ ）

A. 至少有一個不大于2

B. 至少有一個不小于2

C. 都小于2

D. 都大于2

精妙解法 設a+，b+，c+都小于2，則a++b++c+<6. 由a，b，c都是正數，得a++b++c+=a++b++c+≥2+2+2=6，矛盾，所以a+，b+，c+中至少有一個不小于2，選B.

極速突擊 反證法的第一步即為假設結論的反面成立． 運用反證法常解決的一些問題有：（1）結論本身以否定形式出現的一類命題；（2）關于唯一性、存在性的命題；（3）結論以“至多”“至少”等形式出現的命題；（4）結論的反面比原結論更具體、更容易研究的命題．

金刊提醒

分析法與綜合法的證明途徑及思維方式雖然截然相反，但在解題時，二者常常交互使用，互補優(yōu)缺．

運用反證法證明問題時，必須先否定結論，即肯定結論的反面，據此來進行推理；當結論的反面呈現多樣性時，必須羅列出各種可能的結論，缺少任何一種可能，反證法都是不完全的．

復數的四則運算

（★★★★）必做13 復數2+i與復數在復平面上的對應點分別是A、B，則∠AOB=_______．

精妙解法 ==－，由復數z=a+bi對應點（a，b）可知A（2，1），B，－；

于是tan∠AOB==1，所以∠AOB=．

金刊提醒

復數運算是高考考查復數知識的重點內容，“分母實數化”、“乘除法的可逆互化”是?？嫉募记芍R，而“共軛復數”、“i的性質”在高考考查中也占有一定的比例．

計數原理

（★★★★★）必做14 若m，n∈｛xx=a2×102+a1×10+a0｝，其中ai∈｛1，2，3，4，5，6，7｝，i=0，1，2，并且m+n=636，則實數對（m，n）表示平面上不同點的個數為__________．

精妙解法 個位數可能的情況為（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3）共五種，十位數需要分類:不進位（1，2），（2，1），進位（6，7），（7，6），所以百位數隨之分類：不進位時同個位數情況，進位時可能為（1，4），（4，1），（2，3），（3，2）共4種情況，根據分類、分步計數原理，共有5×（2×5+2×4）=90種．

誤點警示 過分拘泥于模式、過度推崇技巧、忽視了枚舉法等基本計數方法是導致失誤的重要因素．

極速突擊 兩個原理是確定“完成一件事”的方法種數的思維方法，利用兩個原理思考就可以思維清晰，高考注重通性通法的考查，在數字不是很大的情況下，枚舉法非常實用．

（★★★★★）必做15 小王練習電腦編程，其中有一道程序題的要求如下：①程序由A、B、C、D、E、F六個子程序構成；②B必須在A之后；③C必須在B之后；④執(zhí)行程序C后必須立即執(zhí)行程序D． 按此要求，小王有多少種不同的編程方法（ ）

A． 20種 B． 12種

C． 30種 D． 90種

精妙解法 由題意知，子程序A、B、C、D順序一定（從前往后），且CD相鄰． 使用分步計數原理和插空法技巧，容易得到方法數N=C·C=20，故選A．

極速突擊 特殊元素（位置）優(yōu)先安排是計數的一種常用方法．以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；當然也可以先不考慮附加條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列或組合數．

金刊提醒

復雜的排列問題，一般是先選元素（組合），后排列，按元素的性質“分類”和按事件發(fā)生的連續(xù)過程“分步”，這是處理排列組合問題的基本方法和原理，通過解題訓練要注意積累分類和分步的基本技能；另外借助樹狀圖等工具對問題進行枚舉，常常能化繁就簡，直達主題．