⊙ 浙江寧波北侖中學(xué) 空間幾何體的直觀圖與三視圖

（★★★★）必做1 一個(gè)幾何體的三視圖如圖1所示，則該幾何體的體積為________．

圖1

精妙解法 該幾何體可由一個(gè)三棱柱沿陰影部分所示平面截去一個(gè)三棱錐后得到，其體積為V=V柱－V錐=·4·2－··4·1=．

圖2

誤點(diǎn)警示 注意對得到的直觀圖，要“壓扁”還原檢驗(yàn)，看看其三視圖是否符合要求．

極速突擊 此類試題的突破點(diǎn)在于觀察三視圖，還原幾何體． 如果幾何體為錐體，那么只需將錐體的頂點(diǎn)從俯視圖中拉起還原就行；如果幾何體不是錐體，那么通常先找一個(gè)基本幾何體，然后將它削出來，我們通常稱之為“寄居法”，這個(gè)基本幾何體就是我們所研究幾何體“寄居”的殼．

（★★★）必做２ 用單位正方體搭幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖3所示，則符合條件的幾何體體積的最小值與最大值分別是（ ）

A． 9，13B． 7，16

C． 10，15D． 10，16

主視圖 俯視圖

圖3

精妙解法 由俯視圖知底層有七個(gè)小正方體，結(jié)合主視圖知，最左邊一列，最多都是三層，最少只有一行是三層，故左邊一列最多9個(gè)、最少5個(gè)；中間一列最多都是二層有6個(gè)，最少只有一行二層，共4個(gè)；右邊一列只一層一行，故最多9＋6＋1＝16個(gè)，最少5＋4＋1＝10個(gè)．

金刊提醒

三視圖的正（主）視圖、側(cè)（左）視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方正投影得到的，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線． 基本原則是“長對正、高平齊、寬相等”．

空間幾何體的表面積和體積

（★★★★）必做3 如圖4所示，正四面體ABCD的外接球的體積為4π，則正四面體的體積是________．

圖4

精妙解法 法1：由已知πR3=4π，所以R=． 設(shè)AE為球的直徑． 故AD⊥DE，AE⊥O1D． 設(shè)AD=a，所以O(shè)1D=·a=a，所以AO1=a，O1E=2R－AO1=2－a． 由射影定理知，O1D2=AO1·O1E，解得a=2． 故V=·a2·AO1=．

法2：正四面體的外接球即為正方體的外接球，正方體的對角線長為球的直徑． 由πR3=4π，所以R=，所以正方體棱長為2，所以AB=2，S△BCD=×2×2·sin60°=2． 點(diǎn)A到平面BCD的距離h=×2R=，所以VA－BCD=S△BCD×h=．

圖5

極速突擊 方法1設(shè)法尋求正四面體的棱長與球的半徑之間的關(guān)系；方法2將正四面體ABCD置于正方體中．

（★★★）必做4 一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱，下底面在同一平面上，它們有公共的內(nèi)切球，記圓錐的體積為V1，圓柱的體積為V2，且V1=kV2，則kmin=________．

精妙解法 記內(nèi)切球的半徑為r，則圓柱的體積V2=πr2·2r=2π·r3． 對于圓錐取軸截面，如圖6，則圓錐的高h(yuǎn)=+r，圓錐的底面半徑為R=h·tanθ=+r·tanθ=·r，所以V1=πR2h=πr3，所以k==·=·=·． 令t=1+sinθ，θ∈0，，則k=·，t∈（1，2），所以=6·－2+3－1，則=，所以kmin=．

極速突擊 對于旋轉(zhuǎn)體與多面體的接、切問題往往通過取軸截面，將三維問題降為二維問題處理．

金刊提醒

同學(xué)們應(yīng)當(dāng)熟練掌握空間幾何體的表面積和體積公式，在高考中解決此類題型時(shí)，要用好分割法與補(bǔ)體法，將不規(guī)則問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化.

空間的平行關(guān)系

（★★★★）必做5 用a，b，c表示三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題：

①若a∥b，b∥c，則a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；

③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；

④若a⊥γ，b⊥γ，則a∥b．

其中真命題的序號是（ ）

A． ①②B． ②③

C． ①④ D． ③④

精妙解法 ①平行關(guān)系的傳遞性． ②舉反例：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥AD，AB⊥AA1，但AD不平行AA1． ③a與b可能相交． ④垂直于同一平面的兩直線互相平行． 故①④正確，選C．

極速突擊 本題的入手點(diǎn)是借助實(shí)體模型進(jìn)行排除驗(yàn)證，同時(shí)也要求我們必須熟練記住關(guān)于平行的一些常見結(jié)論．

（★★★）必做6 如圖7，在三棱柱ABC－A′B′C′中，點(diǎn)E、F、H、K分別為AC′、CB′、A′B、B′C′的中點(diǎn)，G為△ABC的重心． 從K、H、G、B′中取一點(diǎn)作為P，使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為（ ）

A． K

B． H

C． G

D． B′

精妙解法 假如平面PEF與側(cè)棱BB′平行，則和三條側(cè)棱都平行，不滿足題意，而FK∥BB′，排除A；假如P為B′點(diǎn)，則平面PEF即平面A′B′C，此平面只與一條側(cè)棱AB平行，排除D． 若P為H點(diǎn)，則HF為△BA′C′的中位線，所以HF∥A′C′；EF為△ABC′的中位線，所以EF∥AB；HE為△AB′C′的中位線，所以HE∥B′C′，顯然不合題意，排除B，故選C．

極速突擊 本題主要考查“線面平行”的判定，“線面平行”可由“線線平行”或“面面平行”進(jìn)行轉(zhuǎn)化．一般地，我們習(xí)慣選擇降維處理，即選擇用“線線平行”來推出“線面平行”，所以思維的落腳點(diǎn)應(yīng)該在尋找“線線平行”． 所以在此題中，也可這樣考慮，因?yàn)镋F是△ABC′的中位線，所以EF∥AB∥A′B′，故點(diǎn)P只要使得平面PEF與其他各棱均不平行即可，故選G點(diǎn)．

金刊提醒

同學(xué)們應(yīng)熟練掌握“線面平行”“線線平行”“面面平行”三種平行關(guān)系的合理轉(zhuǎn)化，要判定其中的一種關(guān)系應(yīng)考慮從其他兩種平行關(guān)系出發(fā).

空間的垂直關(guān)系

（★★★★）必做7 如圖8，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）

圖8

A． MN與CC1垂直

B． MN與AC垂直

C． MN與A1C垂直

D． MN與B1D垂直

精妙解法 連結(jié)CB1，B1D1，因?yàn)镸，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，所以MN為△CB1D1的中位線，MN∥B1D1，而CC1⊥B1D1，所以CC1⊥MN；AC⊥B1D1，所以AC⊥MN；因?yàn)锽D∥MN，A1C⊥BD，所以MN⊥A1C，故選D．

極速突擊 本題應(yīng)從垂直、平行關(guān)系入手，尋找垂直、平行成立的充分條件，如欲證“線面垂直”，則應(yīng)尋找一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，同時(shí)也要求我們必須熟練記住關(guān)于垂直的一些常見結(jié)論．

（★★★）必做8 如圖9，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC=90°，且AA1=AD=DC=2，M∈平面ABCD，當(dāng)D1M⊥平面A1C1D時(shí)，DM=________．

圖9

精妙解法 因?yàn)镈A=DC=DD1且DA、DC、DD1兩兩垂直，故當(dāng)點(diǎn)M使四邊形ADCM為正方形時(shí)，D1M⊥平面A1C1D，所以DM=2．

極速突擊 本題是三種垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，由“線線垂直”得到“線面垂直”，再到“線線垂直”，解題時(shí)要靈活轉(zhuǎn)化，且要注意到線動(dòng)成面．

金刊提醒

證明垂直問題時(shí)，要注意所用定理?xiàng)l件的完整性，如欲證“線面垂直”，證明了直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線后，一定要注意兩條直線相交這一條件.

空間的角

（★★★）必做9 等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C－AB－D的余弦值為，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，則EM與AN所成角的余弦值等于________．

圖10

精妙解法 如圖10所示，設(shè)正方形的邊長為1，取ED的中點(diǎn)H，連結(jié)AH，HN，由題意知MNEH，所以HN∥EM，則∠HNA就是所求的異面直線的夾角． 過點(diǎn)A作AP∥FN，使AP=FN，連結(jié)EP，由EA⊥AB，AP⊥AB，所以∠EAP就是二面角C－AB－D的平面角．又EA=1，AP=，所以cos∠EAP==，所以EP2=． 又MN∥AB且AB⊥平面EPA，所以MN⊥平面EPA，MN⊥EP，EM===． 因?yàn)锳H=，AN==，所以cos∠HNA==．

誤點(diǎn)警示 注意異面直線所成角的取值范圍為0，，所以其余弦值為正值．

極速突擊 本題采用“幾何法”求解異面直線所成的角，其步驟一般為“找角→求三角形各邊的長→利用余弦定理求解”．

（★★★★）必做10 已知正四棱錐P－ABCD的側(cè)棱與底面所成角為60°，M為PA中點(diǎn)，連結(jié)DM，則DM與平面PAC所成角的大小是_______．

圖11

精妙解法 法1：取AC中點(diǎn)O，連結(jié)DO，PO，MO，則DO⊥面PAC，所以∠DMO是DM與平面PAC所成角． 因?yàn)镻B與底面所成角為60°，所以∠PBO=60°，記AB=a，則BO=a，所以cos∠PBO===，所以PB=a． 在△PAC中，MO=PC=a，所以tan∠DMO==1，所以DM與平面PAC所成角為45°．

法2：如圖12建立空間直角坐標(biāo)系，則平面PAC的法向量為n=（1，0，0），D－a，0，0，M0，－a，a，=a，－a，a，所以sinφ=cosθ==，所以DM與平面PAC所成角為45°．

圖12

誤點(diǎn)警示 本題易錯(cuò)在采用向量法計(jì)算時(shí)，沒有正確理解“斜線與平面法向量所成的角”和“斜線與平面所成的角”的關(guān)系，誤以為它們是相等的，實(shí)則不然．

極速突擊 本題采用兩種方法求解，方法1為“幾何法”，可按照“一找、二證、三算”的步驟進(jìn)行；方法2為“向量法”，先建立空間直角坐標(biāo)系，再求解“斜線與平面法向量所成角的余弦值”，最后由“斜線與平面法向量所成角的余弦值的絕對值”等于“斜線與平面所成角的正弦值”得出答案．

金刊提醒

找異面直線所成的角，一般可以采用平移的方法，把其中一條異面直線平移至與另一條異面直線相交，然后在某個(gè)三角形中解他們的夾角；當(dāng)然，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量的方法求解.

利用平面法向量求直線與平面的夾角時(shí)，應(yīng)注意直線與平面的夾角θ和兩向量夾角（銳角）是互為余角的關(guān)系，即sinθ=cosα；利用平面法向量求二面角的平面角時(shí)，應(yīng)注意法向量的方向，或直接從圖形中觀察出其是鈍（或銳）二面角，再利用向量夾角與平面角的互補(bǔ)關(guān)系求出答案.

空間的

（★★★）必做11 正四棱錐P－ABCD的底面邊長為2，高為3，E、F分別為PC、PD的中點(diǎn)，則異面直線AC與EF的距離為（ ）

圖13

A． B．

C． D．

精妙解法 法1：因?yàn)镋F∥CD，則異面直線AC與EF的距離即為E到平面ABCD的距離，因?yàn)镋為PC中點(diǎn)，所以E到平面ABCD的距離為P到平面ABCD的距離的一半，所以d=． 故選B．

法2：以正方形ABCD的中心為原點(diǎn)，與邊BC、CD垂直的直線分別為x軸、y軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由條件知：C（1，1，0），D（－1，1，0），P（0，0，3），所以E，，，F(xiàn)-，，，所以=（1，1，0），=（－1，0，0）． 設(shè)n=（x，y，z），則n·=0，n·=0，所以x+y=0，－x=0，所以x=y=0，取n=（0，0，1），又=－，－，，所以d==，故選B．

極速突擊 求異面直線間距離時(shí)，可以作出兩異面直線的公垂線段，然后再求其長度；也可以采用上述的向量方法；有時(shí)也可以轉(zhuǎn)化為直線與平面的距離，或者點(diǎn)到平面的距離再求解． 運(yùn)用向量法求解點(diǎn)A到平面α的距離時(shí)，可以采用如下的方法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系→確定點(diǎn)A的坐標(biāo)→在平面α內(nèi)取一點(diǎn)B→求出向量→求出平面α的一個(gè)法向量n→求出點(diǎn)A到平面α的距離． 運(yùn)用幾何法求點(diǎn)A到平面α的距離時(shí)，可以先作平行線或平行平面，將A點(diǎn)到平面α的距離轉(zhuǎn)移到點(diǎn)B到平面α的距離，或者利用中位線及線段長度的比例關(guān)系，將A點(diǎn)到平面α的距離轉(zhuǎn)移到其他點(diǎn)到平面α的距離，再利用等積變換或直接法求之．

金刊提醒

點(diǎn)A（x，y）到平面α距離為d=（B為平面α上任一點(diǎn)，n為平面α的法向量），而線面距離、面面距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離來求解當(dāng)題目中的距離難以找出來時(shí)，應(yīng)采用空間向量法，避免耗時(shí)過多.