直線的方程及位置關(guān)系

（★★★）必做1 已知函數(shù)f（x）=x3+x+1在x=0處的切線與兩坐標軸圍成的面積為________．

精妙解法 由f（x）=x3+x+1可得f ′（x）=3x2+1，則切線的斜率為k=f ′（x）x=0=1，而f（0）=1，故切線方程為y=x+1，在兩坐標軸上的截距分別為－1，1，故與兩坐標軸圍成的三角形的面積為．

（★★★）必做2 一條光線沿直線2x－y+2=0入射到直線x+y－5=0后反射，則反射光線所在的直線方程為（ ）

A． 2x+y－6=0 B． x+2y－9=0

C． x－y+3=0 D． x－2y+7=0

精妙解法 易知兩直線的交點坐標為P（1，4）． 在直線2x－y+2=0上任取一點，如取點A（-1，0），設(shè)點A關(guān)于直線x+y－5=0的對稱點為B（a，b），根據(jù)點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)有+－5=0，b=a+1，解得a=5，b=6，由P（1，4），B（5，6）易得所求反射光線所在的直線方程為x－2y+7=0． 故選D．

金刊提醒

一些典型方法要熟練，如求點關(guān)于直線的對稱點問題，通常利用關(guān)系：中點在對稱軸上、兩點連線與對稱軸垂直等．直線方程常常與方程（組）相聯(lián)系，依據(jù)條件合理轉(zhuǎn)化為方程（組）問題．同時，解法也需要與時俱進，如利用導數(shù)確定直線的斜率．兩直線的位置關(guān)系問題，既要看“數(shù)”的關(guān)系，又要有“形”的支撐，數(shù)形結(jié)合才能準確快速解決問題．

圓的方程

（★★★）必做3 已知圓C與直線x－y=0及x－y－4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則C的方程為__________．

精妙解法 由題意知，兩切線間的距離即為圓C的直徑，所以半徑r=×=，又兩切線分別與直線x+y=0的交點為切點，可得兩切點分別為（0，0），（2，－2），故圓心為C（1，－1），所以C的方程為（x－1）2+（y+1）2=2．

極速突擊 數(shù)形結(jié)合，通過幾何圖形快速確定圓的圓心、半徑，充分利用問題的“個性”條件． 一般利用幾何意義解題會比較直觀、簡潔．

（★★）必做4 設(shè)A為圓（x－1）2+y2=1上的動點，PA是圓的切線，且PA=1，則P點的軌跡方程為（ ）

A. （x－1）2+y2=4

B. （x－1）2+y2=2

C. y2=2x

D. y2=－2x

精妙解法 由條件得，圓心為C（1，0），半徑R=1，設(shè)P（x，y），則PC2=R2+PA2=2，所以（x－1）2+y2=2. 選B.

極速突擊 結(jié)合圖象，找出P點滿足的條件，形成對應(yīng)的方程.

（★★★）必做5 已知動圓C經(jīng)過點F（0，1），并且與直線y=－1相切，若直線3x－4y+20=0與圓C有公共點，則圓C的面積（ ）

圖1

A． 有最大值為π

B． 有最小值為π

C． 有最大值為4π

D． 有最小值為4π

精妙解法 如圖1所示，由圓C經(jīng)過點F（0，1），并且與直線y=－1相切，可得點C的軌跡為拋物線x2=4y，顯然，以拋物線x2=4y上任一點為圓心可作出任意大的圓，與直線3x-4y+20=0相交，即圓C的面積不存在最大值． 設(shè)圓C與3x-4y+20=0相切于點A，其圓心為（x0，y0），則由AC=PC可得，d==y0+1（點C在直線3x-4y+20=0的右側(cè)），即=x+1，解得x0=－2或x0=（舍去）． 當x0=－2時，圓心C的坐標為（-2，1），此時圓C的半徑為2，即可得圓C的面積的最小值為4π

極速突擊 弄清楚最小圓圓心的位置，很快可以算出最小半徑的圓的相關(guān)數(shù)據(jù)．

金刊提醒

概念明晰是基礎(chǔ)，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵．圓心與半徑作為圓的兩個核心要素要念念不忘，“圓不離心”，涉及圓的試題大多要從圓心考慮，通過半徑建立關(guān)系．

直線與圓的位置關(guān)系

（★★★）必做6 已知點P是圓C：（x－2）2+y2=4上一動點，點P到直線x－y+3=0的最短距離是_____．

精妙解法 圓C的圓心是C（2，0），C到直線x－y+3=0的距離為d==，所以點P到直線的最短距離為d－2=．

（★★★）必做7 在圓x2+y2=5x內(nèi)，過點，有n條弦的長度成等差數(shù)列，最短弦長為數(shù)列的首項a1，最長弦長為an，若公差d∈，，那么n的取值集合為（ ）

A． ｛３，４，５｝Ｂ． ｛６，７，８，９｝

Ｃ． ｛４，５，６｝Ｄ． ｛３，４，５，６｝

精妙解法 由題意，圓心，0，最短的弦是過點，且平行于X軸的弦，最長的弦當然是直徑． a1=2=4，an=×2=5，所以d==． 因為

誤點警示 不善于數(shù)形結(jié)合，不能充分利用圓的幾何性質(zhì)，盲目利用方程或者方程組運算，簡單問題復雜化．

極速突擊 對于圓的弦長問題一般會利用半徑、半弦長、圓心到直線的距離三者關(guān)系求解，而不會利用一般的弦長公式． 要掌握問題的一般解法，更要理解問題的“個性”解法，充分利用條件和幾何對象的性質(zhì)解題．

（★★★）必做8 已知兩個不相等的實數(shù)滿足以下關(guān)系：a2·sinθ+a·cosθ－=0，b2·sinθ+b·cosθ－=0，則連結(jié)A（a2，a），B（b2，b）兩點的直線與圓心在原點的單位圓的位置關(guān)系是（ ）

A. 相離 B. 相交

C. 相切D. 不能確定

精妙解答 由題意得，a，b是方程x2·sinθ+x·cosθ－=0的兩個根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系有，a+b=－= －cotθ，所以kAB===－tanθ，所以直線AB的方程為y－a=－tanθ（x－a2），即x·sinθ+y·cosθ=a2·sinθ+a·cosθ=. 原點到直線的距離為d==<1，即該直線與單位圓相交. 選B.

極速突擊 利用根與系數(shù)的關(guān)系得到直線的方程，再結(jié)合圓與直線位置關(guān)系判定的充要條件，可以得到直線與單位圓之間的位置關(guān)系. 同學們在復習時，還可以將該題推廣到更一般的情況，即圓不是單位圓.

金刊提醒

確定圓的方程可以用待定系數(shù)法或者幾何法，往往兩種方法組合運用達到最佳效果． 首先筆下或者心中有圖，然后根據(jù)題意選擇合適的方程形式，通過幾何方法確定圓的要素，或者根據(jù)條件列出方程（組）． 處理直線與圓的位置關(guān)系問題，一定要聯(lián)系圓的幾何性質(zhì)，利用有關(guān)圖形的幾何性質(zhì)，盡可能簡化運算，直線與圓的位置關(guān)系一般不會利用方程組的解的情況，而是利用圓心到直線的距離．

圓錐曲線的定義

（★★★）必做9 已知△ABC三個頂點均在拋物線y2=4x上，拋物線的焦點為F，若+=，則FA+FB+FC=________．

精妙解法 拋物線焦點坐標為（1，0）． 設(shè)A，B，C三點的橫坐標分別為x1，x2，x3，=（x1－1，y1），=（x2－1，y2），=（1－x3，－y3），x1－1+x2－1=1－x3，所以x1+x2+x3=3，所以FA+FB+FC=x1+x2+x3+3=6．

（★★★）必做10 已知橢圓C的中心是坐標原點，對稱軸為坐標軸，直線y=x+3與該橢圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M（－2，1），且PQ=2，則橢圓的方程是________．

精妙解法 因為點M（－2，1）是線段的中點，且在直線y=x+3上，可解得兩點的坐標為（-1，2）、（-3，0）． 設(shè)所求方程為mx2+ny2=1，把兩點坐標代入可得+=1．

極速突擊 在橢圓或者雙曲線焦點位置不確定時，可以設(shè)mx2+ny2=1或者mx2－ny2=1的形式，然后根據(jù)條件確定系數(shù)，從而避免分類討論．

（★★★）必做11 直線MN與雙曲線C：－=1的左、右支分別交于點M，N，與雙曲線C的右準線l相交于點P，F(xiàn)為雙曲線的右焦點，若FM=2FN，又=λ（λ∈R），則實數(shù)λ的值為（ ）

A. B. 1 C. 2 D.

精妙解法 如圖2所示，分別過點M，N作MB⊥l于點B，NA⊥l于點A. 由雙曲線的第二定義可得，==e，則==2，因為△MPB～△NPA，所以==，即=. 選A.

圖2

極速突擊 同學們在掌握圓錐曲線的定義時，應(yīng)當注意全面性，對第一、第二定義都要認真理解.

金刊提醒

求圓錐曲線方程問題一般是采取“先定形、后定量”的原則，定形：圓錐曲線的焦點位置與對稱軸位置，根據(jù)形選取相應(yīng)的方程形式；定量：根據(jù)圓錐曲線的“形”，由題設(shè)條件找到方程中待定系數(shù)滿足的關(guān)系式，通過解方程或者解方程組得到相關(guān)量的值.

圓錐曲線的幾何性質(zhì)

（★★★）必做12 已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點. 若AB=F2B，則這個橢圓的離心率是（ ）

A. B.

C. D.

精妙解法 不妨設(shè)AF1=1，由條件知，△ABF2是正三角形，所以AF2=2，F(xiàn)1F2=，所以橢圓的離心率為e====. 選C.

（★★★）必做13 已知拋物線y2=2px（p>0）與雙曲線－=1（a>0，b>0）有相同的焦點F，點A是兩曲線的一個交點，且AF⊥x軸，若l為雙曲線一、三象限的一條漸近線，則l的傾斜角所在的區(qū)間可能是（ ）

A． 0，B． ，

C． ，D． ，

精妙解法 設(shè)雙曲線半焦距為c，l的傾斜角為θ，則c2=a2+b2>b2，依題意有c=①，在拋物線中求得AF=p，在雙曲線中求得AF=，所以=p②，由①②得=2c，故tanθ==>2． 又θ∈0，，于是θ∈，，選D．

（★★★）必做14 已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－=1的左、右焦點，A是其右頂點，過F2作x軸的垂線，與雙曲線的一個交點為P，G是△PF1F2的重心． 若·=0，則此雙曲線的離心率是_______．

精妙解法 據(jù)題意知，△PF1F2三個頂點的坐標分別為F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），Pc，，故該三角形的重心G為，． 因為·=0，所以a－·2c=0，所以=a，即e=3．

極速突擊 明確相關(guān)點、線等幾何對象與基本量的關(guān)系，依據(jù)條件建立基本量之間的等式，從而解出離心率． 求離心率是客觀題中一種重要的題型，其方法是建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式來求解．

圖3

（★★★★）必做15 如圖3，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線，分別交拋物線的準線l、y軸、拋物線于A，B，C三點，若=3，那么直線的斜率是__________．

精妙解法 過點B，C分別作準線l的垂線，垂足分別為B1，C1，記BC=a．因為O是E，F(xiàn)的中點，BO∥AE，所以AB=BF=3a，CF=CC1=2a，在△ACC1中，AC1=2a，tan∠AFO=，故直線的斜率是－.

極速突擊 把所有問題化成坐標問題，再通過建立方程、方程組求解是處理直線與圓錐曲線的問題的通性通法，但有時利用概念、幾何性質(zhì)等可以極大地減少運算，提高準確率.

圖4

金刊提醒

客觀題中，圓錐曲線的定義與性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)，要能靈活地運用定義與性質(zhì)，并結(jié)合圖形的幾何特征來解題，必要時要用到解析幾何的通法．