平面向量基本定理

（★★★）必做1 已知向量a=（1，2），b=（1，1），且a與a+λb的夾角為銳角，則λ的取值范圍為_________.

精妙解法 由于a與a+λb的夾角為銳角的充要條件為a·（a+λb）>0，且a與a+λb不共線，所以由a·（a+λb）>0解得，λ>－. 由a與a+λb共線有λ=0，即a與a+λb不共線時有λ≠0. 所以λ的取值范圍為：λλ>-，且λ≠0.

極速突擊 找出兩非零向量夾角為銳角的充要條件即可順利求解. 在遇到此類問題時，同學(xué)們一定仔細分析，得到正確的求解思路，不要漏掉條件.

誤點警示 設(shè)a與a+λb的夾角為θ，則a·（a+λb）=a·a+λbcosθ. 由題意得，a與a+λb均不是零向量，且θ為銳角，所以a·（a+λb）>0，解得λ>－，所以λ的取值范圍為：λλ>-.

錯解分析：兩向量夾角θ的取值范圍是［0，π］，當(dāng)θ=0時，有cosθ=1>0，此時非零向量a，b仍滿足a·b>0. 因此，a·b>0是兩非零向量a，b的夾角為銳角的必要不充分條件. 事實上，兩非零向量的夾角為銳角的充要條件為a·b>0，且a不平行于b.

（★★★★）必做2 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為90°． 如圖1所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動，若=x+y，其中x，y∈R，則xy的取值范圍是________．

精妙解法 由=x+y2=x22+y22+2xy·． 又===1，·=0，所以1=x2+y2≥2xy，得xy≤． 而點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動，得x，y∈［0，1］，于是0≤xy≤．

圖1

金刊提醒

同學(xué)們要掌握平面向量線性運算的三種形式，學(xué)會利用平面向量數(shù)和形的雙重屬性，借助平面圖形的幾何性質(zhì)簡化運算. 下面兩條性質(zhì)在解題中經(jīng)常用到.

（1）已知A，B，C三點在直線l上，且不過點O，則有=α+β，其中α，β∈R，且α+β=1，反之亦然.

（2）已知A，B，C三點不共線，且點O滿足++=0，則O為△ABC的重心.

感興趣的同學(xué)還可以找一找三角形的內(nèi)心、外心、垂心等的向量表示.

平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

（★★★）必做3 已知向量a，b滿足a=2，b=1，a－b=2．

（1）a·b=_____________；

（2）a+b=___________．

精妙解法 （1）由a－b2=a2-2a·b+b2=4+1-2a·b=4，得a·b=．

（2）a+b2=a2+2a·b+b2=4+2×+1=6，所以a+b=．

極速突擊 由于向量自身的數(shù)形二象性，涉及兩個不共線向量a，b 及a－b，a+b時，可以考慮從解三角形的角度入手解決. 對于平行四邊形而言，注意下面的性質(zhì)：a+b2+a－b2=2（a2+b2）. 另外，本題還有另一種比較典型的解法：由數(shù)量積的定義知，只需求出向量a與b的夾角〈a，b〉，利用向量的三角形法則，容易知道〈a，b〉是邊長分別為1，2，2的等腰三角形的底角，因此，由余弦定理或者余弦函數(shù)的定義可得cos〈a，b〉=，這樣a·b=. 計算a+b，只需由a+b取與自身的數(shù)量積運算即可.

（★★★）必做4 設(shè)a，b是夾角為60°的單位向量，若c是單位向量，則（a－c）·（b+c）的取值范圍是________．

精妙解法 根據(jù)已知a·b=且a－b=c=1． 由于（a－c）·（b+c）=a·b+a·c－c·b－c2=（a－b）·c－． 設(shè)a－b與c的夾角為θ，則（a－b）·c=a－bccosθ=cosθ∈［－1，1］，故－≤（a－b）·c－≤，即（a－c）·（b+c）∈－，．

（★★★★★）必做5 已知向量m，n的夾角為，且m=，n=2. 在△ABC中，=2m+2n，=2m－6n，D為BC邊的中點，則=______.

精妙解法 在△ABC中，因為=2m+2n，=2m－6n，D為BC邊的中點，

所以=（+）=2m－2n，又m·n=2cos=3，所以2=（2m－2n）2=4m2－8m·n+4n2=4，即=2.

極速突擊 利用向量與其自身的數(shù)量積運算可以得到該向量的模長，這一點在計算三角形的邊長時非常有用. 大家要明確數(shù)量積也是一種必要的運算形式，對于解決有關(guān)長度和角度的問題非常有效.

金刊提醒

平面向量的數(shù)量積運算得到的結(jié)果是實數(shù)，同學(xué)們要明確數(shù)量積的運算不滿足消去律，尤其是必須掌握數(shù)量積的基底形式的運算和坐標(biāo)形式的運算. 利用平面向量的數(shù)量積運算能夠解決平面幾何中的有關(guān)角度和邊長的問題，大家要熟記平面向量數(shù)量積運算的兩個重要的變式：

（1）a2=a·a=a2；（2）cos〈a，b〉=.

三角形形狀判定

（★★★★）必做6 已知P為△ABC內(nèi)部任一點（不包括邊界），且（－）·（+－2）=0，則△ABC一定為（ ）

A． 直角三角形

B． 等邊三角形

C． 等腰直角三角形

D． 等腰三角形

精妙解法（－）·（＋－2）＝·（－＋－）=·（＋）＝（－）·（＋）＝2－2=0，所以=，即三角形為等腰三角形． 選D．

極速突擊 涉及三角形的形狀判定，無外乎有兩種方法，一是從角考慮，二是從邊考慮．

（★★★★★）必做7 若△ABC的三內(nèi)角滿足sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶6，則△ABC的形狀（ ）

A． 一定是銳角三角形

B． 一定是直角三角形

C． 一定是鈍角三角形

D． 可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形

精妙解法 因為sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶6，由正弦定理得，a∶b∶c=3∶4∶6，因此c所對的內(nèi)角C是最大角. 由余弦定理得，cosC=<0，所以C為鈍角，即△ABC一定是鈍角三角形. 選C.

極速突擊 由選項可以得到暗示——只需考慮最大邊對應(yīng)的最大角的取值范圍即可. 容易想到利用正弦定理進行邊角互化，再用余弦定理確定角的取值范圍.

金刊提醒

一般地，同學(xué)們還需熟記這兩條結(jié)論——在任意△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，則有：（1）sinA>sinBA>Ba>b；（2）cosA+cosB>0，cosA+cosC>0，cosC+cosB>0.

正弦定理、余弦定理

（★★★★★）必做8 在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊. 已知∠A=45°，a=，b=3，則∠B＝___.

精妙解法 由正弦定理得，=，所以sinB==.

又0

因為a=<3=b，即∠A<∠B，所以∠B=60°或∠B=120°.

極速突擊 已知兩邊及一邊對角解三角形時，最直接的方法是利用正弦定理. 同學(xué)們要特別注意，在這類問題中三角形可能不能確定位置，即存在多解情況.

（★★★★）必做9 在△ABC中，BC=1，∠B=，當(dāng)△ABC的面積等于時，tanC=________．

精妙解法 S△ABC=acsinB=，所以c=4，由余弦定理：b2=a2+c2－2accosB=13，所以cosC== －，sinC=，所以tanC==－2．

（★★★★）必做10 在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，如果a，b，c成等差數(shù)列，B=，△ABC的面積為，則b的長度為（ ）

A.

B. 1+

C.

D. 2+

精妙解法 由題意得，

2b=a+c，b2=a2+c2－2accos，acsin=

即2b=a+c，b2=a2+c2－ac，ac=6所以b2=（a+c）2－（+2）ac=4b2－6（+2），即b2=（1+）2，所以b=1+. 選B.

金刊提醒

不論是向量背景的解三角形問題還是實際應(yīng)用下的解三角形問題，我們始終要明確在哪一個三角形中，需要借助什么定理，得到所需的量，最終獲得問題的解. 在一些研究最值的問題中，必須借助函數(shù)的手段，驗證最值取等號的條件是否具備. 一般地，解三角形問題主要有以下四類問題：已知兩邊及其夾角求其他，利用余弦定理，此時三角形唯一確定；已知三邊求其他，利用余弦定理，此時三角形唯一確定；已知兩邊及一邊對角求其他，利用正弦定理，此時三角形可能不唯一；已知兩角及一邊求其他，利用正弦定理，此時三角形唯一.