三角函數(shù)的定義

（★★★）必做1 角α的終邊過(guò)點(diǎn)P（－8m，－6sin30°），且cosα=－，則m=________．

精妙解法 由三角函數(shù)的定義有r=，所以cosα==－，所以m>0，所以=，所以m=． 選B．

極速突擊 我們?cè)诶萌呛瘮?shù)定義求角或函數(shù)值時(shí)，依然將其置于直角三角形求解，只不過(guò)要注意角所在象限．

（★★★★）必做2 已知銳角α終邊上一點(diǎn)Psin，cos，則α的值為_(kāi)________.

精妙解法 由條件知，點(diǎn)P顯然在單位圓上，所以sinα=cos=cos-=sin. 又α是銳角，故α=.

極速突擊 求角的通法就是求它的個(gè)某三角函數(shù)值，進(jìn)而利用角的取值范圍確定角. 不同名的三角函數(shù)關(guān)系要先轉(zhuǎn)化為同名的三角函數(shù)關(guān)系，即可得到角.

金刊提醒

利用三角函數(shù)值求角，要注意角的取值范圍及三角函數(shù)的單調(diào)性.

同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式

（★★★）必做3 已知0

精妙解法 由條件知（sinx－cosx）2=，因此sinxcosx=． 故tanx+=+==，所以a+b+c=32+16+2=50．

極速突擊 切弦互化是經(jīng)常用到的策略．

（★★★）必做4 若sin（3π－α）=cos+β，cos（－α）= －cos（π+β），且0<α<，0<β<，則α和β的值分別為_(kāi)________.

精妙解法 由已知條件得，sinα=sinβ，cosα=cosβ，將sinα=sinβ，cosα=cosβ，兩式分別平方相加得，sin2α+3cos2α=2（sin2β+cos2β）=2，即sin2α+3（1－sin2α）=2，所以sin2α=，即sinα=±. 因?yàn)?<α<，所以sinα=，所以α=. 因?yàn)閟inα=sinβ，所以sinβ=. 又0<β<，所以β=.

極速突擊 在同角三角函數(shù)關(guān)系式中，平方關(guān)系的應(yīng)用經(jīng)常成為解題的突破口. 在三角函數(shù)值的選取上，大家應(yīng)注意到角的取值范圍.

金刊提醒

同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式是三角變換的基礎(chǔ)，同學(xué)們要熟悉常見(jiàn)題型及解題思路.

和差角公式運(yùn)算

（★★★）必做5 已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，則cos2=________．

精妙解法 將條件兩式平方得sin2α+sin2β+2sinαsinβ=①，cos2α+cos2β+2cosαcosβ=②，①＋②有cos（α－β）=－，所以cos=．

（★★★）必做6 在△ABC中，sinA=，cosC=，則cosB=_____．

精妙解法 在△ABC中，由cosC=>0知角C為銳角，即sinC=． 又sinA=<=sinC，所以AcosA=． 由內(nèi)角和定理得，B=π－（A+C），所以cosB=－cos（A+C）=sinAsinC－cosAcosC=×－×=.

誤點(diǎn)警示 本題極易求出兩個(gè)答案，錯(cuò)誤的原因是忽略了本題是以三角形為背景命制的，在解題時(shí)只是盲目地計(jì)算三角函數(shù)值而沒(méi)有限制角A的取值范圍．

金刊提醒

兩角和差公式是三角運(yùn)算的基礎(chǔ)，大家要注意體會(huì)公式特征，在解題時(shí)靈活選用.

倍角公式的運(yùn)算

（★★★★）必做7 已知α∈，，sin－α=－，則cos2α=________．

精妙解法 因?yàn)棣痢?，，所以－α∈－?． 因?yàn)閟in－α=－，所以cos－α=，故cos2α=sin－2α=2sin－α·cos－α=2×－×=－．

極速突擊 對(duì)于2倍角的理解應(yīng)是廣義的，比如此題中的－α與－2α具有2倍角關(guān)系，再比如與．

金刊提醒

二倍角公式常和前面所學(xué)的知識(shí)聯(lián)系在一起綜合運(yùn)用.

三角函數(shù)的圖象

（★★★★）必做8 函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）+k（A>0，ω>0，φ≤）的圖象如圖1，則f（x）的解析式和S=f（1）+f（2）+…+f（2012）的值分別為（ ）

圖1

A． f（x）=sin2πx+1，S=2011

B． f（x）=sinx+1，S=2011

C． f（x）=sinx+1，S=2012

D． f（x）=sinx+1，S=2012

精妙解法 觀察圖形知A=，k=1，周期T=4，所以ω=，代點(diǎn)1，，解得φ=－，所以f（x）=·cosx－+1=sinx+1． 由此知：f（0）=1，f（1）=，f（2）=1，f（3）=，f（4）=1，且以4為周期，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4，2012=4×503，所以S=f（1）+f（2）+…+f（2012）=2012． 選D．

極速突擊 求解析式的難點(diǎn)是求φ，通常用代入法． 在選擇代入的點(diǎn)時(shí)，最好代入最值點(diǎn)，而非平衡點(diǎn)，這樣會(huì)比較簡(jiǎn)單，建議同學(xué)們掌握這一技巧．

（★★★★）必做9 已知函數(shù)f（x）=3sin2x－的圖象為C.

①圖象C關(guān)于直線x=π對(duì)稱；

②函數(shù)f（x）在區(qū)間－，內(nèi)是增函數(shù)；

③y=3sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后可以得到圖象C.

以上三個(gè)論斷中，正確的論斷是________.

精妙解法 ①圖象C關(guān)于直線2x－=kπ+對(duì)稱，當(dāng)k=1時(shí)，圖象C關(guān)于x=π對(duì)稱，故①正確；②x∈－，時(shí)，2x－∈－，，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間－，內(nèi)是增函數(shù)，故②正確；③y=3sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后可以得到y(tǒng)=3sin2x－，得不到圖象C，故③錯(cuò)誤，綜上，正確的結(jié)論是①②.

極速突擊 作三角函數(shù)圖象變換時(shí)，要注意到不同變換途徑的區(qū)別．下面列出了三角圖象變換的兩種途徑的差異．

（1）先相位變換后周期變換

y=sinxy=sin（x+φ）y=sin（ωx+φ）

（2）先周期變換后相位變換

y=sinxy=sinωxy=sinω（x+φ）

（★★★）必做10 已知在函數(shù)f（x）=sin的圖象上，相鄰的一個(gè)最大值點(diǎn)與一個(gè)最小值點(diǎn)恰好在圓x2+y2=R2上，則f（x）的最小正周期為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

精妙解法 令=可得，x=，即可得函數(shù)f（x）=sin在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，，其在原點(diǎn)左側(cè)第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為－，－. 因?yàn)樽罡唿c(diǎn)和最低點(diǎn)均在圓x2+y2=R2上，所以+（）2=R2，解得R=2，所以f（x）=sin的最小正周期為T(mén)==4. 選D.

極速突擊 此題是對(duì)正弦三角函數(shù)的圖象特征的綜合考查. 在解決此類題目時(shí)，同學(xué)們要注意三角函數(shù)的曲線特征及與之對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系.

金刊提醒

處理三角函數(shù)圖象問(wèn)題，首先應(yīng)弄清A，ω，φ的功能. 同學(xué)們應(yīng)當(dāng)掌握根據(jù)三角函數(shù)解析式繪出相應(yīng)曲線草圖并給出相應(yīng)曲線特征的方法.

三角函數(shù)的性質(zhì)

（★★★★）必做11 函數(shù)y=2·sin－2x的單調(diào)區(qū)間為_(kāi)________．

精妙解法 由條件易知，y=2sin－2x=2sinπ－－2x=2sin2x+π，令u=2x+π，則y=2sinu在2kπ－，2kπ+（k∈Z）上是增函數(shù)，即2kπ－≤2x+π≤2kπ+，解得其單調(diào)遞增區(qū)間為kπ－，kπ－（k∈Z）.

誤點(diǎn)警示 本題的ω=－2，為負(fù)值，要先化為正值再用公式求解，但有些同學(xué)直接將ω=－2代入計(jì)算，導(dǎo)致錯(cuò)誤．

極速突擊 求形如y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，大家一定要注意ω的正負(fù)． 若ω為負(fù)值，則應(yīng)該先用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式sin（π－θ）=sinθ，cos（－θ）=cosθ將ω化為正值，然后再用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法來(lái)求解．

（★★★★）必做12 已知函數(shù)f（x）=msinx+ncosx，且f是它的最大值（其中m、n為常數(shù)且mn≠0），給出下列命題：

①fx+是奇函數(shù)；

②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)，0對(duì)稱；

③ f－是函數(shù)f（x）的最大值；

④記函數(shù)f（x）的圖象在y軸右側(cè)與直線y=的交點(diǎn)按橫坐標(biāo)從小到大依次記為P1，P2，P3，P4，…，則P2P4=π；

⑤=1．

其中真命題的序號(hào)是______（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）．

精妙解法 由題意得f（x）=msinx+ncosx=sin（x+φ）tanφ=． 因?yàn)閒是它的最大值，所以+φ=2kπ+（k∈Z），φ=2kπ+．

所以f（x）=sin（x+2kπ+）=sinx+，且tanφ==tan2kπ+=1，即=1． 故f（x）=msinx+．

①fx+=msinx++=mcosx，為偶函數(shù)，①錯(cuò)誤；

②當(dāng)x=時(shí)，f=m·sin+=msin2π=0，所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)，0對(duì)稱，②正確；

③f－=msin－= －msin=－m，取得最小值，③錯(cuò)誤；

④根據(jù)f（x）=msinx+可得其周期為2π，由題意可得P2與P4相差一個(gè)周期2π，即P2P4=2π，④錯(cuò)誤；

⑤=1，顯然成立，⑤正確． 填②⑤．

金刊提醒

我們可以從兩個(gè)角度來(lái)理解和求解有關(guān)的性質(zhì)問(wèn)題.一是從“數(shù)”的角度，一定要將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)記清楚.二是從“形”的角度，即能夠通過(guò)函數(shù)圖象來(lái)描述相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，能夠通過(guò)圖象的運(yùn)動(dòng)情況來(lái)研究和解決相應(yīng)的性質(zhì)問(wèn)題.