不等關(guān)系

（★★）必做1 已知a＋b<0，且a>0，則（ ）

A． a2<－ab

C． a2

精妙解法 法1：因a＋b<0，且a>0，所以b<0，a2+ab=a（a+b）<0，－ab－b2=－b·（a+b）<0，故選A．

法2：因a＋b<0，且a>0，所以b<0，對(duì)a＋b<0兩邊分別同乘a和b，再移項(xiàng)，利用不等式的傳遞性可得A．

法3：因a＋b<0，且a>0，所以不妨取a=1，b=－2，此時(shí)a2=1，b2=4，－ab=2，顯然有a2<－ab

誤點(diǎn)警示 不等式兩邊只有同乘以一個(gè)正數(shù)，不等式方向才不改變；若同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，則要改變方向；同向不等式相乘不一定正確，只有同向的正數(shù)不等式才能相乘．特殊值法解題時(shí)，必須滿足前提條件，如a＋b<0，且a>0，即b<0

極速突擊 作差比較法是比較大小的最基本的方法，作差后一般要變形定號(hào)，有時(shí)也會(huì)先平方再作差，或采用作比比較法． 涉及不等關(guān)系的選擇題，一般來(lái)說(shuō)，結(jié)合題設(shè)條件尋求特殊值法比較方便．

（★★★★）必做2 對(duì)任意x∈R，若f ′（x）>f（x）且a>0，則f（a）________ea·f（0）（填大小關(guān)系）

精妙解法 由f（a）與ea·f（0）聯(lián)想e0·f（a）與ea·f（0），進(jìn)而聯(lián)想新函數(shù)ex－a與f（x）的有機(jī)組合，建構(gòu)：y=，則y′=>0，所以y（a）>y（0），即f（a）>ea·f（0）．

極速突擊 此類問(wèn)題關(guān)注三點(diǎn)：（1）單調(diào)性——作為解決問(wèn)題的大方向；（2）導(dǎo)數(shù)應(yīng)用——導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的利器，利用一階導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性能事半功倍；（3）有機(jī)組合——在解決問(wèn)題過(guò)程中，如何選擇函數(shù)和建構(gòu)新函數(shù)是關(guān)鍵．

金刊提醒

靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)，可以解決比大小、證明、解不等式等許多問(wèn)題．

不等式的解法

（★★★）必做3 設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）2，x≤－1，2x+2，－1

A． （－∞，－2）∪－，+∞

B． －，

C． （－∞，－2）∪－，1

D． －2，－∪（1，+∞）

精妙解法 由f（x）及f（a）＞1可得：a≤－1，（a+1）2>1①；或－11②；或a≥1，－1>1③；解①得a<－2，解②得－

誤點(diǎn)警示 每種情況之間是并集，每種情況內(nèi)部是交集為兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)．

極速突擊 對(duì)每一段解不等式，同時(shí)弄清集合間的交并關(guān)系．

（★★★）必做4 已知函數(shù)y=f（ｘ）是R上的偶函數(shù)，且在（－∞，0］上單調(diào)遞減，且f（1）=0，若af（a）>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．

圖1

精妙解法 作出函數(shù)y=f（x）在R上的大致圖象，由af（a）>0，可得當(dāng)a>0時(shí)，f（a）>0，所以a>1；當(dāng)a<0時(shí)，f（a）<0，所以－11．

極速突擊 解題時(shí)，應(yīng)該盡量畫(huà)出函數(shù)圖象，使得問(wèn)題具體化，避免因?yàn)槌橄笏季S帶來(lái)的解題失誤，以求事半倍功．

金刊提醒

一元二次不等式的解法，可結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解，重點(diǎn)突破三個(gè)二次問(wèn)題的聯(lián)系．

線性規(guī)劃

（★★★）必做5 動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在不等式組x+y－2≤0，x－y≥0，y≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則w=的取值范圍是________．

精妙解法 w==1+=1+k，k為定點(diǎn)（1，2）與可行域上動(dòng)點(diǎn)連線的斜率，由數(shù)形結(jié)合得斜率k的取值范圍為（－∞，－2］∪［2，+∞），所以w=的取值范圍是（－∞，－1］∪［3，+∞）．

誤點(diǎn)警示 不能對(duì)w=進(jìn)行合理的變形，不會(huì)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

極速突擊 線性規(guī)劃問(wèn)題一般采用數(shù)形結(jié)合，同時(shí)要化未知為已知，化生為熟．

（★★★★）必做6 設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足3a－2b+1≥0，3a+2b－4≥0，a≤1，則9a2+4b2的最大值是___________．

精妙解法 令x=3a，y=2b，原不等式組可化為x－y+1≥0，x+y－4≥0，x≤3，目標(biāo)函數(shù)可化為z=x2+y2=（）2，可將它看做原點(diǎn)與可行域上動(dòng)點(diǎn)連線的距離的平方，作出換元后的可行域，再由數(shù)形結(jié)合可得的最大值是25．

極速突擊 換元化歸，等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合．

金刊提醒

在線性規(guī)劃問(wèn)題的求解中，要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，在解題中能認(rèn)真領(lǐng)悟圖解法的實(shí)質(zhì)．

基本不等式與最值運(yùn)用

（★★★）必做7 若直線ax+2by－2=0（a>0，b>0）始終平分圓x2+y2－4x－2y－8=0的周長(zhǎng)，則+的最小值為（ ）

A． 1 B． 3+2

C． 5D． 4

精妙解法 由已知可得直線過(guò)圓心（2，1），從而a+b=1，且a>0，b>0，+=+（a+b）=3++≥3+2，當(dāng)且僅當(dāng)a=－1，b=2－時(shí)取等號(hào)． 故選B．

誤點(diǎn)警示 此題容易錯(cuò)解如下：由已知可得直線過(guò)圓心（2，1），從而a+b=1，且a>0，b>0，+≥2=≥=4，故選D． 錯(cuò)誤的原因是無(wú)法取到等號(hào)． 事實(shí)上+≥2成立，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取到等號(hào)；≥成立，當(dāng)且僅當(dāng)b=a時(shí)取到等號(hào)，又a>0，b>0，這樣的a，b不存在．

極速突擊 用基本不等式求最值必須驗(yàn)證等號(hào)能否取到，一般當(dāng)?shù)忍?hào)無(wú)法取到時(shí)，用基本不等式求最值無(wú)效，此時(shí)應(yīng)改用其他變形手段設(shè)法能使其取到等號(hào)，或者利用函數(shù)單調(diào)性求最值．

（★★★★）必做8 函數(shù)f（x）=+2的最小值為_(kāi)______.

精妙解法 要使f（x）=+2有意義，需x2－2x≥0且x2－5x+4≥0，所以f（x）=+2的定義域是｛xx≤0或x≥4｝． 當(dāng)x≤0時(shí)， f（x）=+2是單調(diào)遞減函數(shù)，在x=0處取最小值為4；當(dāng)x≥4時(shí)， f（x）=+2是單調(diào)遞增函數(shù)，在x=4處取最小值為1+2，比較得最小值為1+2．

極速突擊 從定義域上突破，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求最值．

金刊提醒

運(yùn)用基本不等式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用、活用，還要注意“添拆項(xiàng)”技巧和公式等號(hào)成立的條件等；基本不等式應(yīng)用中一定要注意三個(gè)細(xì)節(jié)，即“一正二定三相等”，記住兩個(gè)結(jié)論：“和定積最大”與“積定和最小”．

不等式恒成立與有解

（★★★）必做9 設(shè)函數(shù)f（x）=x3+x，x∈R，若當(dāng)0≤θ≤時(shí)，f（msinθ）+f（1－m）>0恒成立，則m的取值范圍是_________．

精妙解法 函數(shù)f（x）=x3+x，x∈R，易知f（x）為奇函數(shù)，所以f（msinθ）+f（1－m）>0可化為f（msinθ）>－f（1－m）=f（m－1），且f（x）在R上是增函數(shù)，所以msinθ>m－1，m（1－sinθ）<1． 因?yàn)?≤θ≤，所以sinθ∈［0，1］，當(dāng)sinθ=1時(shí)，m∈R；當(dāng)sinθ≠1時(shí)，m<，min=1，所以m<1． 綜上所述，m的取值范圍是（－∞，1）．

誤點(diǎn)警示 f（msinθ）+f（1－m）>0可化為（msinθ）3+msinθ+（1－m）3+（1－m）>0，接下來(lái)不會(huì)因式分解化簡(jiǎn)． 因此，我們應(yīng)充分考慮函數(shù)的性質(zhì)．

極速突擊 不等式恒成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，求最值有時(shí)要按參數(shù)分類討論． 若采用分離變量法，再求最值，往往可避免分類討論． 一般地f（x）>a對(duì)一切x∈D都成立?圳f（x）min>a； f（x）

（★★★★）必做10 已知函數(shù)f（x）=lnx－x+－1，g（x）=x2－2bx+4.當(dāng)a=時(shí)，若對(duì)任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2），則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______．

精妙解法 因?yàn)閒 ′（x）=－－==－= －，又因?yàn)閤∈（0，2），所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)， f ′（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，2）時(shí)， f ′（x）>0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）在（0，2）上的最小值為f（1）=－． 由于“對(duì)任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2）”等價(jià)于“g（x）在［1，2］上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值－”，即存在x∈［1，2］，使g（x）=x2－2bx+4≤－，即2bx≥x2+，即2b≥x+∈，，所以2b≥，解得b≥，即實(shí)數(shù)b的取值范圍是，+∞．

誤點(diǎn)警示 對(duì)條件“若對(duì)任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2）”不能正確轉(zhuǎn)化是解題的誤區(qū)，如把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“f（x1）min≥g（x2）max”．

極速突擊 解決“全稱命題”“特稱命題”相關(guān)的試題時(shí)一般可以分成下面四步走：（1）實(shí)行變量分離，轉(zhuǎn)化成求最值問(wèn)題；（2）判斷求最大值還是最小值：（3）求解f（x）的最值；（4）得出結(jié)論．

金刊提醒

不等式恒成立與有解問(wèn)題最終都劃歸為函數(shù)的最值問(wèn)題，基本思路是：用分離參數(shù)法將參數(shù)與變量分開(kāi)，接著用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法等方法求變量所構(gòu)造函數(shù)的最值．