實(shí)數(shù)是初中階段的基礎(chǔ)知識(shí)，也是比較重要的知識(shí)點(diǎn)，其中滲透著豐富的數(shù)學(xué)思想。在解答實(shí)數(shù)問題時(shí)，若能把握其中的數(shù)學(xué)思想方法，則可使解題思路開闊，方法簡(jiǎn)便快捷。下面舉例說(shuō)明。

一、轉(zhuǎn)化思想

所謂轉(zhuǎn)化思想，就是要把所要解決的問題化為另一個(gè)較易解決的問題或已經(jīng)解決的問題。具體地說(shuō)，就是把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單”，把“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”。

比較■與■的大小。

解析 比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小有很多方法，本題可以借助計(jì)算器取近似值比較大小，也可以通過(guò)比較■與3的大小來(lái)解決問題。

因?yàn)?<9，所以■<■，即■<3，所以■-2<3-2，即■-2<1，所以■<■。

點(diǎn)評(píng) 本題在比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小時(shí)，采用了轉(zhuǎn)化變形思想，通過(guò)觀察分析可知，比較■與■的大小，可轉(zhuǎn)化為比較■與3的大小。

二、分類討論思想

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)問題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類，然后分別研究，給出每一類的結(jié)果，最后綜合各類結(jié)果解答整個(gè)問題。

已知x=3，y=2，xy<0，則x+y的值等于（ ）

A.5或-5B.1或-1C.5或1D.-5或-1

解析 由x=3，y=2，可知x=±3，y=±2。又xy<0，說(shuō)明x、y異號(hào)。故x+y的值應(yīng)分兩種情況來(lái)考慮。

（1）當(dāng)x>0，y<0時(shí)，x+y=3-2=1；

（2）當(dāng)x<0，y>0時(shí)，x+y=-3+2=-1。所以x+y=±1。故答案選B。

點(diǎn)評(píng) 按照不同的標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)數(shù)有一些不同的分類方法，而且不同的分類方法各有所長(zhǎng)，分類時(shí)只要做到不重不漏即可。

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)軸是理解實(shí)數(shù)及其運(yùn)算的重要工具，像數(shù)軸這樣把數(shù)與形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行研究的思想方法，就是數(shù)形結(jié)合思想。

實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上位置如圖所示，化簡(jiǎn)a-1-■=______。

解析 由圖知1

則有a-1+■=a-1+a-2=a-1+2-a=1。

點(diǎn)評(píng) 數(shù)與形是對(duì)立統(tǒng)一的，學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)與數(shù)軸后，把數(shù)與形結(jié)合起來(lái)解決問題，可以起到直觀準(zhǔn)確的作用。弄清數(shù)形互譯的意義是解決此類問題的關(guān)鍵。

四、歸納猜想思想

歸納猜想是解決規(guī)律性問題的重要數(shù)學(xué)思想方法。在實(shí)數(shù)問題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些規(guī)律性的題目，需要我們從特殊情況入手進(jìn)行探索、猜想、歸納。

比較下面四個(gè)算式結(jié)果的大?。ㄔ跈M線上填“<”“>”“=”）。

42+52____ 2×4×5；（-1）2+22 ____ 2×（-1）×2；

（■）2+（■）2 ____2×■×■；32+32 ____ 2×3×3。

通過(guò)觀察歸納并寫出反映這種規(guī)律的一般結(jié)論：_______。

解析 橫線上填寫的大小關(guān)系分別是：>，>，>，=。

一般結(jié)論是：如果a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則有a2+b2≥2ab，且當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。

點(diǎn)評(píng) 觀察是思維的前提，歸納是思維的升華，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想方法。在近幾年中考數(shù)學(xué)題中，歸納實(shí)數(shù)的排列規(guī)律、圖形擺放規(guī)律等都要用到歸納猜想思想。

五、估算思想

估算思想是在處理問題時(shí)，采用估算的方法達(dá)到解決問題的目的。在實(shí)數(shù)問題中，由于涉及無(wú)理數(shù)的大小比較或確定無(wú)理數(shù)的范圍等問題，在解決此類問題時(shí)經(jīng)常用到估算方法。

估算■+2的值（ ）

A.在5和6之間B.在6和7之間

C.在7和8之間D.在8和9之間

解析 因?yàn)?6<24<25，所以■<■<■，所以4<■<5，所以

4+2<■+2<5+2，即6<■+2<7。故答案選B。

點(diǎn)評(píng) 要估算一個(gè)無(wú)理數(shù)的范圍，可以先估計(jì)這個(gè)數(shù)的一部分的范圍，然后利用不等式的性質(zhì)解決問題。

六、從特殊到一般的思想

各種特殊情形往往包含著一般性的規(guī)律，我們常常通過(guò)研究特殊情形時(shí)問題的答案或解法，然后猜想、歸納出一般性的規(guī)律，并把這個(gè)規(guī)律運(yùn)用到一般情形。例如，我們通過(guò)研究一些正數(shù)、0、負(fù)數(shù)的平方根或立方根，從而歸納、總結(jié)出平方根、立方根的性質(zhì)。

請(qǐng)你觀察下列計(jì)算過(guò)程：因?yàn)?12=121，所以■=11；同樣，因?yàn)?112=12321，所以■=111；……由此猜想■=____。

解析 觀察被開方數(shù)121，12321，…，這些數(shù)字都是從兩頭1開始，往中間依次遞增的對(duì)稱型數(shù)字；而121=112，12321=1112，……這就是說(shuō)121，12321，…，這些數(shù)的算術(shù)平方根分別是11，111，…，這些算術(shù)平方根全部由1組成，1的個(gè)數(shù)與被開方數(shù)中從兩頭到中間的位數(shù)一樣。根據(jù)這個(gè)規(guī)律，可以猜想12345678987654321=1111111112，所以■=111111111。