曹雅玲 曾怡嘉

【摘要】作者根據(jù)皮亞杰的空間概念理論與玍an Hiele幾何思考理論來(lái)討論兒童的幾何概念發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】幾何圖形概念；皮亞杰的空間概念理論；￢an Hiele幾何思考理論オ

幾何在我們生活周遭中處處隨手可得，如建筑物、藝術(shù)、地圖與路標(biāo)等.幾何幫助人們用有條理的方式，表現(xiàn)和描述生活的世界.事實(shí)上，人們所創(chuàng)造出來(lái)的每一項(xiàng)事物，幾乎都是由幾何形態(tài)的元素所構(gòu)成的.所以幾何是提供我們?nèi)绾稳リU釋與反映外在物理環(huán)境的一種方法，并且可作為學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)和科學(xué)題材的工具，加強(qiáng)幾何的空間思考，有助于高層次的數(shù)學(xué)創(chuàng)造思考.美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)指出數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)是要發(fā)展兒童的數(shù)學(xué)推理及思考能力，使其能夠應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能來(lái)解決在實(shí)際的生活中所遭遇的問(wèn)題情境.而其中幾何教學(xué)的目的是要協(xié)助學(xué)生學(xué)習(xí)了解以及運(yùn)用幾何的性質(zhì)和關(guān)系，并且發(fā)展學(xué)生的空間感.

小學(xué)學(xué)童在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，可透過(guò)皮亞杰的學(xué)習(xí)理論模式的觀點(diǎn)進(jìn)一步來(lái)解說(shuō).皮亞杰從認(rèn)知發(fā)展的角度來(lái)看待兒童的幾何概念發(fā)展階段，他認(rèn)為兒童的幾何概念系由簡(jiǎn)單的具體的形象表征，再進(jìn)一步到抽象概念的認(rèn)知.另外是荷蘭數(shù)學(xué)教育家玍an Hiele夫婦，他們將幾何思考的模式區(qū)分成五個(gè)發(fā)展的層次，每一個(gè)層次都有其發(fā)展的特征，玍an Hiele也積極主張學(xué)習(xí)者思考層次的提升是經(jīng)由教導(dǎo)，而非經(jīng)由個(gè)體年齡的成長(zhǎng)而發(fā)展，因此幾何概念的教學(xué)活動(dòng)扮演著相當(dāng)重要的角色.于是玍an Hiele在1986年提出了“五階段的教學(xué)模式”，教師借由學(xué)生幾何層次的分類，可以從中獲得許多學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的訊息，以作為教材準(zhǔn)備及補(bǔ)救教學(xué)的回饋.

本文將分為三個(gè)部分來(lái)作討論，分別是幾何圖形概念、皮亞杰的空間概念理論與玍an Hiele幾何思考理論.

幾何圖形概念

美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)提出：幾何乃研究空間中的形狀和空間關(guān)系，幾何可幫助人們用有條理的方式，表現(xiàn)和描述生活的世界.幾何是一門探討空間關(guān)系與邏輯推理的數(shù)學(xué).劉秋木（1996）在研討幾何概念的意義中也提到，人類生存于世界便需要認(rèn)識(shí)世界的種種性質(zhì)，人們透過(guò)知覺(jué)運(yùn)動(dòng)與世界互動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)有些東西是可以滾，有些是可堆棧的，于是加以分析歸納，分別出平的與曲的兩種屬性，形成平面與曲面的概念.在這種探索中人們分析出許多有用的屬性，如形狀、大小、方向，等等.依據(jù)這些屬性，幾何學(xué)家建立了他們的幾何學(xué)問(wèn)，而產(chǎn)生一些幾何系統(tǒng).上述皆是針對(duì)幾何學(xué)的說(shuō)明，雖然表面敘述的形式有所不同，但是都強(qiáng)調(diào)幾何是在研究空間中物體間的變化、轉(zhuǎn)換及其相互關(guān)系，因此所指的內(nèi)涵都是相同的.

圖形是為了明確地表現(xiàn)實(shí)物的形狀、大小、位置而產(chǎn)生的一種概念，從圖1中，我們可以進(jìn)一步知道幾何圖形概念是經(jīng)“理想化”或“抽象化”的過(guò)程而得到的概念（吳貞祥，1990）.例如：“四邊形”概念的形成，是生活中看到各種不同的四邊形實(shí)物，像書(shū)本、桌子、冰箱，等等，這些四邊形的實(shí)物經(jīng)過(guò)觀察、思考、歸納、統(tǒng)整后，發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特征，即均由四條線段所圍成的封閉圖形，由此呈現(xiàn)“形”的本質(zhì).

圖1 圖形概念的形成過(guò)程

在幾何圖形概念中，劉好(1998）曾做以下描述：圖形并非實(shí)際存在的東西，它是附著于具體存在的物體上，從具體實(shí)物中摒棄其顏色、氣味、材質(zhì)、輕重、硬度、厚度、大小等特性之抽象結(jié)果.特性均可由肉眼具體明確地觀察，唯有此物體的“形狀”對(duì)兒童而言是較為抽象的，它必須摒棄此物體各種不相干的屬性，它不因物體的顏色，或大小，或擺放的位置而改變它.簡(jiǎn)單地說(shuō)，它僅是實(shí)物外觀的樣子.我們最常接觸的是立體的圖形，平面圖形是將具體物的表面拓印出來(lái)的結(jié)果，通常透過(guò)立體圖形的面來(lái)辨識(shí).綜合以上描述幾何圖形的概念可知，日常生活中經(jīng)常與幾何息息相關(guān)，而建立空間的概念與圖形間的察覺(jué)、辨識(shí)、發(fā)現(xiàn)性質(zhì)與關(guān)系是有相互關(guān)聯(lián)的.

皮亞杰的空間概念理論

皮亞杰等人(1960)研究?jī)和膸缀胃拍畎l(fā)展，隨著兒童年齡的成長(zhǎng)對(duì)于空間知覺(jué)能力的進(jìn)展，所呈現(xiàn)出的幾何性質(zhì)(geometrical properties)有拓?fù)湫?topological)、投影性(projective)、歐幾里得性(Euclidean).兒童幾何概念之形成即依上述三個(gè)階段之順序，在4歲以前為拓?fù)鋷缀胃拍?，依?jù)圖形是否封閉或開(kāi)放而定，完全忽視有關(guān)邊長(zhǎng)、角度、大小等歐氏幾何關(guān)系，完全是屬于基本拓?fù)鋷缀胃拍睿?~7歲為投影性空間概念；一直到7歲開(kāi)始才有歐氏幾何概念.以下將敘述這三種幾何體系:

一、拓?fù)鋵W(xué)概念階段（4歲以前）

此一階段的兒童與運(yùn)思前期認(rèn)知發(fā)展階段有關(guān)，僅能掌握拓?fù)鋵W(xué)的圖形概念，即只注意到圖形的內(nèi)或外，對(duì)于直線與曲線，尚未具有嚴(yán)格區(qū)分的能力.同時(shí)，對(duì)于長(zhǎng)度或角的差異，也不能做詳細(xì)觀察.例如要求兒童仿畫正方形或長(zhǎng)方形，則往往會(huì)畫成渾圓的形狀，或各邊中間畫成凹凸不直，甚至畫成近乎圓的形狀.此外，兒童對(duì)左右位置的變換也感到茫然，他們并非不能感覺(jué)左右或曲直的不同，而是他們?cè)谡J(rèn)知上無(wú)法了解構(gòu)成左右或曲直的差異因素罷了.他們只能從接近、分離、包圍、順序、連續(xù)等觀點(diǎn)來(lái)考慮事物的性質(zhì).例如：圓或四邊形都是一個(gè)連續(xù)的簡(jiǎn)單封閉圖形，然而，這階段的兒童卻不能區(qū)分兩者的差異.他們對(duì)于物體的形狀、大小、角度等要素都不會(huì)加以留意.

二、投影幾何學(xué)階段（4~7歲）

此一階段的兒童相當(dāng)于運(yùn)思前期到具體運(yùn)思期認(rèn)知發(fā)展階段.皮亞杰等人(1960) 認(rèn)為這個(gè)階段的兒童對(duì)外界的認(rèn)知，自己本身所在觀點(diǎn)的視覺(jué)比其他的條件占較優(yōu)越的地位，凡是經(jīng)過(guò)視覺(jué)所承認(rèn)的事物，他們才認(rèn)為是真實(shí)的存在，而蘊(yùn)藏在視覺(jué)之外的事物都不真實(shí)，他們深信各種形狀都會(huì)原本照著視覺(jué)的感受而變化.例如：本來(lái)已確認(rèn)是正方形的顏色紙，若一旦拿開(kāi)，放在相隔一段距離的遠(yuǎn)處，在兒童的心目中則認(rèn)為變成了菱形或梯形，而且也變小了.如果再把它拿回原來(lái)的位置，兒童卻又認(rèn)為形狀和大小都會(huì)回復(fù)到原來(lái)的樣子.又例如：平行的火車軌道，因隨著距離的遠(yuǎn)離，看起來(lái)其寬度會(huì)逐漸變狹窄，看同一物體時(shí)會(huì)因相隔愈遠(yuǎn)而顯得愈小，這種情形在小孩來(lái)說(shuō)，并不是軌道的寬度看起來(lái)變狹窄，或是物體的形狀看起來(lái)較小，而是認(rèn)為真的變狹窄或形狀真的變小.

總之，這時(shí)期的兒童對(duì)外界的認(rèn)知，視覺(jué)要比其他條件占優(yōu)勢(shì)，深信形或量都會(huì)原原本本照著視覺(jué)的感覺(jué)而變化.

三、歐幾里得幾何學(xué)階段（7，8~11，12歲）

由于歐幾里得幾何學(xué)涉及測(cè)量工作者，與距離、角度、并行線、直線等的保留有關(guān)，就歐幾里得幾何學(xué)的概念建構(gòu)而言，長(zhǎng)度保留與距離保留二者是較為基本的.兒童獲得長(zhǎng)度及距離保留能力，特別是長(zhǎng)度保留能力之后，自然能發(fā)展出測(cè)量的概念，兒童最初是以最靠近自己的、本身最熟悉的工具（自己的手或軀體）來(lái)測(cè)量，皮亞杰將此種策略稱為“手的遷移”及“軀干遷移”；以后隨著認(rèn)知的發(fā)展，兒童漸會(huì)使用量尺工具以補(bǔ)助測(cè)量.此外，面積保留概念約在本階段發(fā)展.在小學(xué)，兒童的圖形概念大部分都已發(fā)展到歐幾里得幾何學(xué)概念階段，所以根據(jù)皮亞杰的說(shuō)法，在本階段的兒童應(yīng)該都具備有關(guān)于線段長(zhǎng)短、角度大小或面的大小的意識(shí).

從以上的說(shuō)明可知：皮亞杰理論的研究重點(diǎn)在于兒童發(fā)展幾何概念的思考模式，探討幾何概念形成的運(yùn)思程序，從最初發(fā)展的拓?fù)潢P(guān)系，到投影再到歐幾里得關(guān)系，是屬于年齡取向的階段論，注重發(fā)展的過(guò)程.

玍an Hiele幾何思考理論

Van Hiele幾何思維層次

Van Hiele夫婦于1959年開(kāi)始研究幾何思維發(fā)展與設(shè)計(jì)幾何教學(xué)課程，并且很快地受到蘇聯(lián)教育家的注意.這個(gè)模式的最顯著特色是將空間思維的了解分為五個(gè)層次，這五個(gè)層次分別敘述了對(duì)幾何事件的思考過(guò)程特征.

一、第0層次：可視化（玍isualization）

學(xué)生對(duì)圖形的辨識(shí)與命名是根據(jù)其整體外觀的，也就是說(shuō)圖形的視覺(jué)特征——看起來(lái)像是什么形狀.在這個(gè)層次中，學(xué)生可以操作、測(cè)量，甚至討論形狀的性質(zhì).但是，這些性質(zhì)并不是我們所認(rèn)為的那么明確，這只是學(xué)生對(duì)這個(gè)圖形外表所下的定義.一個(gè)正方形就是一個(gè)正方形（因?yàn)樗雌饋?lái)就像是一個(gè)正方形）.在這個(gè)層次中，是以外觀為優(yōu)勢(shì)取向，它甚至能取代圖形的性質(zhì)意義.例如：一個(gè)正方形如果被旋轉(zhuǎn)45度后擺放，那么對(duì)一個(gè)處于第0層次思維的孩子來(lái)說(shuō)，這就不是一個(gè)正方形了.這個(gè)層次的孩子對(duì)圖形的區(qū)別及分類，還是深受視覺(jué)外觀的影響（我把它們放在一起，因?yàn)榉忠环忠院罂雌饋?lái)都一樣）.由此說(shuō)明此一階段的活動(dòng)，宜多安排感官操作之活動(dòng)，讓兒童透過(guò)視覺(jué)進(jìn)行分類、造型、堆棧、描繪、著色等活動(dòng)獲得概念.

二、第1層次：分析（Analysis）

在分析這個(gè)層次的學(xué)生能夠考慮一整組的形狀，而不是只對(duì)單一的圖形有認(rèn)識(shí).他們不只能討論這個(gè)矩形，他們還可能去討論所有的矩形.透過(guò)一整組的圖形來(lái)看，學(xué)生可以去思考怎樣去制造一個(gè)矩形，使它能成為一個(gè)矩形（有4個(gè)邊、對(duì)邊平行且等長(zhǎng)、4個(gè)角是直角、對(duì)角線會(huì)全┑取…）.在這個(gè)層次中，學(xué)生開(kāi)始會(huì)去欣賞圖形的集合，并且能把擁有同性質(zhì)的圖形聚集在一起.對(duì)單獨(dú)形狀的想法會(huì)慢慢地一般化到同一類的圖形中，而且能適用到其他的類別里.在第1層次中操作的學(xué)生，可以列出所有正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形的性質(zhì)，但是還無(wú)法看出它們彼此之間的包含關(guān)系，像正方形是包含于長(zhǎng)方形，而長(zhǎng)方形則是包含于平行四邊形.

三、第2層次：非形式演譯（Informal deduction）

當(dāng)學(xué)生開(kāi)始能夠不受制于特別物體的約束而去思考幾何對(duì)象的性質(zhì)時(shí)，他們就是已經(jīng)具備發(fā)展對(duì)性質(zhì)關(guān)系了解的能力了.（如果4個(gè)角都是直角，那這個(gè)圖形就是長(zhǎng)方形.如果一個(gè)圖形是正方形，那么它所有的角就必須都是直角.所以，一個(gè)正方形也一定是一個(gè)長(zhǎng)方形.）在這個(gè)層次中，比較大的能力發(fā)展是“如果……那么”的推論，圖形通?？梢詮淖钚〉奶卣鱽?lái)做分類.舉例來(lái)說(shuō)，4邊等長(zhǎng)而且至少有一個(gè)直角的條件就足以定義一個(gè)正方形；而長(zhǎng)方形則是一個(gè)具有直角的平行四邊形.他們能由性質(zhì)中的關(guān)系來(lái)做觀察，并且能聚焦在對(duì)于這些性質(zhì)的邏輯論述.處于第2層次思維的學(xué)生，已經(jīng)能夠遵循并且體會(huì)這種關(guān)于圖形性質(zhì)的非形式推論討論了.不過(guò)，他們對(duì)正式推理系統(tǒng)的公理結(jié)構(gòu)的體會(huì)能力還是停留在很表層的.

四、第3層次：形式演譯（獶eduction）

在第3層次中，學(xué)生已經(jīng)有能力去檢驗(yàn)圖形的性質(zhì)了.當(dāng)非形式論述的分析發(fā)生了，那么公理、定義、理論、推論及假設(shè)的系統(tǒng)架構(gòu)就要開(kāi)始發(fā)展，這也正是建立幾何真理的必要過(guò)程.在這個(gè)層次中，學(xué)生開(kāi)始體會(huì)到邏輯系統(tǒng)的需要，并且會(huì)仰賴一些來(lái)自于不同真理的最小假設(shè).這個(gè)層次的學(xué)生已經(jīng)有能力對(duì)幾何性質(zhì)做抽象性的敘述，并且能夠減少依賴直觀的方式就能作出一些合乎邏輯的推論.第3層次的學(xué)生在操作中可以觀察得到一個(gè)長(zhǎng)方形的兩條對(duì)角線彼此是對(duì)分的，這就像是一個(gè)在較低思維層次的學(xué)生能做到的一樣.但是，對(duì)處于第3層次的學(xué)生而言，他們還能夠體會(huì)到要如何地去從論述的推論中來(lái)證明這件事的必要性.第2層次的思維者和他們比較起來(lái)就只能去做到遵循論述的結(jié)果，卻無(wú)法體會(huì)其中“為什么”的重要性了.

五、第4層次：嚴(yán)密性（玆igor）

在玍an Hiele思考層級(jí)的最高層次中，是要理解公理系統(tǒng)間的關(guān)系，而不是只在一個(gè)系統(tǒng)中做推論.而要能理解不同系統(tǒng)中的差異及關(guān)系，這幾乎是相當(dāng)于一個(gè)從事幾何研究的數(shù)學(xué)專家一樣了.

在各層次中，敘述了學(xué)童是如何思考，以及他所思考的幾何概念形式為何，而不是指他擁有了多少的知識(shí).當(dāng)學(xué)童要從一個(gè)層次進(jìn)入到另一個(gè)層次時(shí)，他的幾何思維就會(huì)有所改變.因此幾何概念的發(fā)展，在上述五個(gè)層次有其次序性，學(xué)習(xí)者必須具備前一層次的先備知識(shí)后，教師才能依據(jù)該能力，進(jìn)行更高層次的教學(xué)活動(dòng).

玍an Hiele幾何思考層次的特征

根據(jù)獵rowley（1987）對(duì)于Van Hiele幾何思考層次的特性的描述，他提出了五個(gè)特性，茲將這五個(gè)特性分述如下：

1.次序性（Sequential）

在玍an Hiele幾何思考的發(fā)展層次中，學(xué)習(xí)者的發(fā)展層次一定是循序漸進(jìn)，在任何一個(gè)層次要成功的發(fā)展，則必須擁有前一層次的各項(xiàng)概念與策略.

2.增強(qiáng)性或加深加廣性（獳dvancement）

從一個(gè)層次進(jìn)階到另一個(gè)更高的層次，受到教學(xué)的影響比因年齡因素的影響來(lái)得大，教師適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)與引導(dǎo)可以提升學(xué)童的幾何思考概念，但是沒(méi)有一種教學(xué)方法能使學(xué)生跳過(guò)某一層次，而直接進(jìn)入到下一層次.這些方法或許能夠增強(qiáng)過(guò)程發(fā)展，但也有一些過(guò)程會(huì)阻礙各層次間的轉(zhuǎn)換.

玍an Hiele指出：如果教導(dǎo)程度較高的學(xué)童超過(guò)他實(shí)際層次的其他能力，亦是可行的.如幾何的實(shí)例，包括面積公式的記憶或如正方形是長(zhǎng)方形的一種集合關(guān)系，像這些關(guān)系，當(dāng)討論主題已降到較低層次而學(xué)童仍不能了解時(shí)，即表示其成熟度不夠，學(xué)習(xí)終將無(wú)法達(dá)成，亦不宜強(qiáng)迫灌輸.

3.內(nèi)因性與外因性（獻(xiàn)ntrinsic and Extrinsic）

在某一層次的性質(zhì)是屬于內(nèi)在的性質(zhì)，到了下一個(gè)層次，此一性質(zhì)就有可能成為外顯的性質(zhì).例如：在層次一中，僅由圖形的外觀來(lái)辨認(rèn)圖形，但到了第二層次，則是發(fā)現(xiàn)由圖形的特征和組成要素來(lái)進(jìn)行分析.

4.語(yǔ)言性（獿inguistics）

在每一層次中，均有屬于自己的符號(hào)語(yǔ)言和這些符號(hào)的相互關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，因此，在某一層次中屬于正確的概念，到了另一個(gè)層次時(shí)這個(gè)概念就必須加以修正.如：正方形可稱為長(zhǎng)方形，又可以稱為平行四邊形，在第二層次的學(xué)生可能無(wú)法將上述觀念概念化，但到了第三層次即可能理解其間的關(guān)聯(lián)性.

5.不配合性（玀ismatch）

處于不同思考層次的人，彼此間不能相互地溝通、了解.學(xué)童無(wú)法了解或解決超過(guò)他們層次的教材或是問(wèn)題.假若學(xué)童是屬于第一層次，而老師的教學(xué)又是在另一個(gè)層次，那么期望的學(xué)習(xí)歷程或是教學(xué)效果就不可能會(huì)發(fā)生，尤其是教師的教學(xué)過(guò)程、教材內(nèi)容、教具的選擇、教具的準(zhǔn)備和語(yǔ)匯的應(yīng)用，均是屬于較高的層次，學(xué)童是無(wú)法完全理解其過(guò)程與結(jié)果.

玍an Hiele的五個(gè)教學(xué)階段

如前所述，玍an Hiele認(rèn)為各層次間的成長(zhǎng)過(guò)程主要是倚靠指導(dǎo)，而非由于不同年齡的成熟度，因此教學(xué)的組織與方法、教材的選擇與使用是非常重要的.基于以上的理念，Van Hiele也提出從一個(gè)層次要進(jìn)階到下一個(gè)層次的幾何教學(xué)可分為五個(gè)階段，透過(guò)這五個(gè)階段的學(xué)習(xí)之后，使學(xué)生的思考層次能進(jìn)階到下一個(gè)層次，茲將此五個(gè)教學(xué)階段簡(jiǎn)要介紹如下（譚寧君，1993；吳德邦，1998）：

1.第一階段：學(xué)前咨詢（information）

在此階段，教師與學(xué)生雙向討論即將要教的主題，老師作觀察并發(fā)問(wèn)，借此了解學(xué)生的舊知識(shí)，學(xué)生也得知即將學(xué)習(xí)的方向.

2.第二階段：引導(dǎo)方向（玝ound orientation）

此階段之教學(xué)是讓學(xué)生活躍地探索、操作，教師的角色則是引導(dǎo)學(xué)生做合宜的探索活動(dòng)——亦即當(dāng)學(xué)生在操作形體時(shí)，教師有結(jié)構(gòu)、有順序、一步步地引導(dǎo)其了解設(shè)定的概念與幾何程序.

3.第三階段：解釋說(shuō)明（玡xplication）

此階段學(xué)生在其直覺(jué)知識(shí)基礎(chǔ)上，已開(kāi)始注意并理解幾何關(guān)系.教師帶領(lǐng)學(xué)生以他們自己的語(yǔ)言討論正在學(xué)習(xí)的主題，并將幾何概念與關(guān)系提升至明顯理解的層次.一旦學(xué)生表現(xiàn)已理解正在學(xué)習(xí)中的主題，而且也用自己的語(yǔ)言討論，教師就開(kāi)始介紹相關(guān)的術(shù)語(yǔ).

4.第四階段：自由探索（玣ree orientation）

教師在這個(gè)階段的角色是選擇適當(dāng)?shù)慕滩暮蛶缀晤}目，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)到的概念去省思并解答這些幾何題目，且容許不同的解題方法.

5.第五階段：整合（玦ntegration）

最后階段學(xué)生乃將所學(xué)的作一總結(jié)，將幾何概念與程序統(tǒng)整成一個(gè)可述說(shuō)、可運(yùn)用的網(wǎng)絡(luò)，最后組織成認(rèn)知基模.教師之角色是鼓勵(lì)學(xué)生去省思與鞏固其幾何知識(shí).

學(xué)童在某一個(gè)幾何思考層次，經(jīng)過(guò)這五階段學(xué)習(xí)后，會(huì)發(fā)展到下一個(gè)新的幾何思考層次.新的幾何思考范圍也會(huì)取代舊的幾何思考范圍，而學(xué)生也將進(jìn)入更高的層次，再開(kāi)始重復(fù)上述這五個(gè)階段的歷程.透過(guò)教師適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)、引導(dǎo)活動(dòng)，使學(xué)生進(jìn)階到下一層次能變得更容易，學(xué)生不會(huì)因?yàn)槟挲g的增長(zhǎng)而進(jìn)階到下一個(gè)層次.

數(shù)學(xué)專家學(xué)者曾提出幾何課程的設(shè)計(jì)及教學(xué)與￢an Hiele幾何思考層次有密切關(guān)聯(lián)，如劉好（1998）曾說(shuō)明由于幾何教材內(nèi)容屬性的差異，會(huì)影響學(xué)習(xí)者落入不同層次中，小學(xué)低年級(jí)學(xué)童大都在層次一的視覺(jué)期，故其對(duì)幾何圖形的了解須借由實(shí)物的操作、觀察、描述與比較，經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次具體經(jīng)驗(yàn)，使其在視覺(jué)層次具備豐富經(jīng)驗(yàn)后，才能漸進(jìn)地達(dá)到較高層次.中年級(jí)學(xué)童大約可以達(dá)到層次二，宜安排一些制作及檢驗(yàn)的活動(dòng)，使學(xué)童從制作與檢驗(yàn)中獲得圖形的性質(zhì).高年級(jí)學(xué)童大約在層次二至層次三的過(guò)渡時(shí)期，可經(jīng)由適當(dāng)?shù)挠^察學(xué)習(xí)及實(shí)際驗(yàn)證的方法，分析圖形構(gòu)成要素及圖形的性質(zhì)（吳德邦， 1998）.

從玍an Hiele幾何思考理論觀點(diǎn)，層次一的重點(diǎn)在于以視覺(jué)認(rèn)識(shí)圖形，層次二的重點(diǎn)在于分析圖形的構(gòu)成要素與其間關(guān)系，層次三的重點(diǎn)在于圖形的定義及其間關(guān)系的推理，前三層次是屬小學(xué)、初中的學(xué)習(xí)內(nèi)容.層次四則是幾何概念的演繹推理，層次五的重點(diǎn)在于了解抽象推理幾何，此兩個(gè)層次應(yīng)屬于高中、大學(xué)以上或?qū)＜业膶W(xué)習(xí)內(nèi)容.臺(tái)灣數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域課程深受玍an Hiele的層次論影響.由此可知幾何教材內(nèi)容安排是合乎Van Hiele夫婦的幾何思考發(fā)展層次.

小學(xué)幾何教材可分為平面圖形與立體空間兩部分，圖形與空間的學(xué)習(xí)，應(yīng)該從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)中所熟悉的形體入手，發(fā)現(xiàn)形體的組成要素及形體間的關(guān)系，進(jìn)而能確立空間的基本概念，教材的設(shè)計(jì)應(yīng)透過(guò)學(xué)生所熟悉的生活情境來(lái)發(fā)展概念，并安排適當(dāng)?shù)幕顒?dòng)，讓學(xué)生獲得足夠的具體經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而抽象到形式化的數(shù)學(xué)結(jié)果.小學(xué)的幾何教學(xué)，可以參考幾何歷史發(fā)展的軌跡與學(xué)童認(rèn)知發(fā)展階段，盡量讓學(xué)童發(fā)揮、拓展其幾何直覺(jué)，在操作中，認(rèn)識(shí)各種簡(jiǎn)單幾何形體與其性質(zhì)，再慢慢加入簡(jiǎn)單的推理性質(zhì)與彼此之間的關(guān)系，為以后銜接中學(xué)幾何的教學(xué)打下良好的基礎(chǔ).

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