唐孝法 韓廣發(fā)

【摘要】本文利用極限的基本知識、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在高職高專學(xué)生的知識范圍內(nèi)推導(dǎo)出指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式.

【關(guān)鍵詞】極限;復(fù)合函數(shù);指數(shù)函數(shù);等價無窮小オ

由于高職高專教學(xué)的特點，通常我們在介紹導(dǎo)數(shù)公式的時候，都是直接給出基本公式，忽略其證明.特別是，很多高職高專的教材中不介紹反函數(shù)的求導(dǎo)公式.那么，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時候只能是機(jī)械地記憶導(dǎo)數(shù)公式，很難理解導(dǎo)數(shù)公式的由來.例如，玡瑇的導(dǎo)數(shù)公式就是直接給出的.本文的目的，就是利用極限的知識、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在高職高專學(xué)生的知識范圍內(nèi)推導(dǎo)出指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式.讓學(xué)有余力的學(xué)生能夠更好地理解相關(guān)內(nèi)容，加深對公式的理解.

一、預(yù)備知識

我們首先來回顧一下相關(guān)的基礎(chǔ)知識、基本概念：

1.第二個重要極限

﹍im玿→0(1+x)1[]x=玡或﹍im玿→∞1+1[]x瑇=玡.

2.導(dǎo)數(shù)的定義

f′(x)=﹍imΔ玿→0Δ珁[]Δ玿=﹍imΔ玿→0f(x+Δ玿)-f(x)[]Δ玿.

3.復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)

如果u=φ(x)在點x可導(dǎo)，而y=f(u)在點u=φ(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f［φ(x)］在點x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為：

玠珁[]玠玿=f′(u)φ′(x).

二、冪函數(shù)xα與指數(shù)函數(shù)玡瑇求導(dǎo)法則的關(guān)系

首先我們利用導(dǎo)數(shù)的定義來推導(dǎo)函數(shù)玪n玿的導(dǎo)數(shù)公式：

1.玪n玿的導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)

(玪n玿)′=﹍imΔ玿→0玪n(x+Δ玿)-玪n玿[]Δ玿

=﹍imΔ玿→0玪n1+Δ玿[]x1[]Δ玿

=﹍imΔ玿→01[]x玪n1+Δ玿[]x瑇[]Δ玿

=1[]x玪n玡=1[]x.

下面我們利用玪n玿與xα的導(dǎo)數(shù)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來推導(dǎo)玡瑇的導(dǎo)數(shù)公式：

2.玡瑇導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)

由(xα)′=αx│-1，則(玪n玡﹛α)′=1[]玡﹛α(玡﹛α)′=αx│-1.

(e﹛α)′=αx│-1玡﹛α=玡﹛α(xα)′.

令u=xα，則可得(玡瑄)′=玡瑄u′.

所以(玡瑇)′=玡瑇?x′=玡瑇.

事實上，我們也可利用玡瑇的導(dǎo)數(shù)公式與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反過來推導(dǎo)出xα的導(dǎo)數(shù)公式：

(xα)′=(玡┆玪n玿α)′=玡┆玪n玿α(玪n玿α)′=xα(α玪n玿)′=xαα[]x=αx│-1.

三、一些應(yīng)用

在高職高專討論范圍類，還有很多結(jié)論我們也是直接給出的.這些結(jié)論，我們可以利用玡玿導(dǎo)數(shù)公式加以簡單證明，以加深學(xué)生對這些結(jié)論的記憶和理解：

1.a瑇的導(dǎo)數(shù)公式

(a瑇)′=(玡┆玪n玜瑇)′=(玡﹛玪n玜)′=玡﹛玪n玜(x玪n玜)′=玡﹛玪n玜玪n玜

=a瑇玪n玜.

2.玡玿-1~x(x→0)

證明 由導(dǎo)數(shù)的定義

(玡瑇)′=﹍imΔ玿→0玡瑇(玡┆Δ玿-1)[]Δ玿=玡瑇﹍imΔ玿→0(玡┆Δ玿-1)[]Δ玿=玡瑇.

オ﹍imΔ玿→0(玡┆Δ玿-1)[]Δ玿=1.

于是有﹍im玿→0(玡玿-1)[]x=1.

即玡瑇-1~x(x→0).オ

【參考文獻(xiàn)】オ

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［3］劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義［M］.北京:高等教育出版社,2003.