喬志華

【摘要】含有參數(shù)的二次不等式局部恒成立問(wèn)題是高考中常考的題目之一，解決這種題型的常用方法是分類(lèi)討論法或分離系數(shù)法，現(xiàn)舉例說(shuō)明.

【關(guān)鍵詞】參數(shù);局部;分類(lèi)討論法;分離系數(shù)法オ

含有參數(shù)的二次不等式局部恒成立問(wèn)題是高考中常考的題目之一，它常以選擇、填空或在解答題中應(yīng)用的形式出現(xiàn),學(xué)生往往無(wú)從下手，其根本原因是對(duì)這種類(lèi)型的題的解法不清楚，或者是沒(méi)有牢固掌握解題方法而產(chǎn)生的結(jié)果，解決這種題型的常用方法是分類(lèi)討論法或分離系數(shù)法，現(xiàn)舉例說(shuō)明.

例1 定義在R上的增函數(shù)f(x)對(duì)任意x,y∈R都有ゝ(x+獃)=f(x)+f(y).

（1）求f(0)；

（2）求證：f(x)為奇函數(shù)；

（3）若f(k?3瑇)+f(3瑇-9瑇-2)<0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解 （1）令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0)，ゼ椽ゝ(0)=0.

（2）令y=-x，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)對(duì)任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數(shù).

（3）方法一(分類(lèi)討論法)：因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，又由（2）知f(x)為奇函數(shù)，f(k?3瑇)<-f(3瑇-9瑇-2)=ゝ(-3瑇+9瑇+2),所以k?3琸<-3瑇+9瑇+2，

即(k+1)?3瑇-9瑇-2<0，令t=3瑇,t>0，不等式等價(jià)于t2-(k+1)t+2>0對(duì)任意t>0恒成立，令g(t)=t2-(k+1)t+2，對(duì)稱軸為﹖=猭+1[]2.

①當(dāng)t=k+1[]2≤0，即k≤-1時(shí)，g(t)=t2-(k+1)t+2在區(qū)間(0,+∞)為增函數(shù)，g(t)>g(0)=2>0，所以當(dāng)k≤-1不等式恒成立.

②當(dāng)t=k+1[]2>0，即k>-1時(shí)，k>-1,

Δ=(k+1)2-4×2<0,解之得-1

綜上所述，k<22-1.

方法二(分離系數(shù)法)：由(k+1)?3瑇-9瑇-2<0，3瑇>0，解得

k<3瑇+2[]3瑇-1，設(shè)u=3瑇+2[]3瑇-1≥22-1，即u的最小值為22-1，

所以k<22-1.

點(diǎn)評(píng) 分類(lèi)討論的一般步驟是：①確定標(biāo)準(zhǔn)；②恰當(dāng)分類(lèi)；③逐類(lèi)討論；④歸納結(jié)論.

對(duì)于恒成立問(wèn)題，若能轉(zhuǎn)化為a>f(x)(或a

例2 已知f(x)=x2+ax+3-a，若x∈［-2,2］時(shí)，ゝ(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

解 方法一(分類(lèi)討論法)：

f(x)的對(duì)稱軸為x=-a[]2，最小值為g(a)，則：

①當(dāng)-a[]2<-2，即a>4時(shí)，［-2,2］為f(x)的增區(qū)間，g(a)=f(-2)=7-3a≥0，得a≤7[]3.ビ謅>4，所以此時(shí)無(wú)解.

②當(dāng)-2≤-a[]2≤2，即-4≤a≤4時(shí)，

g(a)=ゝ-a[]2=3-a-a2[]4≥0，得-6≤a≤2，ビ忠蛭-4≤a≤4，所以-4≤a≤2.

③當(dāng)-a[]2>2，即a<-4時(shí)，［-2,2］為f(x)的減區(qū)間，g(a)=f(2)=7+a≥0，得a≥-7.ビ忠蛭猘<-4，所以-7≤a<-4.

綜上所述，-7≤a≤2.

方法二（分離系數(shù)法）：因?yàn)閒(x)≥0，所以a(x-1)≥-3-x2對(duì)任意x∈［-2,2］恒成立.

①當(dāng)x=1時(shí)，0≥-4恒成立，a∈R.

②當(dāng)1

③當(dāng)-2≤x<1時(shí)，a≤3+x2[]1-x,設(shè)u=3+x2[]1-x,則u=1-﹛+4[]1-x-2，

設(shè)t=1-x,t∈(0,3］，u=t+4[]t-2,由均值定理可得u≥2,所以a≤2.

因?yàn)閍(x-1)≥-3-x2對(duì)任意x∈［-2,2］恒成立，所以①②③必須同時(shí)成立，即-7≤a≤2.

點(diǎn)評(píng) 方法一分三類(lèi)情況討論，這三種情況均有可能出現(xiàn)，邏輯關(guān)系為“或”，因此這三種結(jié)果取并集，而方法二也分三種情況討論，但這三種情況必須同時(shí)成立，邏輯關(guān)系為“且”，因此這三種結(jié)果取交集.