李紅艷 萬鐘林

【摘要】借助MATLAB的強(qiáng)大功能，實(shí)現(xiàn)Fourier級數(shù)逼近函數(shù)的模擬.通過列舉的典型實(shí)例，運(yùn)用MATLAB生成擬合圖形，結(jié)合理論知識(shí)，進(jìn)一步闡釋數(shù)學(xué)軟件在高數(shù)教學(xué)中的重要地位.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)逼近；MATLAB；Fourier級數(shù)

【中圖分類號】玂173.1オ

周期為2π的函數(shù)的獸ourier級數(shù)展開 設(shè)函數(shù)f(x)的周期為2π，在［-π,π］上可積，則它的獸ourier級數(shù)展開式為f(x)~a0[]2+А啤轠]n=1(a璶玞os玭x+b璶玸in玭x)（1）.其中a璶=1[]πА要π-πf(x)玞os玭x玠玿, n=0,1,2,…

b璶=1[]πА要π-πf(x)玸in玭x玠玿, n=1,2,…

狄利克雷定理（收斂定理） 設(shè)f(x)是以2π為周期的函數(shù)，如果它在［-π,π］上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，并且至多只有有限個(gè)極值點(diǎn),則獸ourier級數(shù)（1）收斂，且

（1）當(dāng)x是f的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于f；

（2）當(dāng)x是f的間斷點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于1[]2(f(x-0)+f(x+0)).

用有限的不同的n項(xiàng)傅立葉級數(shù)表示有間斷點(diǎn)的函數(shù)時(shí)，在間斷點(diǎn)附近會(huì)不可避免地出現(xiàn)獹ibbs現(xiàn)象.在某些間斷點(diǎn)或者端點(diǎn)，獸ourier級數(shù)收斂到該點(diǎn)左右極限和的一半.

對于上述收斂定理的理論描述，學(xué)生理解起來費(fèi)時(shí)費(fèi)力.為了讓學(xué)生對獸ourier級數(shù)展開式有一個(gè)直觀的理解，下面運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件MATLAB強(qiáng)大的計(jì)算和繪圖功能，模擬Fourier級數(shù)逼近函數(shù).首先建立MATLAB函數(shù)文件ゝ_series.m，方便做函數(shù)逼近時(shí)調(diào)用.

例1函數(shù)y=x,-π

0,0≤x<π的獸ourier級數(shù)展開式及逼近模擬.

獸ourier級數(shù)展開式-π玔]4+2[]πА啤轠]n=11[](2n-1)2玞os(2n-1)x+А啤轠]n=1(-1)﹏+1猍]n玸in玭x.

玀ATLAB程序編碼

syms x;f=(x-abs(x))/2;xx=-pi:.01:pi;

yy=subs(f,x,xx);plot(xx,yy,‘-),hold on

for n=4∶4∶20

［a,b,f1］=f_series(f,x,n);

y1=subs(f1,x,xx);

plot(xx,y1,‘-.);

if n==8

f1

end

end

輸出（1）式中玭=8的Fourier級數(shù)展開為

-1/4*pi+2/pi*cos(x)+sin(x)-1/2*sin(2*x)+2/9/pi*cos(3*x)+1/3*sin(3*x)-1/4*sin(4*x)+2/25/pi*cos(5*x)+1/5*sin(5*x)-1/6*sin(6*x)+2/49/pi*cos(7*x)+1/7*sin(7*x)-1/8*sin(8*x)

輸出圖形為

由生成的圖形可以看出，隨著n值的增大，獸ourier級數(shù)在各連續(xù)點(diǎn)越逼近函數(shù)值，并且在端點(diǎn)x=-π,x=π處獸ourier級數(shù)收斂到兩端點(diǎn)（左、右）極限和的一半-π玔]2.這就是狄利克雷收斂定理的一個(gè)直觀解釋.這樣學(xué)生學(xué)習(xí)獸ourier展開式不再感覺枯燥和抽象，降低了理論上的難度，同時(shí)縮短數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的距離，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐與創(chuàng)新能力.

例2 方波函數(shù)y=1, x≥0,

-1,x<0

在［-π,π］上的獸ourier級數(shù)展開式及其逼近模擬.

獸ourier級數(shù)展開式4[]πА啤轠]n=1И玸in(2n-1)x[]2n-1.

玀ATLAB程序編碼

syms x;f=abs(x)/x;;xx=-pi:pi/200:pi;

xx=xx(xx~=0);xx=sort(［xx,-eps,eps］);

yy=subs(f,x,xx);plot(xx,yy,‘-),hold on

for n=2∶6∶20

［a,b,f1］=f_series(f,x,n);

y1=subs(f1,x,xx);

plot(xx,y1,‘-);

if n==8

f1

end

end

輸出圖形為

輸出（1）式中n=8的獸ourier級數(shù)展開為

4/pi*sin(x)+4/3/pi*sin(3*x)+4/5/pi*sin(5*x)+4/7/pi*sin(7*x)

由生成的圖形可以看出，隨著n值的增大，獸ourier級數(shù)在各連續(xù)點(diǎn)越逼近函數(shù)值，并且在端點(diǎn)x=-π,x=π處獸ourier級數(shù)收斂到兩端點(diǎn)（左、右）極限和的一半0.不過在n=14時(shí)圖形就可以得出較好的擬合，再增加n值也不會(huì)有太大的改善.這是獸ourier級數(shù)逼近函數(shù)所存在的一個(gè)缺陷.

例3 函數(shù)y=|x|在［-π,π］上的獸ourier級數(shù)展開式及其逼近模擬.

獸ourier級數(shù)展開式π玔]2-4[]πА啤轠]n=11[](2n-1)2玞os(2n-1)x.

玀ATLAB程序編碼

syms x;f=abs(x);;xx=-pi:pi/200:pi;

yy=subs(f,x,xx);plot(xx,yy,‘-),hold on

for n=2∶6∶20

［a,b,f1］=f_series(f,x,n);

y1=subs(f1,x,xx);

plot(xx,y1,‘--);

if n==8

f1

end

End

輸出圖形為

輸出（1）式中n=8的獸ourier級數(shù)展開為

1/2*pi-4/pi*cos(x)-4/9/pi*cos(3*x)-4/25/pi*cos(5*x)-4/49/pi*cos(7*x)

這一函數(shù)在［-π,π］都是連續(xù)的，因此在各點(diǎn)獸ourier級數(shù)都能逼近函數(shù)值.由圖看，隨著n增大，擬合圖形幾乎和原圖重合.

上述通過幾個(gè)典型實(shí)例探討獸ourier級數(shù)逼近函數(shù)的MATLAB模擬，旨在借助數(shù)學(xué)軟件MATLAB輔助教學(xué)，給出Fourier級數(shù)展開式的直觀解釋，讓學(xué)生對Fourier級數(shù)不再是望而生畏，而是對該內(nèi)容產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而提高教學(xué)效果，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新能力.