張雙成

我們常見到的圓周運(yùn)動(dòng)問題歸納起來有三類，一類是生活中圓周傳動(dòng)問題，一類是水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問題，還有一類是豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)問題. 下面就如何解決圓周運(yùn)動(dòng)中常見的這三類問題總結(jié)如下：

■ 1. 如何解決傳動(dòng)問題

傳動(dòng)主要有皮帶傳動(dòng)（包括齒輪及摩擦直接傳動(dòng)）和同軸傳動(dòng)兩種類型. 下面我們通過實(shí)例來說明傳動(dòng)問題的解題思路.

■ 例1車床電機(jī)的轉(zhuǎn)速n=1 440 r/min，它的轉(zhuǎn)軸套著齒輪A，A與變速箱中另一個(gè)齒輪B嚙合時(shí)，變速比調(diào)為1 ∶ 3，齒輪B的轉(zhuǎn)軸上固定待加工的金屬零件，需要通過車刀的切削來加工它的外表面，如圖1所示，已知車刀的刀刃到軸心的距離是3 cm，求這次切削加工的切削速度（即工件表面的線速度）.

■ 解析A、B構(gòu)成齒輪傳動(dòng)，它們的線速度相等，B與工件構(gòu)成同軸傳動(dòng)，其角速度相等.

vA=vB即2πn1rA=2πn2rB，由此得：

n2=■n1=8（r/s），又ω=2πn.

所以v工件=2πn工件r工件=0.015 m/s.

■ 2. 水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問題如何分析求解

解決這類問題的關(guān)鍵是做好受力情景與運(yùn)動(dòng)情景分析，在此基礎(chǔ)上找出向心力的來源，然后列出動(dòng)力學(xué)方程.

■ 例2圖2是高速公路彎道的局部圖片，路面有什么特點(diǎn)？為什么要做成這樣呢？

■ 解析要回答這個(gè)問題，我們先來看，如果彎道是水平的，情況會(huì)怎樣？設(shè)汽車與地面間的最大靜摩擦力是車重的k倍，拐彎半徑是R，為了防止汽車拐彎時(shí)側(cè)滑或外翻，則汽車最大限速是多少？

汽車拐彎時(shí)，由于它有沿半徑向外滑動(dòng)的趨勢(shì)，所以它受到沿半徑指向圓心的靜摩擦力的作用，靜摩擦力提供了汽車拐彎時(shí)需要的向心力. 由向心力公式得：kmg=m■，所以最大速度v=■.

由速度公式可知：由于k值不會(huì)很大，汽車過彎道時(shí)速度不能太快，特別急轉(zhuǎn)拐彎處，否則易側(cè)滑.

現(xiàn)在我們來討論高速公路拐彎處路面為什么設(shè)計(jì)成內(nèi)低外高. 設(shè)汽車的拐彎半徑為R，路面與水平面的傾角為θ，車在拐彎處無側(cè)滑趨勢(shì)，這時(shí)汽車拐彎時(shí)的最大速度為多少？

汽車只受到重力和斜面的支持力，如圖3所示. 支持力的豎直分量與重力平衡，而水平分量（也就是重力與支持力的合力）提供車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力. 在豎直方向上有：

FN cos θ=mg（1）

在水平方向上，汽車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可得FN sin θ=m■（2）

由此可解得v=■.

如果汽車拐彎時(shí)的車速大于這個(gè)臨界速度將會(huì)怎么樣呢？由于離心現(xiàn)象，汽車有上滑的趨勢(shì)，這時(shí)摩擦力方向沿斜面向下，它的水平分量也可以提供一部分向心力，這樣汽車過彎道時(shí)的速度可以更快一些. 火車拐彎時(shí)軌道的設(shè)計(jì)也是這樣的，其力學(xué)原理大致相同.

■ 3. 豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問題怎么分析求解

這類問題一般只考慮兩個(gè)特殊點(diǎn)即最高點(diǎn)與最低點(diǎn). 物體在通過這兩點(diǎn)的瞬間其合外力是指向圓心，我們?nèi)钥梢杂门ｎD第二定律對(duì)這一時(shí)刻列出相應(yīng)動(dòng)力學(xué)方程，然后求解.

■ 例3半徑為R的光滑半圓柱體固定在水平地面上，頂部有一小物塊，如圖4所示，給小物塊一個(gè)初速度v0=■，則物體將（）

A. 沿圓面ABC運(yùn)動(dòng)

B. 立即離開圓柱表面做平拋運(yùn)動(dòng)

C. 立即離開圓柱表面做半徑更大的圓周運(yùn)動(dòng)

D. 先沿圓面AB運(yùn)動(dòng)，然后在空中做拋物物線運(yùn)動(dòng)

■ 解析物塊在最高點(diǎn)將要飛離圓周的臨界條件是圓柱體對(duì)小物塊的支持力恰好為零，這時(shí)物塊所需的向心力恰好由重力提供. 由mg=■得v0=■. 根據(jù)題意可知，當(dāng)小物塊下滑時(shí)，物體的速度進(jìn)一步加快，所以小物塊將會(huì)離開圓周做平拋運(yùn)動(dòng)，答案選B.

■ 例4如圖5所示，在電動(dòng)機(jī)上距水平軸O為r處固定一個(gè)質(zhì)量為m的鐵塊，電動(dòng)機(jī)啟動(dòng)后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的最大壓力與最小壓力的數(shù)值之差為多少？

■ 解析鐵塊在豎直平面內(nèi)以角速度ω做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，鐵塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由鐵塊重力及電動(dòng)機(jī)對(duì)它的作用力的合力提供. 當(dāng)鐵塊在最低點(diǎn)時(shí)，電動(dòng)機(jī)對(duì)鐵塊的作用力最大；當(dāng)鐵塊到最高點(diǎn)時(shí)，電動(dòng)機(jī)對(duì)鐵塊的作用力最小，所以當(dāng)鐵塊運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力最大；鐵塊運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力最小. 顯然這個(gè)問題只涉及到最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的力學(xué)問題.

現(xiàn)在隔離鐵塊進(jìn)行分析.

在最高點(diǎn)鐵塊所需的向心力由重力和電機(jī)的支持力的合力提供，故有：

mg－N1=mω2r

在最低點(diǎn)電動(dòng)機(jī)的拉力與鐵塊重力的合力提供，故有：

N2－mg=mω2r

隔離電動(dòng)機(jī)進(jìn)行分析.

當(dāng)鐵塊處于最高點(diǎn)時(shí)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力為：

N′1=Mg+N1

當(dāng)鐵塊處于最低點(diǎn)時(shí)，電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的壓力為：

N′2=Mg+N2

所以電動(dòng)機(jī)對(duì)地面的最大壓力與最小壓力數(shù)值之差為：

ΔN=N′2－N′1

解之得：ΔN=2mω2r.