陳金秀

■ 一、 思考的起點

如果一個平拋的物體，在一個無限大的沒有任何障礙與約束的空間中，它將永遠運動下去，見圖1. 在運動的過程中，平拋物體的速度和位移都在不斷地隨時間發(fā)生變化，具體規(guī)律如下：

速度：vx=v0，vy=gt，v=■，tan α=■=■.

位移：x=v0t，y=■gt2，

s=■，tan θ=■=■.

如圖2所示，就是在有“約束”的情況下，如在某一高度平拋小球，或要求平拋的小球以特定的角度到達斜面，平拋物體就會有一個確定的飛行時間. 在飛行的末時刻，平拋物體會有確定的速度，對應飛行過程，物體會有相應的位移.

平拋運動中速度和位移隨時間變化的規(guī)律是求解飛行時間的起點和依據(jù).

■ 二、 典型的情境

■ 1. 被有限的空間約束

■ 例1在同一平臺上的O點拋出的三個物體，它們做平拋運動的軌跡均在紙面內(nèi)，如圖3所示，則三個物體在空中的飛行時間tA、tB、tC的關(guān)系分別是（）

A. tA>tB>tC

B. tA＝tB＝tC

C. tA

D. 不好判斷，與拋出時的初速度大小有關(guān)

■ 解析平拋運動合運動和分運動具有等時性. 從豎直方向看，y=■gt2，結(jié)合A、B、C三點距O點的高度，可以明確地得出A是正確答案. 如果從水平方向看，雖然xC>xB>xA，但由于三個物體水平方向的速度關(guān)系為vc0>vB0>vA0，所以用x=v0t無法進行時間的判斷.

■ 例2在傾角為37°的斜面上，從A點以6 m/s的初速度水平拋出一個小球，小球落在B點，如圖4所示. 求小球在空中飛行的時間. （g取10 m/s2）

■ 解析如圖5所示，本題中，平拋運動的位移恰和起落點間的斜面重合，借用斜面傾角和位移的方向相同，可以進行飛行時間的求解.

設小球落到B點時運動時間為t，

則tan θ=■=■=■故t=■=0.9 s.

觀察解題過程還可以得知：飛行時間取決于平拋物體的初速度和斜面的傾角.

■ 例3一小球以2 m/s的速度從樓梯頂部水平飛出，如圖6所示，若臺階寬度均為0.25 m，高度為0.2 m，則小球?qū)⒃谑裁磿r間與哪個臺階相碰？（g=10 m/s2）

■ 解析作如圖7所示的輔助斜面，小球在碰到臺階前必將和假想中的輔助斜面碰撞，先求小球和假想斜面的碰撞時間和位置.

仿例1有：■=tan θ，即■=■，故t=0.32 s，x=0.64 m. 由于每個臺階寬為0.25 m，所以小球會落在標號為4的臺階上. 4號臺階距拋出點豎直方向的距離為0.6 m，故由y=■gt2，得到實際飛行時間為0.2■ s.

■ 例4如圖8所示，豎直固定圓弧的半徑R=1 m，一個小球從圓心O處以初速度v0=1.5 m/s水平射出，求經(jīng)過多長時間落到圓弧上？（g取10 m/s2）

■ 解析建立如圖9所示坐標系. 設小球經(jīng)過時間t后運動到圓弧上，則由平拋規(guī)律有x=v0t，y=■gt2，同一圓上各點應滿足x2+y2=R2，三式聯(lián)立解得，t=0.4 s.

■ 小結(jié)找出約束的空間幾何特點，如下落的高度、斜面的傾角、圓的軌跡等，再和平拋運動中位移隨時間的變化規(guī)律恰當結(jié)合，是解決此類問題的方法.

■ 2. 被特定的速度約束

■ 例5一以初速度v0水平拋出的小球落到一傾角為θ的斜面上時，其速度方向與斜面垂直，求小球在空中的飛行時間.

■ 解析依題意，對小球的末速度進行如圖10所示的分解，有tan θ=■，

解得：t=■.

■ 例6從空中同一點沿水平方向同時拋出兩個小球，它們的初速度大小分別為v1和v2，初速度方向相反，則經(jīng)過多長時間兩小球速度之間的夾角為90°？

■ 解析如圖11所示，因為α和β互余，所以有tan α·tan β=1，且由平拋規(guī)律有tan α=■，tan β=■，聯(lián)立各式解得t=■.

■ 小結(jié)速度隨時間的變化不僅體現(xiàn)在速度的大小上，還體現(xiàn)在速度的方向上，特定的速度對應著相應的時間，洞察并用好速度的方向，是解好此類題的關(guān)鍵.

■ 三、 思路再梳理

平拋物體被“約束”的具體情境還有很多.

■ 例7A、B兩小球以l＝6 m長的細線相連. 兩球先后從同一地點以相同的初速度v0＝4.5 m/s水平拋出，相隔Δt＝0.8 s. A球拋出多長時間，線剛好被拉直？

■ 解析兩小球平拋的軌跡是重合的，設A拋出時間t后，線被拉直，此時AB間的距離為l＝6 m，如圖12所示. 由題意有：Δx＝v0 Δt＝4.5×0.8 m＝3.6 m；Δy＝y(tǒng)A－yB＝■gt2－■g（t－Δt）2＝－3.2＋8t；且有（Δx）2＋（Δy）2＝l2，解得t＝1 s.

雖然具體情境千差萬別，但把握住平拋運動中各物理量隨時間變化的規(guī)律，挖掘出“約束”背后的關(guān)系式，是求解飛行時間的基本思路.