張忠一

小船在有一定水流流速的河中渡河時(shí)，實(shí)際上參與了兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)，即隨水流的運(yùn)動(dòng)（水沖船的運(yùn)動(dòng)）和船相對(duì)于水的運(yùn)動(dòng)（即在靜水中船的運(yùn)動(dòng)），船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng). 設(shè)小河的寬度為d，小船在靜水中的速度為v1，水流速度為v2，船頭與河岸上游的夾角為θ，如圖1所示. 根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解和合成有：

分運(yùn)動(dòng)的速度為vx=v2－v1cosθ，vy=v1sinθ.

分運(yùn)動(dòng)的位移為x=（v2－v1cosθ）t，y=v1sinθ·t.

■ 模型一怎樣渡河時(shí)間最短

小船在垂直河岸方向的分運(yùn)動(dòng)的位移y=d，再根據(jù)y=v1sinθ·t，解得渡河所需時(shí)間為t=■，可以看出：在d、v1一定時(shí)，t隨sinθ的增大而減小；當(dāng)θ=90°時(shí)，sinθ=1（最大），所以，船頭與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短，且為：tmin=■.

■ 例1小船在靜水中的速度v1=4 m/s，水流速度v2=3 m/s，河寬d=100 m.

（1） 要使小船過河時(shí)間最短，船速方向如何？小船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向如何？

（2） 過河的最短時(shí)間為多大？這時(shí)船到達(dá)正對(duì)岸的地點(diǎn)在何處？

■ 解析（1） 要使小船過河時(shí)間最短，船頭垂直河岸航行，即船速方向正對(duì)河岸. 設(shè)此時(shí)小船實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向與河岸下游的夾角為α，則tan α=■=■，故α=53°.

（2） 最短時(shí)間tmin=■=■ s=25 s，此時(shí)x=v2t=3×25 m=75 m，即小船到達(dá)正對(duì)岸下游75 m處.

■ 模型二怎樣渡河位移最短

設(shè)小船渡河的實(shí)際位移為s，由運(yùn)動(dòng)的合成可知s=■，而y方向的位移為定值d，則當(dāng)x=0時(shí)，smin=d，此時(shí)vx=v2－v1cosθ=0，因?yàn)?≤cosθ≤1，故必須有v1>v2，此結(jié)論才能成立. 若v1=v2，則θ=0，此時(shí)船靜止，不合題意. 若v10，小船實(shí)際速度不會(huì)垂直于河岸. 下面分兩種情況來探究：

1. 若v1>v2，小船渡河最小位移為河寬d，小船的合速度方向與河岸垂直，如圖2甲所示. 則有

x=（v2－v1cosθ）t=0

解得cosθ=■，

所以當(dāng)θ=arccos ■時(shí)，smin=d.

2. 若v1

■ 例2河寬60 m，水流速度v1=6 m/s，小船在靜水中速度v2=3 m/s，則：

（1） 它渡河的最短時(shí)間是多少？

（2） 最短航程是多少？

■ 解析（1） 以水流速度方向?yàn)閤軸正方向，以垂直河岸方向?yàn)閥軸正方向. 以船開出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)船與岸成?茲角開出（如圖3所示）將v2沿x、y方向分解，則

v2x=v2cos ?茲，v2y=v2sin ?茲

過河時(shí)間t=■.

當(dāng)?茲=90°時(shí)，過河的時(shí)間最短，

tmin=■=■s=20 s.

（2） 先作出OA表示水流速度v1，然后以A為圓心，以船對(duì)水的速度v2的大小為半徑作圓，過D作圓的切線OB與圓相切于B，連接AB，過O作AB平行線，過B作OA的平行線，兩平行線相交于C，則OC為船對(duì)水的速度v2，（如圖4所示）所示. 由圖不難看出，船沿OBD行駛到對(duì)岸位移最短，設(shè)v2與河岸的夾角為?琢，則有cos ?琢=■=■=0.5，所以?琢=60°.

Smin=■=120 m.

■ 模型三怎樣渡河速度最小

在小船渡河的出發(fā)點(diǎn)和目的地均確定的情況下，如何確定最小船速呢？如圖5所示，小船的合速度v方向（沿OP方向）已經(jīng)確定，即α確定，水流的速度v2大小和方向是確定的，則當(dāng)v1的方向與v的方向垂直時(shí)，v1的值最小. 這時(shí)v1與上游河岸的夾角θ=arccos■，小船渡河的最小速度為v1=v2sinα.

■ 例3有一小船正在橫渡一條寬為30 m的河流，在正對(duì)岸下游40 m處有一危險(xiǎn)水域，假如水流速度為5 m/s，為了使小船在危險(xiǎn)水域之前到達(dá)對(duì)岸，那么，小船相對(duì)于靜水的最小速度是多少？

■ 解析根據(jù)題意，船實(shí)際航行方向至少滿足與河岸成夾角α，則tanα=■，所以α=37°，如圖5所示，則根據(jù)速度的矢量合成，船能保證沿虛線移動(dòng)，而不進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)，又滿足速度值最小. 因此v1=v2·sin 37°=3 m/s.