王文浩 翟翔 董一平

【摘要】數(shù)理統(tǒng)計課程是金融數(shù)學的必修課，作為重要的數(shù)學工具在金融領(lǐng)域的分析中發(fā)揮著舉足輕重的作用。本文通過討論數(shù)理統(tǒng)計在金融產(chǎn)品定價模型、計量分析、風險評估、決策分析和風險管理等方面的運用方法來闡述數(shù)理統(tǒng)計在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)理統(tǒng)計現(xiàn)代金融定價計量金融風險管理

數(shù)理統(tǒng)計可以看作是概率論的推廣應(yīng)用，其中許多內(nèi)容都是建立在概率論基礎(chǔ)之上的。然而，數(shù)理統(tǒng)計作為純數(shù)學的一個方向，如果僅僅研究數(shù)理統(tǒng)計的數(shù)學性質(zhì)，就脫離了數(shù)學在科學研究中發(fā)揮的作用。數(shù)學以其邏輯性和嚴密性被其他各個學科作為有力的工具運用于其分析應(yīng)用中。數(shù)理統(tǒng)計也是因為其邏輯和嚴密性被引用到金融領(lǐng)域中，廣泛地運用于產(chǎn)品定價，計量分析等方面。

一 數(shù)理統(tǒng)計在產(chǎn)品定價中的作用

現(xiàn)代金融中，由于金融創(chuàng)新的不斷發(fā)展，涌現(xiàn)出許多新的金融產(chǎn)品和金融工具，尤其是金融衍生工具的大量涌現(xiàn)使得數(shù)學在金融中的使用更加具體和廣泛，它們的定價成為金融學中重要的研究內(nèi)容。

1．嵌入期權(quán)的結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品的定價模型

結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品多是由期權(quán)與其他金融工具組合得到，如可轉(zhuǎn)換債券由看漲期權(quán)與普通債權(quán)組合而成。羅伯特?諾普的《結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品》這本書中對20種常見的結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品給出了詳細的介紹，在他的介紹中，我們再次只關(guān)心定價問題，給出一個簡單的結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品的定價，“股票收益性存款”的定價模型。

股票收益性存款是由一種零息票存款和看漲期權(quán)構(gòu)成的結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品，因此，其公式為：

Ped＝Call（S，K，σ，r，T，δ）＋Capital

在前邊已經(jīng)知道Call（S，K，σ，r，T，δ）是期權(quán)價格的定價用到了數(shù)理統(tǒng)計方法進行模擬計算，那么Ped的計算方式中就必然用到了數(shù)理統(tǒng)計的計算方法。Capital是指本金或者承諾償還本金的百分比。

2．不含期權(quán)的產(chǎn)品定價

嵌入期權(quán)的金融產(chǎn)品知識最近涌現(xiàn)出的金融產(chǎn)品中很少的一部分，如最近幾年出現(xiàn)的CDO（債務(wù)抵押債券），CDS（信用違約互換）等出名的金融產(chǎn)品都與違約率有關(guān)，當然也存在規(guī)避其他風險的金融產(chǎn)品。CDO的構(gòu)建規(guī)則中就用到數(shù)理統(tǒng)計統(tǒng)計量和抽樣分布的理論，另外在分析其構(gòu)建的基礎(chǔ)工具時也需要方差分析和參數(shù)估計的方法來計算構(gòu)建出的CDO的統(tǒng)計特性。

二 數(shù)理統(tǒng)計在計量分析中的作用

計量分析作為數(shù)理統(tǒng)計的應(yīng)用和延拓，在金融學中應(yīng)用最為廣泛。其中包括計量模型的參數(shù)估計，參數(shù)的顯著性檢驗和參數(shù)置信區(qū)間的確定，以及計量中時間序列模型的分析。

在金融市場上，分析資本市場總量與貨幣供給量之間的關(guān)系，即建立某種資本市場總量與政府貨幣供給量之間的模型。模型的確定首先要具體考慮資本市場和貨幣供給的經(jīng)濟學關(guān)系，在這種關(guān)系的基礎(chǔ)上，運用數(shù)理統(tǒng)計的知識，確定某一個或為數(shù)不多的幾個模型的形式，然后用參數(shù)估計的方法，代入統(tǒng)計數(shù)據(jù)，計算參數(shù)，并計算模型的解釋能力R2。

計量分析中大量用到了數(shù)理統(tǒng)計中的顯著性檢驗，包括對參數(shù)的顯著性檢驗用到t統(tǒng)計量分布，模型總體的顯著性檢驗用到F統(tǒng)計量的分布。構(gòu)造統(tǒng)計函數(shù)，檢驗參數(shù)是否為UMVUE，或求參數(shù)的UMVUE等。

三 數(shù)理統(tǒng)計在風險評估和決策分析中的作用

不同的學者對風險的評估有不同的模型進行分析判斷，然而在對風險的量化處理的過程中都用到了參數(shù)估計等方法，因為根據(jù)測量誤差和其他誤差的存在，不可能通過某種特定的函數(shù)式把所有的被解釋變量精確地用解釋變量表達出來。在風險一定的約束下，獲得最大的收益或者在收益一定的約束下規(guī)避風險，兩種方法都需要進行風險的評估。評估就是對歷史數(shù)據(jù)所做的統(tǒng)計分析，并進行未來預(yù)測的一種方法。為完成這種評估，就需要概率論與數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)知識，分析其出現(xiàn)概率的大小，構(gòu)造合適的統(tǒng)計量進行顯著性的檢驗。最后綜合比較各種方案的風險收益，模型誤差等，作出最后的決策。

如對信用風險的計量模型中常分為四大模型：信用度量模型、KMV模型、Credit Risk模型和信用組合觀點模型。信用度量模型中主要運用Var的思想度量風險；KMV模型中把企業(yè)股票看作歐式看漲期權(quán)，以期權(quán)定價的形式來度量風險；Credit Risk模型則是把貸款組合違約概率分布近似看作泊松分布進行衡量；信用組合觀點模型利用計量經(jīng)濟學的模型，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)模擬概率分布。可見概率論與數(shù)理統(tǒng)計在風險評估和決策分析中的巨大作用。

四 數(shù)理統(tǒng)計在風險管理中的作用

不同金融工具存在不同程度和不同方式的風險，當某一金融工具發(fā)生損失時，另外一種金融工具可能發(fā)生盈利，因此，我們的主要思想就是通過金融工具的組合，使損失與盈利相抵。風險因其不確定性可能為投資者造成損失，但是這種不確定性很大程度上是可識別和度量的。在經(jīng)典的現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論中，創(chuàng)始人馬克維茨就通過相關(guān)系數(shù)反映兩個或多個隨機變量的之間變動程度的相關(guān)關(guān)系，根據(jù)相關(guān)系數(shù)，運用數(shù)理統(tǒng)計中的相關(guān)知識，就可以計算組合的方差，也就是風險。

現(xiàn)代風險管理中多運用衍生金融工具，如金融期權(quán)，期貨，互換交易進行風險的對沖。這些衍生工具的定價需要定價模型的作用，而且，定價模型中有許多希臘字母代表的概念，如Delta值、Gamma值、Vega值，正是這些值的加權(quán)求和，最終降低損失程度。這些值的運算中需要綜合數(shù)學中各個學科的方法，如求導(dǎo)、求偏導(dǎo)、概率分布函數(shù)、順序統(tǒng)計量等各種方法，數(shù)理統(tǒng)計作為重要的應(yīng)用，為風險管理提供了精確的數(shù)學邏輯推導(dǎo)。

參考文獻

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