胥紅星

【摘要】研究多元函數(shù)的極值問題，針對(duì)一類具體類型的問題，結(jié)合實(shí)例，給出了具體的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。

【關(guān)鍵詞】條件極值；拉格朗日乘數(shù)；高等數(shù)學(xué)

對(duì)于多元函數(shù)的極值問題，在高等數(shù)學(xué)中利用函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得到更為充分的研究。極值求解一般分為兩類，在求解多元函數(shù)無條件極值時(shí)，我們只需根據(jù)函數(shù)的駐點(diǎn)來判斷極值的存在性，在條件極值的求解時(shí)，我們可以利用拉格朗日乘數(shù)法獲得極值的存在性，無論哪種方法，在實(shí)際的應(yīng)用中，我們都要根據(jù)數(shù)學(xué)的靈活性，盡可能使問題簡(jiǎn)化，以提高解題的準(zhǔn)確性，避免方法的生搬硬套。

一、問題的提出

人大版《微積分》練習(xí)中存在這樣一個(gè)問題：

例1 求拋物線y2=4x上的點(diǎn)，使它與直線x-y+4=0的距離最小。

在參考書中給出如下解法:

設(shè)拋物線任意一點(diǎn)為(x,y)，利用點(diǎn)到直線的距離公式r=|x-y+4|2，由于絕對(duì)值不能求導(dǎo)，提出r和r2具有相同的極值點(diǎn)，考察了r2在條件y2=4x下的極值問題。利用拉格朗日乘數(shù)法。

令F=(x-y+4)22+λ(y2-4x)。

由F′ x=x-y+4-4λ=0,

F′ y=y-x-4+2λy=0,

F′ λ=y2-4x=0，

得x=1,

y=2。

即拋物線y2=4x上的點(diǎn)(1,2)距直線x-y+4=0最近。

在劉玉璉版的數(shù)學(xué)分析中也出現(xiàn)類似問題，參考書均是上述方法利用r2研究了r的極值的存在性，顯然這種方法的實(shí)際計(jì)算過程是較為復(fù)雜的。下面我們給出該問題的簡(jiǎn)單方法。

二、問題的簡(jiǎn)化

數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)是相互聯(lián)系的，題目的解法具有很強(qiáng)的靈活性，由線性規(guī)劃可知在直線x-y+4=0上方的點(diǎn)有x-y+4>0，直線下方的點(diǎn)有x-y+4<0，而直線上本身的點(diǎn)滿足x-y+4=0。通過分析不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y2=4x位于直線的下方，故r=y-x-42。

令F=y-x-42+λ(y2-4x)。

由F′ x=-12-4λ=0,

F′ y=12+2λy=0,

F′ λ=y2-4x=0，得x=1,

y=2。

即拋物線上點(diǎn)(1,2)到直線距離最近。顯然，該方程組更容易求解，從而使問題得以簡(jiǎn)化。

類似橢圓上、雙曲線上的一點(diǎn)到某一直線的距離的最大值或最小值均可歸結(jié)為類似問題。利用線性規(guī)劃，我們只需判定圖形位于直線的上方或者下方即可根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法設(shè)計(jì)有效的表達(dá)式，從而迅速解決該類問題。

三、實(shí)例分析

例2 在橢圓x2+4y2=6上求一點(diǎn)，使到2x+3y-6=0的距離最遠(yuǎn)。

解 通過分析可知，橢圓位于直線的下方，根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法可設(shè)

F=6-3y-2x13+λ(x2+4y2-4)。

令F′ x=-213+2λx=0,

F′ y=-313+8λy=0,

F′ λ=x2+4y2-4=0。

可得穩(wěn)定點(diǎn)85,35,-85,-35，可判定點(diǎn)-85,-35到直線距離最遠(yuǎn)。

顯然，該方法在實(shí)際計(jì)算中更易計(jì)算。

【參考文獻(xiàn)】

［1］趙樹嫄。微積分。北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2007。

［2］王麗燕，梁平，秦禹春。微積分全程學(xué)習(xí)指導(dǎo)。大連：大連理工大學(xué)出版社，2008。

［3］劉玉璉，傅沛仁。數(shù)學(xué)分析講義：下冊(cè)。北京:高等教育出版社,2003。