賀建平

【摘要】用遞推法求行列式的值。首先找到遞推關(guān)系Dn=pDn-1+qDn-2，n>2，這里p,q為常數(shù)，然后根據(jù)具體情況求出行列式的值。

【關(guān)鍵詞】行列式的值；遞推法；遞推關(guān)系

在線性代數(shù)求高階行列式值的教學(xué)中，我們經(jīng)常應(yīng)用行列式的性質(zhì)把高階行列式的某行（或某列）變?yōu)橹挥幸粋€(gè)非零元素，然后再按該行（或列）展開(kāi)，多次運(yùn)用這種方法可以把階數(shù)高的行列式降為低階行列式，直至三階、二階行列式，然后將行列式展開(kāi)求出其值。有時(shí)此方法較為麻煩或不易解出，因此自己在教學(xué)過(guò)程中補(bǔ)充了遞推法，學(xué)生得益匪淺。講授了遞推法以后，學(xué)生對(duì)課本中的一些習(xí)題就不會(huì)感到困難了。

由于學(xué)生在高中求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，已經(jīng)接觸過(guò)遞推法，因此，此方法對(duì)高職學(xué)生來(lái)說(shuō)并不感到陌生，從本人的教學(xué)實(shí)踐中觀察，學(xué)生容易接受，興趣濃厚，效果良好。

下面具體談一下教學(xué)過(guò)程：

如果行列式以某一行（或列）展開(kāi)時(shí)，它能夠表示成和它同樣形式，但階數(shù)較低行列式的代數(shù)和，則稱此結(jié)果為一個(gè)遞推關(guān)系。

假設(shè)我們有一個(gè)遞推關(guān)系：

Dn=pDn-1+qDn-2，n>2?！?） 這里p,q為常數(shù)。

（一）若q=0，Dn=pDn-1=p2Dn-2=…=pn-1D1，則這里D1是位于行列式Dn左上角上一個(gè)元素。用上述方法通常可以求2n階行列式的值。

例1 計(jì)算D2n=a0b0

鳘佴

ab

00

cd

侏鰳

c0d0

0……………0d。

解 按第1行展開(kāi)，有

D2n=a?a0b0

鳘佴

ab

00

cd

侏鰳

c0d0

0……………0d

2(n-1)+b?（-1)1+2n0a0b

螵鳘

骯b

00

骳d

螵侏

0c0d

c0……………0

2(n-1)

=adD2(n-1)-bc(-1)2n-1+1D2(n-1)

=(ad-bc)D2(n-1)。

以此作遞推公式，即可得

D2n=(ad-bc)D2(n-1)=(ad-bc)2D2(n-2)=…=(ad-bc)n-1D2=(ad-bc)n-1a b

c d=(ad-bc)n。

（二）若a≠0，令α，β是方程x2-px+q=0的兩個(gè)根,則p=α+β，q=-αβ。把它們代入（1）可得：

Dn-βDn-1=α(Dn-1-βDn-2)。……（2）

或Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)?！?）

（ⅰ）若α≠β,反復(fù)利用（2）、（3）可推得：

Dn-βDn-1=αn-2(D2-βD1)或Dn-αDn-1=βn-2(D2-αD1)。

由上兩式可得：

Dn=αn-1(D2-βD1)-βn-1(D2-D1)α?β或Dn=C1αn+C2βn?！?）

其中C1=D2-βD1α(α-β),C2=D2-αD1-β(α-β)。

而（4）容易記憶，其中C1,C2可以由初始條件從（4）可以得到D1=C1α+C2β,D2=C1α2+C2β2。

用上述辦法經(jīng)常可以求三對(duì)角型行列式（即：主對(duì)角線及其上方和下方第一條對(duì)角線上元素非零而其余元素都為零的行列式稱為三對(duì)角型行列式）的值。

分析 如果此三對(duì)角型行列式所含元素結(jié)構(gòu)形式相同,就可用遞推法來(lái)求值。即先將原行列式表示成兩個(gè)低階同型行列式的線性關(guān)系式,再用遞推法及某些低階行列式的值求出原行列式的值。

例2 求行列式之值:

Dn=750…0

275…0

027…0

……………

000…7。

解 在原行列式中，以第一行展開(kāi)，在展開(kāi)式中，第二個(gè)行列式再以第一列展開(kāi)可得：Dn=7Dn-1-10Dn-1,

方程x2-7x+10=0的兩個(gè)根為5，2。

由（4）式可得Dn=C15n+C22n。

在上式中令n=1，2可得D1=7=5C1+2C2,D2=7 5

2 7=39=25C1+4C2。解之得C1=53,C2=-23,Dn=5n+1-2n+13。

（ⅱ）若α=β,（2）、（3）可以變成

Dn-αDn-1=α(Dn-1-αDn-2)。

從而Dn-αDn-1=Aαn-2。……（5）

其中A=D2-αD1。以n-1代替n，可以得到

Dn-1-αDn-2=Aαn-3。

因此Dn-1=αDn-2+Aαn-3。

把上式代入（5），有：Dn=α2Dn-2+2Aαn-2,反復(fù)多次可得

Dn=αn-1D1+(n-1)Aαn-1或Dn=αn［(n-1)C1+C2］?！?）

其中C1=Aα2，C2=D1α。(這里α≠0，因?yàn)閝≠0）

例3 求行列式之值:

Dn=210…0

121…0

012…0

……………

000…2。

解 在原行列式中，以第一行展開(kāi)，在展開(kāi)式中，第二個(gè)行列式再以第一列展開(kāi)可得Dn=2Dn-1-Dn-2，方程x2-2x+1=0的兩個(gè)根x1=x2=1。

由（6）式得Dn=(n-1)C1+C2。

在上式中令n=1，2可得：

D1=2=C2，

D2=2 1

1 2=3=C1+C2。

解之得C1=1,C2=2,Dn=(n-1)×1+2=n+1。

綜合以上討論，我們有如下結(jié)論：如果已經(jīng)找到了遞推關(guān)系Dn=pDn-1+qDn-2，n>2,這里p,q為常數(shù)，那么，只要先解出方程x2-px+q=0的兩個(gè)根α,β。

(ⅰ)若α≠β，則Dn=C1αn+C2βn。

(ⅱ)若α=β，則Dn=αn［(n-1)C1+C2］。

其中C1,C2由初始條件可以得到。

總之，通過(guò)以上的討論，對(duì)于行列式中能夠找到遞推關(guān)系的Dn=pDn-1+qDn-2,n>2,這里p,q為常數(shù)，若q=0，則Dn=pDn-1=p2Dn-2=…=pn-1D1；若q≠0，令α，β是方程x2-px+q=0的兩個(gè)根。

(ⅰ)若α≠β，則Dn=C1αn+C2βn。

(ⅱ)若α=β，則Dn=αn［(n-1)C1+C2］。

其中C1,C2由初始條件可以得到。利用上面的方法就可以迎刃而解。

總述：由以上討論和具體應(yīng)用可以看出,遞推法在行列式求值問(wèn)題中發(fā)揮著巨大的作用,其中著名的Vandermonde行列式也可用遞推法歸納總結(jié),所以我們應(yīng)該掌握這種方法,既可以擴(kuò)展解題思路,同時(shí)可以提高我們的抽象思維能力。

【參考文獻(xiàn)】

［1］張永曙?？佳袛?shù)學(xué)應(yīng)試強(qiáng)化輔導(dǎo)與題解指南。西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,1997。

［2］趙樹(shù)嫄。線性代數(shù)典型題解析及自測(cè)試題。西北工業(yè)大學(xué)出版社,2000。

［3］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編。工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)。北京：高等教育出版社。