王慶石 韓成棟

摘要：本文使用兩種非參數(shù)估計(jì)方法，對(duì)上海銀行間拆放利率擴(kuò)散過(guò)程的漂移函數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。通過(guò)對(duì)不同輔助序列選擇下估計(jì)結(jié)果的比較，發(fā)現(xiàn)不同期限利率在統(tǒng)計(jì)特性上的差異是造成估計(jì)結(jié)果不同的主要原因。在估計(jì)SHIBOR 1周短端利率的漂移函數(shù)時(shí)，短端輔助利率對(duì)估計(jì)結(jié)果有較大的影響，而長(zhǎng)端輔助利率的影響則相對(duì)較小。SHIBOR 1個(gè)月的短端利率兼有長(zhǎng)、短端利率的特點(diǎn)，因而長(zhǎng)端輔助利率對(duì)其漂移函數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響最小。

關(guān)鍵詞：SHIBOR；擴(kuò)散過(guò)程；漂移函數(shù)；非參數(shù)估計(jì)

中圖分類號(hào)：F830.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

一、引言

短期利率不僅是刻畫利率期限結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)過(guò)程的重要狀態(tài)變量，同時(shí)也是固定收益證券與衍生品定價(jià)的重要依據(jù)，因此有許多研究分別提出不同的連續(xù)時(shí)間模型來(lái)刻畫短期利率的動(dòng)態(tài)過(guò)程。短期利率rt的單變量連續(xù)時(shí)間模型一般設(shè)定為： drt=μ(rt)dt+σ(rt)dWt（1）

其中μ(rt)和σ(rt)分別是漂移函數(shù)和擴(kuò)散函數(shù)，Wt是布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian motion），t∈［0,T］。各種單變量連續(xù)時(shí)間模型之間的差異主要在于漂移函數(shù)和擴(kuò)散函數(shù)的設(shè)定不同，主要的模型有Vasicek［16］，Richard［13］，Brennan和Schwartz［4］，Cox，Ingersoll和Ross［7］，Chan，Karolyi，Longstaff和Sauders［5］，Duffie和Kan［8］等等。A唗-Sahalia［2］給出了一個(gè)更加一般化的模型，即：

drt=(α0+α1rt+α2r2t+α3r-1t)dt+(β0+β1rt+β2rβ3t)-1/2dWt（2）

上述各種模型都是通過(guò)對(duì)參數(shù)α0,α1,α2,α3,β0,β1,β2和β3進(jìn)行不同設(shè)定而得到的①，參數(shù)模型的優(yōu)勢(shì)在于其容易計(jì)算，并且在一些情況下能得到債券和利率衍生品定價(jià)公式的封閉解。然而，由于在如何設(shè)定模型、如何判斷模型的正確性等方面沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，因而存在模型錯(cuò)誤設(shè)定的風(fēng)險(xiǎn)。例如A唗-Sahalia［2］通過(guò)對(duì)比在不同參數(shù)設(shè)定下利率數(shù)據(jù)的邊際密度和沒(méi)有參數(shù)設(shè)定下原始數(shù)據(jù)的邊際密度，發(fā)現(xiàn)所有的參數(shù)模型都與實(shí)際數(shù)據(jù)不符，因而否定了參數(shù)模型正確性。Backus、Foresi和Zin［3］的研究則表明利率模型的錯(cuò)誤設(shè)定會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的定價(jià)誤差。

對(duì)利率模型的參數(shù)施加較少約束的非參數(shù)模型近來(lái)有了較多的發(fā)展和應(yīng)用。在國(guó)外的研究中，A唗-Sahalia［1］使用7天歐元存款利率的日觀測(cè)數(shù)據(jù)，先用參數(shù)方法估計(jì)漂移函數(shù)，再結(jié)合非參數(shù)密度估計(jì)量和漂移函數(shù)的參數(shù)估計(jì)量從而獲得擴(kuò)散函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)量。研究結(jié)果表明擴(kuò)散函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)量與參數(shù)估計(jì)量相比具有較大的波動(dòng)性，并且隨著利率水平的提高其波動(dòng)幅度也相應(yīng)增大，因而在整體上是非線性的。Jiang、Knight［12］在Florens-Zmirou［9］等研究的基礎(chǔ)上，提出了漂移函數(shù)和擴(kuò)散函數(shù)的非參數(shù)核估計(jì)量，并將該方法應(yīng)用于加拿大3個(gè)月國(guó)債利率的日觀測(cè)數(shù)據(jù)。研究結(jié)果表明漂移函數(shù)在利率水平較高或較低時(shí)均具有均值回復(fù)特性，而在中等利率水平處則比較平緩，不具有均值回復(fù)特性。由于擴(kuò)散函數(shù)的波動(dòng)幅度較大，整體上也是非線性的且不具有均值回復(fù)特性。Stanton［15］使用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式和無(wú)窮小生成元（infinitesimal generator），得到基于不同階數(shù)的漂移函數(shù)和擴(kuò)散函數(shù)的近似估計(jì)，并且在引入核函數(shù)后得到兩者的非參數(shù)估計(jì)量。通過(guò)對(duì)美國(guó)3個(gè)月國(guó)債收益率日觀測(cè)數(shù)據(jù)的研究，發(fā)現(xiàn)漂移函數(shù)在較低和中等的利率水平處比較平緩，而當(dāng)利率水平較高時(shí)則具有較強(qiáng)的均值回復(fù)特性，因而整體上是非線性的。擴(kuò)散函數(shù)則隨著利率水平的上升而逐漸增加，具有非線性特性。

在國(guó)內(nèi)的研究中，李和金、鄭興山和李湛［19］使用Florens-Zmirou的方法對(duì)國(guó)債回購(gòu)利率進(jìn)行非參數(shù)估計(jì)，研究結(jié)果表明漂移函數(shù)在中等利率水平處比較平緩，而在利率水平較低和較高時(shí)均表現(xiàn)出較強(qiáng)的均值回復(fù)特性。擴(kuò)散函數(shù)則隨著利率水平的提高而增加，而且是非線性的。宋永安和陸立強(qiáng)［20］將Florens-Zmirou的非參數(shù)方法，應(yīng)用于上海證券交易所1個(gè)月回購(gòu)利率R028每日收盤數(shù)據(jù)，其非參數(shù)估計(jì)結(jié)果表明漂移函數(shù)整體上是非線性的，在利率水平較高時(shí)具有較強(qiáng)的均值回復(fù)特性，而在其它利率水平下則比較平穩(wěn)。擴(kuò)散函數(shù)的波動(dòng)幅度隨著利率水平的提高而增加，也呈現(xiàn)出非線性的特性。周榮喜等［21］使用Florens-Zmirou的非參數(shù)方法對(duì)上海證券交易所回購(gòu)國(guó)債GC001數(shù)據(jù)進(jìn)行了研究，并且在估計(jì)中分別使用了拋物線核函數(shù)與高斯核函數(shù)。研究結(jié)果表明高斯核函數(shù)的估計(jì)效果較好，其估計(jì)結(jié)果表明漂移函數(shù)整體上十分平緩，在利率水平較高時(shí)略微具有波動(dòng)性；擴(kuò)散函數(shù)則隨著利率水平的提高而增加，而且是非線性的。胡瑾瑾和陳淼垚［17］使用Stanton［15］和Jiang［11］等研究的方法，計(jì)算漂移函數(shù)和擴(kuò)散函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)量，通過(guò)對(duì)上海證券交易所債券市場(chǎng)7天回購(gòu)利率R007的研究，發(fā)現(xiàn)漂移函數(shù)在利率水平較低和中等利率水平處十分平緩，而在較高的利率水平處呈現(xiàn)較強(qiáng)的均值回復(fù)特性，因而在整體上是非線性的。由于擴(kuò)散函數(shù)則在利率水平較低和中等利率水平處估計(jì)值較低，而在利率水平較高時(shí)的估計(jì)值較高，因而在整體上也是非線性的。

A唗-Sahalia［2］的非參數(shù)檢驗(yàn)認(rèn)為參數(shù)模型之所以被拒絕，主要是因?yàn)樗鼈儗?duì)漂移函數(shù)的錯(cuò)誤設(shè)定，即應(yīng)該將漂移函數(shù)設(shè)定為非線性的而不是線性的。這一觀點(diǎn)可以用前面的文獻(xiàn)綜述加以佐證，即絕大部分結(jié)論都認(rèn)為漂移函數(shù)是非線性的。但是這一結(jié)論也受到了其它研究的質(zhì)疑，比如Chapman和Pearson［6］認(rèn)為當(dāng)真實(shí)的漂移函數(shù)是線性的時(shí)，A唗-Sahalia［2］和Stanton［15］的非參數(shù)估計(jì)量也會(huì)傾向于得到非線性的漂移函數(shù)，因而漂移函數(shù)具有非線性特征的結(jié)論是不穩(wěn)健的。有鑒于此，Sam和Jiang［14］借鑒Hjort和Glad［10］的研究思路，通過(guò)將參數(shù)試點(diǎn)估計(jì)量（pilot estimator）與非參數(shù)“修正因子”相結(jié)合來(lái)改進(jìn)函數(shù)的估計(jì)。為了估計(jì)美國(guó)3個(gè)月國(guó)債利率日觀測(cè)數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)模型，還使用了期限分別為6個(gè)月、1年的國(guó)債數(shù)據(jù)和期限分別為3、5、10年的中期國(guó)債數(shù)據(jù)。使用新方法所得到的結(jié)果與使用Stanton方法所得到的結(jié)果相比，兩者的漂移函數(shù)在較低和中等的利率水平處均比較平緩，并且在利率水平較高時(shí)具有均值回復(fù)特性，但是前者的回復(fù)程度要明顯減弱許多，因而得出漂移函數(shù)在利率水平較高時(shí)只是略微具有均值回復(fù)特性的結(jié)論。本文采用Stanton［15］與Sam和Jiang［14］兩種非參數(shù)估計(jì)方法，對(duì)SHIBOR市場(chǎng)利率擴(kuò)散過(guò)程的漂移函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，通過(guò)對(duì)不同結(jié)果的比較來(lái)研究漂移函數(shù)的特性以及不同期限利率之間的相互影響。

二、利率模型的非參數(shù)估計(jì)

為了避免對(duì)漂移函數(shù)和擴(kuò)散函數(shù)的錯(cuò)誤設(shè)定，Stanton［15］提出了一種通過(guò)使用離散的觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行近似估計(jì)的有效方法。考慮式（1）中的擴(kuò)散過(guò)程rt，將條件期望Et［f(rt+Δ,t,Δ)］ 用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)為：Et［f(rt+Δ,t+Δ)］=f(rt,t)+Af(rt,t)Δ+[SX(]1[]2[SX)]A2f(rt,t)Δ2+…+[SX(]1[]n![SX)]Anf(rt,t)Δn+O(Δn+1)（3）

其中A是{rt}的無(wú)窮小生成元②，Δ表示相鄰兩個(gè)觀測(cè)的時(shí)間間隔，Et表示以t時(shí)刻信息集為條件的條件期望。從式（3）可以得到Af(rt,t)的一階近似，即：Af(rt,t)=[SX(]1[]Δ[SX)]Et［f(rt+Δ,t+Δ)-f(rt,t)］+O(Δ)（4）

當(dāng)時(shí)間間隔為2Δ和3Δ時(shí)，還可以得到Af(rt,t)的高階近似。

選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)f，就可以通過(guò)式（4）得到漂移函數(shù)和擴(kuò)散函數(shù)的近似估計(jì)。Stanton［15］選取fμ(r,t)≡r,fσ(r,t)≡(r-rt)2， 分別用于估計(jì)兩個(gè)函數(shù)，所得到的一階近似估計(jì)分別為：

μ(rt)=[SX(]1[]Δ[SX)]Et［rt+Δ-rt］+O(Δ)（5）

σ2(rt)=[SX(]1[]Δ[SX)]Et［(rt+Δ-rt)2］+O(Δ)（6）

利用核估計(jì)方法，得到式（5）的非參數(shù)估計(jì)為：

E［rτ+Δ-rτ｜rτ=r］≈[SX(]∑T-1t=1(rt+Δ-rt)K［(r-rt)/h］[]∑T-1t=1K［(r-rt)/h］[SX)](7)

其中K(z)=2(π)-1/2e-(1/2)z2為正態(tài)核函數(shù)，h為窗寬（window width）。

Sam和Jiang［14］的非參數(shù)方法與現(xiàn)有參數(shù)方法和其它非參數(shù)方法的關(guān)鍵區(qū)別，在于它使用的是由多個(gè)期限的利率序列構(gòu)成的面板數(shù)據(jù)，其中第一個(gè)利率的漂移函數(shù)是需要估計(jì)的，而其它期限的利率序列則用作輔助序列參與估計(jì)。該方法借鑒了Hjort和Glad［10］的研究思路，使用參數(shù)試點(diǎn)估計(jì)量和非參數(shù)“修正因子”來(lái)改進(jìn)函數(shù)的估計(jì)。其優(yōu)點(diǎn)在于，當(dāng)試點(diǎn)估計(jì)量能夠較好地近似條件均值時(shí)，“修正因子”是一個(gè)平滑的函數(shù)，因而更容易用非參數(shù)方法進(jìn)行估計(jì)。該方法分兩步實(shí)施：第一步，同時(shí)使用各個(gè)期限的利率用以估計(jì)漂移函數(shù)的非參數(shù)混合估計(jì)量，由于不同期限利率的漂移函數(shù)一般來(lái)說(shuō)是不同的，因而該估計(jì)量不是最優(yōu)的；第二步，使用非參數(shù)“修正因子”來(lái)糾正混合估計(jì)量中存在的偏誤。

定義μp(r)=∑Jj=1μj(r)wj(r)，其中wj(r)=(pj(r))/(∑Jj=1pj(r))。pj(r) 是第j個(gè)利率序列的密度函數(shù)，j=1,…,J。μp(r)就是要用各個(gè)期限的利率數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)的漂移函數(shù)的混合估計(jì)量，利用它可以得到漂移函數(shù)的估計(jì)，即： μ1(r)=μp(r)[SX(]μ1(r)[]μp(r)[SX)]=μp(r)c(r)（8）

在式（8）中，c(r)為“修正因子”，且μp(r)≠0。c(r)的非參數(shù)估計(jì)(r)可表示為：

(r)=[SX(]1[]δ[SX)][SX(]∑n-1t=0[SX(]r(1)(t+1)δ-r(1)tδ[]μp(r(1)tδ)[SX)]Kh(r(1)tδ-r)[]∑n-1t=0Kh(r(1)tδ-r)[SX)](9)

在實(shí)際應(yīng)用中，由于μp(r)未知，因此需要用它的一致估計(jì)量來(lái)代替，即：

(r)=[SX(]1[]δ[SX)][SX(]∑Jj=1∑n-1t=0(r(j)(t+1)δ-r(j)tδ)Khp(r(j)tδ-r)[]

∑Jj=1∑n-1t=0Khp(r(j)tδ-r)[SX)](10)

結(jié)合式（9）與式（10）就可以得到漂移函數(shù)μ1(r)的非參數(shù)估計(jì)量1(r)。當(dāng)使用日觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，式（9）和式（10）中的δ取值為1。

三、實(shí)證分析

本文使用上海銀行間拆放利率（SHIBOR）數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，該數(shù)據(jù)在國(guó)內(nèi)的研究中已逐漸得到了廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也具有重要的參考價(jià)值。數(shù)據(jù)的樣本期間從2006年10月8日到2011年7月29日，總共有1 206個(gè)日觀測(cè)值，選擇的利率期限分別為1周、2周、1個(gè)月、3個(gè)月、6個(gè)月、9個(gè)月和1年?？紤]到國(guó)內(nèi)外還沒(méi)有相關(guān)研究使用期限為隔夜的利率數(shù)據(jù)，因而本文選擇估計(jì)期限為1周的利率，而其它期限更長(zhǎng)的利率則作為輔助利率，期限為1周的利率及其一階差分分別由圖1和圖2給出：

漂移函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)分別使用Stanton與Sam&Jiang兩種方法，最優(yōu)窗寬按照公式opt=1.06sT-1/5進(jìn)行計(jì)算，其中s為利率序列的標(biāo)準(zhǔn)差，T為樣本觀測(cè)個(gè)數(shù)。相應(yīng)的估計(jì)結(jié)果分別由圖3與圖4給出：

從圖3中的結(jié)果可以看到漂移函數(shù)在中等利率水平以下的范圍內(nèi)十分平穩(wěn)，幾乎為0。在利率水平較高時(shí)則具有均值回復(fù)特性，此后又趨于平穩(wěn)。該結(jié)果與國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究的發(fā)現(xiàn)較為接近。圖4中漂移函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)結(jié)果是按照Sam&Jiang方法估計(jì)的，可以看出與圖3有明顯的差異。在利率水平較低時(shí)，漂移函數(shù)十分平穩(wěn)，而在中等利率水平處則表現(xiàn)出波動(dòng)特征，且波動(dòng)幅度較大。在利率水平較高時(shí)具有均值回復(fù)特性，并且均值回復(fù)與平穩(wěn)交替出現(xiàn)。

如前文所述，Sam&Jiang方法所構(gòu)造的非參數(shù)估計(jì)量通過(guò)引入輔助利率來(lái)糾正以往方法中存在的偏誤，而圖4中的結(jié)果卻與該方法的初衷相違?？紤]到其它相關(guān)研究中并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)類似的結(jié)果，因而認(rèn)為圖中的結(jié)果可能與輔助利率的選擇有關(guān)。在SHIBOR數(shù)據(jù)中，期限為1個(gè)月及以下的利率為短端利率，期限為3個(gè)月至1年的利率為長(zhǎng)端利率。短端利率的波動(dòng)幅度較大，表現(xiàn)為波動(dòng)趨勢(shì)；長(zhǎng)端利率的波動(dòng)幅度較小，表現(xiàn)為漂移趨勢(shì)。當(dāng)使用長(zhǎng)端利率作為短端利率的輔助序列時(shí)，兩者在趨勢(shì)上的差異對(duì)短端利率漂移函數(shù)的估計(jì)可能會(huì)造成一定的影響。長(zhǎng)端利率對(duì)1周利率的漂移函數(shù)估計(jì)的影響可以通過(guò)比較圖4與圖5做初步判斷：

圖5與圖4的區(qū)別在于輔助利率的選擇不同，即只選擇期限為2周和1個(gè)月的短端利率作為輔助利率，而沒(méi)有將長(zhǎng)端利率包括進(jìn)來(lái)。從圖5可以看出在中等利率水平處，雖然漂移函數(shù)的波動(dòng)幅度有所減小，但是仍然具有明顯的波動(dòng)特征?？梢?jiàn)長(zhǎng)端利率只是加劇了波動(dòng)幅度，并不是造成估計(jì)結(jié)果之間差異的主要原因③。此外，從表1所列出的描述統(tǒng)計(jì)量中可以發(fā)現(xiàn)，即使短端利率之間也在偏度、峰度和最大值等描述統(tǒng)計(jì)量上存在明顯差異。短端利率之間的差異或許是導(dǎo)致漂移函數(shù)波動(dòng)特征的原因之一，并且其影響主要體現(xiàn)在利率水平中等和較高時(shí)，然而這一判斷的正確性還有待進(jìn)一步的研究與分析④。

為了進(jìn)一步考察短端利率與長(zhǎng)端利率趨勢(shì)上的差異對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響，本文還對(duì)期限為1個(gè)月的利率分別按照兩種非參數(shù)方法進(jìn)行了估計(jì)，其它期限更長(zhǎng)的利率則作為輔助利率。從表1可知該期限的利率是所有短端利率中與長(zhǎng)端利率在統(tǒng)計(jì)特性上最為接近的，并且從走勢(shì)圖（本文未給出）上來(lái)看，該利率與其它短端利率相同的是它具有波動(dòng)趨勢(shì)，不同的是它與長(zhǎng)端利率具有相似的線性趨勢(shì)。估計(jì)結(jié)果分別在圖6與圖7中給出，圖7中的結(jié)果與圖6的總體上差異不大，只是在中等利率水平處略微具有波動(dòng)特征，但是波動(dòng)幅度不大，同時(shí)均值回復(fù)強(qiáng)度要大一些。因此，長(zhǎng)端利率對(duì)1個(gè)月利率的漂移函數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響與圖4中的相比要明顯減弱許多，這也跟該利率與長(zhǎng)端利率在統(tǒng)計(jì)特性上最為接近的觀察相一致?？梢?jiàn)長(zhǎng)端利率對(duì)短端利率的漂移函數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響取決于兩者在統(tǒng)計(jì)特性上的差異程度。當(dāng)統(tǒng)計(jì)特性差異較大時(shí)長(zhǎng)端利率的影響就大，并且主要體現(xiàn)在中等利率水平處；當(dāng)統(tǒng)計(jì)特性差異較小時(shí)長(zhǎng)端利率的影響要小很多。

四、結(jié)論

本文使用SHIBOR市場(chǎng)利率數(shù)據(jù)，結(jié)合Stanton與Sam&Jiang兩種非參數(shù)方法，對(duì)利率擴(kuò)散過(guò)程的漂移函數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。對(duì)于期限為1周的利率，在兩種方法下所得到的漂移函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)結(jié)果存在顯著差異，其中Stanton方法所得到的結(jié)果與以往研究較為接近，而Sam&Jiang方法所得到的結(jié)果表明在中等利率水平處漂移函數(shù)具有較強(qiáng)的波動(dòng)特征，且在利率水平較高時(shí)的均值回復(fù)特性上也存在差異。這樣的結(jié)果不但有違Sam&Jiang方法的初衷，而且在以往研究中也沒(méi)有與之相似的情形，因而認(rèn)為導(dǎo)致這一現(xiàn)象的原因在于輔助利率的選擇。通過(guò)去掉輔助序列中的長(zhǎng)端利率，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)端利率只是加劇了中等利率水平處漂移函數(shù)的波動(dòng)幅度，而短端利率之間在統(tǒng)計(jì)特性上的差異或許是導(dǎo)致這一現(xiàn)象的主要原因。為了進(jìn)一步分析長(zhǎng)端利率對(duì)短端利率漂移函數(shù)估計(jì)值的影響，本文還估計(jì)了與長(zhǎng)端利率在統(tǒng)計(jì)特性上最為接近的1個(gè)月利率的漂移函數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩種方法所得到的估計(jì)結(jié)果差異很小，表明長(zhǎng)端利率對(duì)短端利率漂移函數(shù)估計(jì)值的影響取決于兩者在統(tǒng)計(jì)特性上的差異程度，統(tǒng)計(jì)特性差異越大影響就越大，反之亦然。

上述研究從輔助利率對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響出發(fā)，對(duì)SHIBOR市場(chǎng)長(zhǎng)、短端利率之間的相互影響進(jìn)行了分析，其結(jié)論對(duì)SHIBOR市場(chǎng)利率的選擇與使用具有一定的參考意義。在估計(jì)SHIBOR市場(chǎng)利率擴(kuò)散過(guò)程時(shí)，由于短端利率之間缺乏一致性，因而最好分別進(jìn)行研究。長(zhǎng)、短端利率在趨勢(shì)上的差異會(huì)對(duì)估計(jì)結(jié)果造成一定的影響，期限為1個(gè)月的利率兼有長(zhǎng)、短端利率的特點(diǎn)，其估計(jì)結(jié)果參考意義更大。對(duì)于兩種非參數(shù)估計(jì)方法，考慮到SHIBOR市場(chǎng)利率數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性，Stanton方法更為適用，今后的研究在利率期限的選擇上應(yīng)更加謹(jǐn)慎。

注釋：

① 相關(guān)模型的具體設(shè)定請(qǐng)參見(jiàn)A唗-Sahalia［2］第403頁(yè)的表3。

② 無(wú)窮小生成元的定義請(qǐng)參見(jiàn)科森多爾［18］第121頁(yè)的定義7.3.1。

③ 如果在估計(jì)中只選擇長(zhǎng)端利率作為輔助序列，則結(jié)果表明漂移函數(shù)在中低等利率水平處具有低于圖5中的波動(dòng)幅度，在利率水平較高時(shí)具有較強(qiáng)的均值回復(fù)特性，而在其它利率水平處則十分平穩(wěn)。

④ Sam和Jiang［14］的表2給出了各個(gè)期限利率的描述統(tǒng)計(jì)量，從中可以發(fā)現(xiàn)，不同期限的利率在統(tǒng)計(jì)特性上均比較接近。

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