汪喜天 康建軍

在高中數(shù)學(xué)（北師版）選修4-5參數(shù)方程一章給出了圓的平擺線與漸開(kāi)線的參數(shù)方程.圓除了平擺線與漸開(kāi)線外，還有其他擺線，筆者經(jīng)過(guò)探究，推導(dǎo)出圓的其他幾種擺線的參數(shù)方程.

一、短幅擺線與長(zhǎng)幅擺線

1.定義

①當(dāng)動(dòng)圓C沿著定直線L滾動(dòng)時(shí)，圓C內(nèi)部定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡（這樣的曲線稱為短幅擺線）.

②當(dāng)動(dòng)圓C沿著定直線L滾動(dòng)時(shí)，圓C外部定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡（這樣的曲線稱為長(zhǎng)幅擺線）.

③短幅擺線與長(zhǎng)幅擺線統(tǒng)稱為變幅擺線.

2.短幅擺線的參數(shù)方程

設(shè)CM連線與圓C交于點(diǎn)A，取點(diǎn)A的初始位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的水平直線為x軸，圓C滾動(dòng)的方向?yàn)檎较?，建立如圖所示坐標(biāo)系.

設(shè)圓C的半徑為r，CM=a（a

于是：x=OP-QP=rα-asinα，

y=MQ=CP+CN=r-acosα，

即得到點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程是

x=rα-asinα，

y=r-acosα.（α為參數(shù)）

注 ①當(dāng)a=r時(shí)，上述方程為圓的平擺線方

程x=r（a-sinα），

y=r（1-cosα）.

②當(dāng)a>r時(shí)，上述方程為圓的長(zhǎng)幅擺線方程.

二、圓的內(nèi)擺線與外擺線

1.定義

①設(shè)半徑為R的定圓O和半徑為r的動(dòng)圓C（R>r），當(dāng)圓C在圓O內(nèi)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，圓C上一定點(diǎn)M的軌跡叫內(nèi)擺線.

②設(shè)半徑為R的定圓O和半徑為r的動(dòng)圓C（R>r），當(dāng)圓C在圓O外無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，圓C上一定點(diǎn)M的軌跡叫外擺線.

2.圓的內(nèi)、外擺線的參數(shù)方程

（1）內(nèi)擺線的參數(shù)方程

如圖，A為點(diǎn)M的初始位置，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)圓C轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為∠BCM=α，此時(shí)兩圓相切于點(diǎn)B，設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），過(guò)M作MP⊥x軸于P，作CQ⊥x軸于Q，作MN⊥CQ于N，設(shè)∠AOB=θ，由BA弧等于BM弧得：Rθ=rα，所以θ=rα[]R.又∠MCN=π-π[]2-θ-α=π-π[]2+rα[]R-α=π[]2-1-r[]Rα.所以x=OP=OQ+QP=（R-r）cosrα[]R+rsinπ[]2-1-r[]Rα=（R-r）cosrα[]R+rcos1-r[]Rα，

y=MP=CQ-CN=（R-r）sinrα[]R-rcosπ[]2-1-r[]Rα=（R-r）sinrα[]R-rsin1-r[]Rα.

即點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程為：x=（R-r）cosrα[]R+rcos1-r[]Rα，

y=（R-r）sinrα[]R-rsin1-r[]Rα，（其中α為參數(shù)）.

注 當(dāng)R=2r時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是圓O的一條直徑（此為2011年江西高考理科第10題）.

（2）外擺線的參數(shù)方程

如圖，點(diǎn)A為點(diǎn)M的初始位置，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)圓C轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為∠MCB=α，此時(shí)兩圓相切于點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），過(guò)M作MP⊥x軸于P，過(guò)B作BQ⊥x軸于Q，作MN⊥BQ于N，連CM，設(shè)∠AOB=θ，

由BA弧等于BM弧得：Rθ=rα，

所以θ=rα[]R，∠MBN=1[]2（θ+α）=1[]2r[]R+1α.

在△BMC中，可得BM=2rsinα[]2，

所以x=OP=OQ+QP=Rcosrα[]R+2rsinα[]2sin1[]2r[]R+1α，y=BQ-NQ=Rsinrα[]R-2rsinα[]2cos1[]2r[]R+1α.

即點(diǎn)M的參數(shù)方程為

x=Rcosrα[]R+2rsinα[]2sin1[]2r[]R+1α，

y=Rsinrα[]R-2rsinα[]2cos1[]2r[]R+1α，

（其中α為參數(shù)）.

注 當(dāng)R=r與R=2r時(shí)，點(diǎn)M的軌跡分別是心臟線和腎臟線.