李海南

【摘要】本文在素數(shù)定理的基礎上，推導出一個更簡潔、更易于描述素數(shù)分布特征，同時精確度更高的求不大于x的素數(shù)個數(shù)π（x）的表達式Lihn（x）.主要證明了三個結果：（1）π（x）～Lihn（x）.（2）π（x）=Lihn（x）+O（x/logx）.（3）Li（x）>Lihn（x）+（x/logx）.結果（3）表明英國數(shù)學家John睱ittlewood在1914年證明的“Li（x）-π（x）是一個在正與負之間震蕩無窮多次的函數(shù)”的結論是錯誤的.文章最后從概率角度詮釋了素數(shù)分布就是素數(shù)硬幣的拋擲運動的實質.

【關鍵詞】素數(shù)分布；概率；連續(xù)轉折線；素數(shù)軸；素數(shù)硬幣

【中圖分類號】O1561

前 言

大家都知道，素數(shù)一直是數(shù)學家特別是數(shù)論學家的研究對象，素數(shù)分布則是其中的一個重要的研究分支，應該說到目前為止是只有其中三個人的結論影響最為深遠長久，他們分別是：

一、德國數(shù)學家Gauss的猜測

（1）素數(shù)定理：π（x）～x/logx或者更精確的

π（x）～Li（x），其中Li（x）=А襵2dulogu.

（2）第二個猜測：Li（x）總是過多地估計素數(shù)的個數(shù).

二、德國數(shù)學家Riemann，他提出了求解素數(shù)個數(shù)的更精確表達式

π（x）～R（x）=Li（x）-А苝Li（xp）-ln2+∫∞xdtt（t2-1）lnt.

并由此引出黎曼假定（The Riemann Hypothesis）這一千禧年問題.

三、英國數(shù)學家John Littlewood在1914 年證明的“Li（x）-π（x）是一個在正與負之間震蕩無窮多次的函數(shù)”的結論

德國數(shù)學家Gauss在考察不大于x的素數(shù)個數(shù)時先是得到π（x）～x/logx，同時認為大自然推出素數(shù)很可能是一種素數(shù)硬幣的拋擲過程，只不過此時這枚硬幣正面朝上的概率不再是二分之一，而是1/logx，因此當x越來越大時，x為素數(shù)的概率就越小，因為正面朝上的概率隨著1/logx越來越小了.Gauss并進而推測到更精確的表達式：π（x）～Li（x）.

Lihn（x）的推導過程：

我們從圖1中可以顯然看到三個可以證明的結論：（1）π（x）～Lihn（x）

（2）π（x）=Lihn（x）+O（x/logx）

（3）Li（x）>Lihn（x）+O（x/logx）

其中：Lihn（x）=А苙1n-1logn+x-n22n+1×nlog（n+1），1

（1）圖1清楚表明（1）：π（x）～Lihn（x）的成立是顯而易見的.

（2）同時誠如Gauss猜測的那樣，大自然推出素數(shù)確實是一種素數(shù)硬幣的拋擲過程，只不過這次素數(shù)硬幣的拋擲不是人們常識上所以為的那樣一枚一枚地拋擲，而是每一次拋擲都要比前一次增加兩枚硬幣，并且每一次的拋擲都排除掉明確非素數(shù)的硬幣（12，22，32，42，…，n2，…）.所以在相應的第（n+1）次拋擲中除了明確的非素數(shù)（n+1）2，其他的整數(shù)（不分大?。┛赡苁撬財?shù)的概率均是1/log（n+1）2（所以相應的素數(shù)個數(shù)=（n+1）2-n2-1/log（n+1）2=n/log（n+1））.這是和Gauss關于素數(shù)分布的論述“小于或等于x的素數(shù)的分布密度接近相應x的對數(shù)函數(shù)的倒數(shù)”的微小的也是最主要的區(qū)別（一個是接近，一個是均是），而正是這個微小的區(qū)別導致素數(shù)定理有如此大的偏差.圖中清楚顯示的三個表達式與實際的素數(shù)分布的誤差主要來自初始的拋擲，隨著n越來越大，在第n次拋擲中素數(shù)出現(xiàn)的數(shù)量就越來越趨向于一個穩(wěn)定值：（n+1）/logn.而這正是素數(shù)為什么會在總體趨勢上雖然是越來越稀少，但素數(shù)總量π（x）仍然會越來越多的根本原因.遵循人們所熟知的四舍五入的概念，在累計第n次拋擲后素數(shù)出現(xiàn)的總量π（x）的誤差是不會超過接下來的第（n+1）次拋擲中素數(shù)出現(xiàn)數(shù)量的一半，即0.5n/log（n+1），而當n→∞時，0.5n/log（n+1）≈x/logx.所以有（2）式：π（x）=Lihn（x）+O（x/logx）成立.綜上所述，從概率理論的角度可以判斷素數(shù)分布確實是“素數(shù)硬幣”的拋擲過程，素數(shù)在自然數(shù)里的分布是符合獨立隨機分布事件的特征的.而Lihn（x）明顯是一條連續(xù)的轉折線，轉折點在（12，22，32，42，…，n2，…）這容易讓我們得出結論：素數(shù)的分布接近一條連續(xù)轉折線.這條連續(xù)轉折線也可以稱之為素數(shù)軸.

如果我們接受這樣的素數(shù)分布的事實，接下來就很容易證明第三個結論：

（3）Li（x）>Lihn（x）+O（x/logx），證明過程如下：

我們知道，對于Li（x）=А襵2dulogu，由于1/logu是遞減函數(shù)，故當x→∞時，

在區(qū)間n2～（n+1）2顯然有：（n+1）2-n2log（n+1）2<∫dulogu<（n+1）2-n2logn2.

所以nlog（n+1）+1log（n+1）2<А襠ulogu成立.

同理在區(qū)間（n-1）2～n2有：n-1logn+1logn2<А要dulogu成立.

……

г誶間32～42有：3log4+1log42<∫dulogu成立.

在區(qū)間22～32有：2log3+1log32<∫dulogu成立.

在區(qū)間12～22有：1log2+1log22<∫dulogu成立.

那么當x從（n+1）2→1時，顯然有下式：

nlog（n+1）+n-1logn+…+3log4+2log3+1log2+1log（n+1）2+1logn2+…+1log42+1log32+1log22<∫dulogu.

所以∑n1nlog（n+1）+121log（n+1）+1logn+…+1log4+1log3+1log2

亦即Lihn（x）+12×nlog（n+1）

Lihn（x）+x/logx

所以Li（x）>Lihn（x）+O（x/logx）是成立的.

這個結果表明：英國數(shù)學家John睱ittlewood在1914年證明的“Li（x）-π（x）是一個在正與負之間震蕩無窮多次的函數(shù)”的結論是錯誤的，這或許就是為什么即使現(xiàn)在的計算機時代也找不到一個他所說的反例的原因，應該說德國數(shù)學家Gauss的第二猜測是正確的，笑到最后的是德國數(shù)學家Gauss！

結論：素數(shù)的分布其實就是素數(shù)硬幣的拋擲運動！

說明：附表1除了Lihn（x）是用VB軟件計算外，其余的π（x）、R（x）和Li（x）的數(shù)據(jù)均來自網(wǎng)上下載，這是目前能找到的最大的素數(shù)表數(shù)據(jù)，期望能找到更大的數(shù)據(jù)來進行比較.附表2

說明：表中也清楚表明了Lihn（x）、R（x）和Li（x）與π（x）相比較的誤差是否滿足O（x/logx）.

【參考文獻】

[1]潘承洞，潘承彪.素數(shù)定理的初等證明.上海：上海科學技術出版社，1988.

[2]約翰·德比希爾.素數(shù)之戀.陳為蓬.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2008.

[3]馬科斯杜索托伊.素數(shù)的音樂.孫維昆.長沙：湖南科技出版社，2009.