張輝 李應(yīng)岐 趙偉舟

【摘要】研究了一類具有一般形式非線性發(fā)生率g（S）h（I）的SEIR傳染病模型平衡點(diǎn)的存在性問題，利用隱函數(shù)存在定理和拉格朗日中值定理證明了當(dāng)R0>1時(shí)存在唯一地方病平衡點(diǎn)，當(dāng)R0≤1時(shí)不存在地方病平衡點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】非線性發(fā)生率；基本再生數(shù)；平衡點(diǎn)

【中圖分類號(hào)】O175.13

1.基本模型

將總?cè)丝诜譃樗念悾阂赘姓逽、潛伏者E、染病者I和移出者R.現(xiàn)建立S和I具有一般形式非線性發(fā)生率g（S）h（I）的SEIR傳染病模型

S′=Λ-g（S）h（I）-μS，E′=g（S）h（I）-（μ+ε）E，I′=εE-（μ+α+γ）I，R′=γI-μR.（1）

其中，Λ為人口常數(shù)輸入率，μ為自然死亡率，1[]ε為E的平均潛伏期，α為I的因病死亡率，γ為I的移出率，以上參數(shù)均為正數(shù).根據(jù)傳染機(jī)制，函數(shù)g（S）和h（I）滿足

1）g（0）=h（0）=0；

2）g′（0）≥0，當(dāng)S>0時(shí)，g′（S）>0；

3）當(dāng)I≥0時(shí)，h′（I）>0，h″（I）≤0.

于是，G=（S，E，I，R）∈R4+0≤S+E+I+R≤Λμ是系統(tǒng)（1）的一個(gè)正向不變緊集.

定義系統(tǒng)（1）的基本再生數(shù)為

R0=ε（μ+ε）（μ+α+γ）gΛμh′（0）.

2.平衡點(diǎn)的存在性

易得系統(tǒng)（1）必存在唯一無病平衡點(diǎn)

P0=Λμ，0，0，0.

定理1 當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)（1）在G內(nèi)存在唯一地方病平衡點(diǎn)P*.

證明 記直線q1：

Λ-μS=（μ+ε）（μ+α+γ）εI，

曲線q2：

g（S）h（I）=（μ+ε）（μ+α+γ）εI.（2）

因g′（S）>0，S>0，由隱函數(shù)存在定理，（2）式唯一確定一個(gè)連續(xù)函數(shù)

S=S（I）=g-1（μ+ε）（μ+α+γ）ε·Ih（I）.

設(shè)曲線q2與S軸的交點(diǎn)為（0，S1），如圖1所示.

圖1 直線q1和曲は遯2的圖像

當(dāng)R0>1時(shí)，有

g（Λμ）>（μ+ε）（μ+α+γ）ε·1h′（0）.

此時(shí)

S1=limI→0g-1（μ+ε）（μ+α+γ）ε·Ih（I）=g-1（μ+ε）（μ+α+γ）ε·1h′（0）<Λμ.

則q1和q2在第一象限內(nèi)至少有一交點(diǎn).即系統(tǒng)（1）在G內(nèi)存在地方病平衡點(diǎn)P*，不妨記為P*=（S*，E*，I*，R*）.

下面證明P*的唯一性.

設(shè)（I0，S0）為曲線段S=S（I），0

h′（I1）=h（I0）-h（0）I0-0=h（I0）I0=（μ+ε）（μ+α+γ）εg（S0）.

由h″（I）≤0，I≥0，得h′（I1）≥h′（I0）.

則

g（S0）h′（I0）≤（μ+ε）（μ+α+γ）ε.

由點(diǎn)（I0，S0）的任意性，當(dāng)0

g[S（I）]h′（I）≤（μ+ε）（μ+α+γ）ε.

對(duì)于（2）式，兩邊對(duì)于I求導(dǎo)得

g′（S）dSdIh（I）+g（S）h′（I）=（μ+ε）（μ+α+γ）ε，

即

dSdI=（μ+ε）（μ+α+γ）ε-g（S）h′（I）g′（S）h（I）≥0.

則S=S（I）在區(qū)間（0，I*]內(nèi)單調(diào)遞增.即q1和q2在第一象限內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn).故當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)（1）存在唯一地方病平衡點(diǎn)P*.

定理2 當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)（1）不存在地方病平衡點(diǎn).

證明 當(dāng)R0≤1時(shí)，有

g（Λμ）≤（μ+ε）（μ+α+γ）εh′（0），

則

S1=g-1（μ+ε）（μ+α+γ）ε·1h′（0）≥Λμ.

又S=S（I）單調(diào)遞增，則q1和q2在第一象限內(nèi)無交點(diǎn).故當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)（1）不存在地方病平衡點(diǎn).