樊宏偉

函數(shù)的表示方法有語言描述法、圖示法、列表法、解析法，其中，解析法應(yīng)用最為廣泛.解析法是用函數(shù)關(guān)系式表示函數(shù)的方法，解析式簡單明了，便于用數(shù)來研究函數(shù).求函數(shù)解析式的方法有多種，常用的方法有下面幾種：

一、代入法

已知函數(shù)f（x），g（x），求：f[g（x）].代入法就是將g（x）代入f（x）的x中去，并注意函數(shù)f[g（x）]的定義域.

例1 已知f（x）=x2+2x，求f（sinx）.

解 f（sinx）=sin2x+2sinx.

二、待定系數(shù)法

已知函數(shù)解析式的類型，可設(shè)其解析式的形式，根據(jù)已知條件建立關(guān)于待定系數(shù)的方程，從而求出函數(shù)解析式的方法.

例2 已知f（x）是反比例函數(shù)，且過（1，2）點，求f（x）的解析式.

解 f（x）=kx（k≠0），則有2=k1，解得k=2.

所以f（x）=2x.

小結(jié) 我們只要明確所求函數(shù)解析式的類型，便可設(shè)出其函數(shù)解析式，設(shè)法求出其系數(shù)即可得到結(jié)果.類似的已知f（x）為一次函數(shù)時，可設(shè)f（x）=kx+b（k≠0）；f（x）為二次函數(shù)時，根據(jù)條件可設(shè)

①一般式：f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

②頂點式：f（x）=a（x-h）2+k（a≠0），

③雙根式：f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.

三、換元法

換元法就是通過引入一個或幾個新的變量來替換原來的某些變量的解題方法，它的基本功能是：化難為易、化繁為簡，以快速實現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)換，從而達到順利解題的目的.

已知f[g（x）]是關(guān)于x的函數(shù)，求f（x）的解析式，通常令g（x）=t，由此能解出f（t）的解析式，再用x替換t，便得f（x）的解析式.注意：換元后要確定新元t的取值范圍.

例3 已知f（sinx）=sin2x+2sinx，求f（x）的解析式.

解 設(shè)t=sinx，則f（t）=t2+2t，所以f（x）=x2+2x.

四、消元法

消元法，指通過消除一些元素，求函數(shù)解析式的方法.

例4 設(shè)f（x）+2f1x=3x-1，求函數(shù)f（x）的解析式.

解 f（x）+2f1x=3x-1，①.令t=1x，則有f1t+2f（t）=3t-1，②，將t換為x，得f1x+2f（x）=3x-1，③.由①③聯(lián)立方程組

f（x）+2f1x=3x-1，f1x+2f（x）=3x-1.解得f（x）=2x-x-13.

分析 如果將題目所給的f（x），f1x看成兩個元素，那么該等式即可看作二元方程，根據(jù)題意，通過建立方程組，利用消元法求函數(shù)解析式.

五、賦值法

通過對某變量取特殊值求函數(shù)解析式的方法.

例5 已知函數(shù)f（x）的定義域為R，并對一切實數(shù)x，y都有2f（x+y）=f（x）+3f（y）+x2-5xy-x，求f（x）的解析式.

解 令y=0，得2f（x）=f（x）+3f（0）+x2-x.

令x=y=0，得2f（0）=f（0）+3f（0），

所以f（0）=0，所以f（x）=x2-x，（x∈R）.

六、函數(shù)性質(zhì)法

利用函數(shù)的性質(zhì)如奇偶性、單調(diào)性、周期性等求函數(shù)解析式的方法.

例6 已知函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2-x，求f（x）的解析式.

解 y=f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）.即f（x）=-f（-x），當x<0時，得-x≥0，f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-（-x）]=-x2-x.

所以f（x）=x2-x，x≥0，-x2-x，x<0.

七、反函數(shù)法

利用反函數(shù)的定義求反函數(shù)的解析式的方法.

例7 （2012年全國卷）函數(shù)y=x+1（x≥-1）的反函數(shù)是（）.

A.y=x2-1（x≥0） B.y=x2-1（x≥1）

C.y=x2+1（x≥1）D.y=x2+1（x≥1）

解 由y=x+1（x≥-1），解得x=y2-1（y≥0）.所以函數(shù)y=x+1（x≥-1）的反函數(shù)是y=x2-1（x≥0）.因此選A.

八、抽象函數(shù)的解析式模型

抽象函數(shù)沒有解析式，但很多抽象函數(shù)也是由有解析式的函數(shù)抽象出來的.

（1）函數(shù)y=f（x）滿足f（x±y）=f（x）±f（y）.

解析式模型：正比例函數(shù)f（x）=kx.

（2）函數(shù)y=f（x）滿足f（xy）=f（x）f（y）.

解析式模型：冪函數(shù)f（x）=xα，（α為常數(shù)）.

（3）函數(shù)y=f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y）.

解析式模型：指數(shù)函數(shù)f（x）=ax，（a>0，且a≠1）.

（4）函數(shù)y=f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y）.

解析式模型：對數(shù)函數(shù)f（x）=logax，（a>0，且a≠1）.

（5）函數(shù)y=f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）1-f（x）f（y）.

解析式模型：f（x）=tanx.

（6）函數(shù)y=f（x）滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0.

解析式模型：f（x）=cosx.

例8 （判斷）函數(shù)y=f（x）滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0是（）.

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

用定義來推斷較麻煩，用模型可得是偶函數(shù).選B.