彭春蓮

一、APOS理論簡介

APOS理論是美國教育家杜賓斯基提出的數(shù)學學習理論，APOS是英文單詞action（活動）、process（過程）、object（對象）、scheme（圖式）的第一個字母的組合，表示概念學習過程的每一個階段.

二、基于APOS理論下“直線與平面平行”的教學設計

學生是學習和發(fā)展的主體，教師是教學活動的組織者和引導者.為了把發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的機會還給學生，把成功的體驗讓給學生，采用APOS理論引導發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學生學習的積極性和創(chuàng)造性，分享探索知識的樂趣，使數(shù)學教學變成再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程.本節(jié)內(nèi)容與學生學習的生活聯(lián)系緊密，學習時，一方面引導學生從實際生活出發(fā)，把知識與周圍的事物聯(lián)系起來；另一方面，引導學生從現(xiàn)實的生活中抽象出空間圖形，注重引導學生通過觀察、操作、思考和推理等活動，引導學生借助圖形直觀來探索直線、平面平行的性質(zhì)及其證明.

（一）活動階段

通過實例讓學生對直線和平面平行在現(xiàn)實生活中的應用有個感性認識.

1.創(chuàng)設情景，提出問題

利用幻燈片給出熟悉的圖片：（1）運動場上的跑道；（2）學校的旗桿；（3）運動場上的單杠.觀察它們和平面的關(guān)系.

點評 學生在學習新的數(shù)學概念的時候，新的信息對學生來講基本上是陌生的、零碎的和彼此孤立的，需要教師選擇能作為新知識的生長點，將新知識的各因素聯(lián)系起來，并以最好的方式呈現(xiàn)給學生，通過激發(fā)，激活學生頭腦的舊知識，調(diào)動學生主動學習發(fā)現(xiàn)的心理傾向，使得學生對新知識內(nèi)容先有個感性認識.

（二）過程階段

通過分析實例，把具體實例抽象成數(shù)學問題，具體到普遍性，引導學生對直線和平面平行由感性認識升華到對數(shù)學理論知識的理解.

2.觀察歸納，形成新知

把地面抽象成平面，把“跑道”“旗桿”“單杠”抽象成直線，觀察直線與平面的交點個數(shù).從直線和平面的公共點個數(shù)歸納出直線和平面有三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)、直線和平面相交、直線和平面平行.用圖形語言和符號語言來表示直線和平面平行的三種位置關(guān)系.

點評 教師通過實際例子抽象成數(shù)學問題（數(shù)形結(jié)合問題），引發(fā)學生思考，將學生帶入發(fā)現(xiàn)新概念的最近發(fā)展區(qū)，使他們對直線和平面平行的定義有個粗略的認識，為下一步介紹直線和平面平行的判定埋下伏筆.

（三）對象階段

通過數(shù)形結(jié)合，逐層剖析直線和平面平行的定義，讓學生從圖形上記憶理解直線和平面平行的定義，從而達到真正認識直線和平面平行的實質(zhì)是什么，為直線和平面平行的判定埋下伏筆.

我們把第三個問題抽象成數(shù)學問題就會得到直線和平面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.下面證明之成立：

已知：lう?，m雞粒琹∥m，求證：l∥α.

證明 （用反證法）假設l不平行于平面α，則l∩α=P，如果點P∈m，則與已知條件l∥m矛盾；如果點p黰，則l和m成異面直線，這也與已知條件l∥m矛盾.

上面定理可以簡稱為：線線平行，則線面平行.

3.概念辨析，鞏固練習

設計意圖：幫助學生加深對直線和平面平行判定定理的理解.得到滿足的三個條件缺一不可.

練習：

已知：空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點.求證：EF∥平面BCD.

師：要證明EF∥平面BCD，只需要證明什么就可以了呢？生：只需要證明EF和平面BCD內(nèi)的一條直線平行就可以了.師：依據(jù)是什么？生：線面平行的判定定理.師：能找到這條線了嗎？生：可以，線EF就是.師：為什么？生：因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，由中位線的性質(zhì)可得.師：要用上這個定理，還需要說明什么？生：要說明線EF是面外的線.師：能否把這個證明過程寫出來？生：可以.∵E，F(xiàn)為AB，AD的中點，∴EFっ鍮CD且EF∥BD，又BD濟鍮CD，故EF∥平面BCD.

點評 通過一問一答的形式激發(fā)學生加深對直線與平面平行的判定的初步認識，培養(yǎng)他們新知識的發(fā)現(xiàn)能力.

（四）圖式階段

通過前三個階段，學生對直線和平面平行有了一定的理解；本階段即讓學生知道本課主要學習內(nèi)容是什么，如何應用來解決實際問題，這節(jié)課我們學到了哪些知識.

應用：如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于面A′B′C′D′.

（1）要經(jīng)過面A′B′C′D′內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開，應該怎樣畫線？

（2）所畫的線和平面ABCD是什么位置關(guān)系？

解 略.

點評 本例題是一道實際生活應用題，通過本題可以讓學生體會到數(shù)學知識在實踐中的應用的優(yōu)越，達到培養(yǎng)學生數(shù)學知識的應用能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

（五）課堂小結(jié)，完善認知

本課有何收獲？學習了直線和平面平行的性質(zhì)定理由“線面平行”蕁跋呦咂叫小保判定定理是由“線線平行”蕁跋咼嫫叫小.

（六）教學反思

教師指導學生反思：我們本堂課主要學習了什么內(nèi)容？體現(xiàn)了數(shù)學的什么思想？運用直線與平面平行可以解決什么樣的實際問題？有什么收獲？

點評 通過師生共同反思，其目的是為了更好地促進新舊知識之間的聯(lián)系，使得新知識與學生頭腦中原有的舊知識建立邏輯性的穩(wěn)固聯(lián)系，從而形成新的認知結(jié)構(gòu).學生通過反思，不僅可以梳理在學習過程中對概念的理解程度，還可以評價自己在認知加工過程中所閃現(xiàn)出的思維火花.