心理表征指在兒童已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上將外部所感受到的各種信息以自己獨(dú)特的方式進(jìn)行組織，并逐步建構(gòu)出一定的意義和結(jié)構(gòu)。心理表征包括符號抽象建構(gòu)、概念的確立、視覺與空間圖式的形成等過程。

兒童在解決問題的過程中，從認(rèn)知的角度來看，實(shí)質(zhì)上是完成了兩個方面的轉(zhuǎn)化。第一個轉(zhuǎn)化是指從紛亂的實(shí)際問題中，收集、觀察、比較、篩選出有用的信息，從而抽象成數(shù)學(xué)問題。第二個轉(zhuǎn)化是根據(jù)已抽象出的數(shù)學(xué)問題，全面分析其中的數(shù)量關(guān)系，探索出解決問題的方法并求解，進(jìn)而在實(shí)踐中檢驗(yàn)，這兩個轉(zhuǎn)化相互聯(lián)系，缺一不可。在教學(xué)低段解決問題時，也要從兒童心理表征差異的視角出發(fā)，遵循這種思維規(guī)律，引導(dǎo)兒童思考逐步建立數(shù)學(xué)模型，找到解決問題的途徑。

一

低年級的解決問題的教學(xué)，從10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識開始讓兒童初步認(rèn)識抓“部分—整體”的關(guān)系和“合與分”的本質(zhì)；“同樣多、多、少”的概念教學(xué)；從學(xué)習(xí)“加減法的意義”開始，讓兒童學(xué)會抓住“合與分”的本質(zhì)；借助一圖二式和一圖四式進(jìn)一步理解“部分—整體”的關(guān)系和“合與分”的本質(zhì)。主要形式有：

1.圖表示的解決問題。第一冊中，解決問題大多是單用圖表示的。

2.圖文表示的解決問題。第二冊中，圖文表示的解決問題就比較多了，占了很大的比例。也就是說其中有一個條件是用文字表示的，還有一個條件是用圖表示的。

3.表格表示的解決問題。這是比圖文表示的解決問題表達(dá)得更加抽象的一種解決問題了。

4.文字?jǐn)⑹龅慕鉀Q問題。對兒童的要求比以前更進(jìn)了一步。也是今后解決問題出現(xiàn)的最主要形式。在實(shí)際的教學(xué)中，由于每個兒童的心理表征的差異，所以兒童在解決問題過程中也顯示出了不一樣的障礙和特征。

1.模糊遷移初始模式

【案例1】“丁丁看一本故事書，看了35頁，還剩20頁。這本故事書有多少頁？”，兒童不認(rèn)真分析題意及數(shù)量關(guān)系，見到“還?！边@個字眼，就用減法計(jì)算，故錯解為（35—20=）15（頁）。諸如還有見到“一共”用加法和“幾倍”用乘法等錯誤。

【思考】兒童在進(jìn)行實(shí)際的解決問題練習(xí)與數(shù)學(xué)化的過程并不完全匹配，兒童在解決問題的過程中，常常不在意或忽視現(xiàn)實(shí)信息。他們通常從題目描述中憑借自己的印象和所謂的經(jīng)驗(yàn)選擇一種運(yùn)算方式，選擇主要依據(jù)是題目中所呈現(xiàn)的表面信息，如關(guān)鍵詞和數(shù)字，或是先在大腦中搜索四種基本運(yùn)算的初始模式，然后判斷該題目中所描述的情境與哪一種相一致，之后將題目中的數(shù)字套入被激活的運(yùn)算形式中，執(zhí)行計(jì)算并得出結(jié)果。解決問題結(jié)束后兒童一般不再返回到問題情境中驗(yàn)證結(jié)果。

2.直接映射產(chǎn)生錯誤

【案例2】“素素有一些巧克力，雅雅給了素素2塊巧克力，現(xiàn)在素素有5塊巧克力。素素開始有多少塊巧克力？”3為它的數(shù)值答案，5—2為它的算式答案。結(jié)果發(fā)現(xiàn)讓兒童列出算式比直接報出答案困難，并且在提供算式答案時，出現(xiàn)了直接映射錯誤，例如對于上面的問題，這種解答的表現(xiàn)形式就是3+2=5。

【思考】這兩種現(xiàn)象都與兒童采用直接映射方法或準(zhǔn)方程方法解答問題和不能應(yīng)用加減法互補(bǔ)知識有關(guān)；通過分析口語報告，發(fā)現(xiàn)兒童提供的正確算式也并不是運(yùn)用加減法互補(bǔ)知識的結(jié)果。

3.認(rèn)知負(fù)荷超出限度

【案例3】小朋友拍球比賽，小華拍了30下，小明拍了65下，小紅拍了40下，請問：

【思考】在解決問題過程中，低段的兒童常常忘記了初始信息以及兩步計(jì)算應(yīng)用題時中間步驟的結(jié)果就會產(chǎn)生一些信息干擾，其中錯誤原因大多數(shù)是由于與問題有關(guān)的信息在記憶中產(chǎn)生衰退造成的。在解決問題情境表征中，非常重要的解決過程是在語音環(huán)路和視空間模板的參與下進(jìn)行的，對工作記憶容量較小的個體來說，由于在解決問題過程中所產(chǎn)生的認(rèn)知負(fù)荷超出了其記憶能力所能承受的最大限度，導(dǎo)致認(rèn)知資源不足，就不能對解決的問題進(jìn)行有效地加工和表征，從而影響解決問題的能力。

4.思維定勢解題失誤

例如“河里有26只鴨，比鵝多12只。河里有鵝多少只？”這是道逆向性敘述的解決問題，兒童解答困難。

【思考】由于課本中大多數(shù)題是順向敘述的題目，兒童解題時由于受到思維定勢影響，對逆向結(jié)構(gòu)題仍用順向結(jié)構(gòu)題的思維習(xí)慣進(jìn)行列式計(jì)算為（26+12=）38（只）而失誤。

思維定勢是指先前思維活動所形成的解決問題的方法成為了解決當(dāng)前問題的一種準(zhǔn)備狀態(tài)。人在解決一些常規(guī)問題時采用已經(jīng)掌握的解決同類事物的方法，能加速問題的解決。相反，人在解決一些新的問題時，采用一些已掌握的、熟悉的方法有時就會使問題解決出現(xiàn)困難。

二

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中簡單解決問題的學(xué)習(xí)，兒童認(rèn)識結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)的“序”是按以運(yùn)算關(guān)系為小整體的不斷地有序擴(kuò)展。因此兒童個體解題技能的水平發(fā)展也呈有“序”的發(fā)展，這是低年級解決問題教學(xué)的關(guān)鍵。依據(jù)個體對問題概念抽象概括水平和操作水平的不同而進(jìn)行分類。問題解決的水平反映了兒童內(nèi)部概念結(jié)構(gòu)的認(rèn)知形式和認(rèn)知水平，這種認(rèn)知形式不斷地促進(jìn)兒童組織自己解決問題的經(jīng)驗(yàn)，以對新情境中產(chǎn)生的新問題進(jìn)行理解和把握。

（一）結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)，貫穿解決問題過程

一般來說，解決問題活動包括三個概念結(jié)構(gòu)水平：再認(rèn)、再組織和結(jié)構(gòu)抽象化。而在解決問題過程中，數(shù)學(xué)問題本身結(jié)構(gòu)、兒童已有知識結(jié)構(gòu)和兒童原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，簡稱為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“三維結(jié)構(gòu)”，在教學(xué)中我們要合理把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三維結(jié)構(gòu)，并不斷優(yōu)化三個結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，科學(xué)達(dá)成三個概念結(jié)構(gòu)水平。

1.分析數(shù)學(xué)問題的本身結(jié)構(gòu)

“比多比少”的解決問題是小學(xué)低年級數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)之一，也是難點(diǎn)之一。這類解決問題教學(xué)，首先必須弄清誰與誰“比”。其次弄清誰是“比”的標(biāo)準(zhǔn)量。第三弄清標(biāo)準(zhǔn)量和非標(biāo)準(zhǔn)量誰大誰小。如：（1）有80個蘋果，橘子比蘋果多21個，有多少個橘子？（2）有80個蘋果，蘋果比橘子多21個，有多少個橘子？這兩道題都是求橘子的個數(shù)，都是蘋果和橘子“比”或橘子與蘋果“比”，但標(biāo)準(zhǔn)量不同。第（1）題中蘋果是標(biāo)準(zhǔn)量已知，大數(shù)是非標(biāo)準(zhǔn)量未知；第（2）題中橘子是標(biāo)準(zhǔn)量未知，大數(shù)是非標(biāo)準(zhǔn)量已知。所以，第（1）題用加法，第（2）題用減法。

解決問題本身有兩種結(jié)構(gòu)，一種是情節(jié)結(jié)構(gòu)：在一個場景中描繪一件事；另一種是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，主要是由條件和問題構(gòu)成。情節(jié)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是解決的問題中不可缺少的組成部分，對兩種結(jié)構(gòu)的理解和把握直接影響著問題解決者對問題的理解和難易程度的把握。解題者需要通過情節(jié)結(jié)構(gòu)理解題意，又需要通過分析數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)探尋解題途徑和策略。然而，在認(rèn)識和分析解決問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)過程中，又離不開兒童已有的知識結(jié)構(gòu)和頭腦中原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.剖析數(shù)學(xué)內(nèi)在的知識結(jié)構(gòu)

做好知識間的橫向聯(lián)系就是要求在教學(xué)中強(qiáng)化有關(guān)概念、四則運(yùn)算、文字題、解決問題之間的相互聯(lián)系教學(xué)。解決問題教學(xué)是隨著兒童對數(shù)的認(rèn)識不斷深化及四則運(yùn)算的擴(kuò)展而逐步加深的。

簡單應(yīng)用題與四則運(yùn)算意義聯(lián)系的方式大致有三種：

①從運(yùn)算意義聯(lián)系相接。與四則運(yùn)算意義直接聯(lián)系。即加減法中總數(shù)與部分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系應(yīng)用題。乘除法中相同加數(shù)、相同加數(shù)的個數(shù)以及總數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系屬于此類。如“草地上有8只羊，又來了3只，一共有多少只羊？”解答時只要把8和3兩部分合并加起來，就是羊的總只數(shù)。兒童易于理解。

②與運(yùn)算意義轉(zhuǎn)換相連。需要通過某些轉(zhuǎn)換才能與四則運(yùn)算的意義相聯(lián)系。如加減法中兩數(shù)相差關(guān)系的應(yīng)用題，乘除法中兩數(shù)的倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題則屬此類。如“有黃花5朵，紅花比黃花多3朵，紅花有多少朵？”解題時把5和3合并起來得紅花8朵。其中的5朵經(jīng)過了轉(zhuǎn)換。這類題兒童不易理解。

③與順逆結(jié)構(gòu)思維相關(guān)。逆向結(jié)構(gòu)題。與其相應(yīng)順向結(jié)構(gòu)題的數(shù)量關(guān)系沒有改變，解題時要換角度想：鴨比鵝多12只，就是鵝比鴨少12只。此類題難理解。

知識結(jié)構(gòu)是指兒童在學(xué)習(xí)過程中已經(jīng)掌握的基本概念、基本原理和基本方法。就是與解決問題有關(guān)的概念、原理、性質(zhì)、定律、法則和公式等。如兒童已掌握四則運(yùn)算意義，以及從“運(yùn)算意義”遷移到簡單解決問題的解題方法構(gòu)成了簡單解決問題的知識結(jié)構(gòu)。又如將復(fù)合解決問題分解成若干個連續(xù)性的簡單解決問題，加減乘除四種基本數(shù)量關(guān)系，能順利地解答各種簡單解決問題的技巧等，就構(gòu)成學(xué)習(xí)復(fù)合解決問題的知識結(jié)構(gòu)。

3.解析兒童已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

如低年級的解決問題教學(xué)，仔細(xì)分析，即抓住“合”與“分”的本質(zhì)，加法和乘法都是“合”，但也有區(qū)別，加法是不同數(shù)的合，乘法是相同數(shù)的合；減法和除法都是“分”，減法是從和中分出一部分求另一部分，除法是把和分成相同的數(shù)。抓住了以上本質(zhì)，出現(xiàn)解決問題后，聯(lián)系生活實(shí)際，讓兒童思考：是“分”還是“合”？“合”是哪種數(shù)的“合”？如果是“分”，又是怎樣的分，“合與分”與生活的聯(lián)系比較直接，兒童容易理解。

在兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)過感知、表象、記憶、抽象、推理、判斷、模型等一系列智力活動后會在兒童頭腦中形成一定邏輯結(jié)構(gòu)模式，即認(rèn)知模式的心理結(jié)構(gòu)。皮亞杰認(rèn)為：兒童每一次學(xué)習(xí)新知時，先是試圖用原有模式去同化，如果成功，就得到暫時平衡，如果不能用原有模式進(jìn)行同化，就必須進(jìn)行調(diào)整組合，做出順應(yīng)，達(dá)到新的平衡，實(shí)現(xiàn)由知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。

（二）整體視點(diǎn)，貫穿解決問題教學(xué)

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性很強(qiáng)、邏輯性非常嚴(yán)密的學(xué)科。各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識之間有著密切的相互聯(lián)系。在教學(xué)中，弄清各部分知識間的相互聯(lián)系，通過知識之間的滲透、補(bǔ)充和促進(jìn)，從整體上提高兒童解決問題的能力。

1.找準(zhǔn)內(nèi)容之間的橫向聯(lián)系

從低年級解決問題的結(jié)構(gòu)展開來看。低年級解決問題學(xué)習(xí)從數(shù)的認(rèn)識開始就滲透應(yīng)用題—在用圖畫表示應(yīng)用題，所求的問題用“？”來表示—圖畫應(yīng)用題其中的一個已知條件只注明數(shù)量，圖畫中不表示出來，初步孕伏應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)—有圖有文字的表格應(yīng)用題——出現(xiàn)一些圖畫應(yīng)用題—出現(xiàn)了用文字?jǐn)⑹龅膽?yīng)用題。

從貫穿六年的解決問題來說，需要應(yīng)用題與數(shù)的概念、計(jì)算密切配合。低年級解決問題從加減法初步認(rèn)識到各數(shù)的認(rèn)識是準(zhǔn)備階段，出現(xiàn)用圖畫表示的應(yīng)用題，從兒童熟悉事物出發(fā)，老師用語言表述應(yīng)用題。根據(jù)插圖編擬口述應(yīng)用題，讓兒童數(shù)一數(shù)、說一說，滲透應(yīng)用題的思想；然后從加和減開始是過渡階段，在出現(xiàn)用文字?jǐn)⑹鰬?yīng)用題之前，兒童已接觸過較多口述應(yīng)用題和有圖有文字?jǐn)⑹霰砀袷綉?yīng)用題，已逐漸熟悉應(yīng)用題結(jié)構(gòu)，隨著識字量的增加，就能較容易解答用文字?jǐn)⑹鰬?yīng)用題。以后每出現(xiàn)一個新概念，計(jì)算與應(yīng)用題立即跟上，使應(yīng)用題與概念、計(jì)算同時起步，密切配合，促進(jìn)兒童的解題能力。

2.理清知識之間的縱向銜接

從小學(xué)階段學(xué)習(xí)的簡單應(yīng)用題來看，可以分成四大類：1、總數(shù)與部分?jǐn)?shù)的關(guān)系。2、大數(shù)、小數(shù)與相差數(shù)的關(guān)系。3、一倍數(shù)、幾倍數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系。4、總數(shù)、份數(shù)與每份數(shù)的關(guān)系。從具體內(nèi)容來看有11種：⑴求總數(shù)。⑵求剩余。⑶求相同的數(shù)的和。⑷平均除。⑸包含除。⑹兩數(shù)的相差數(shù)。⑺大數(shù)比小數(shù)多多少。⑻小數(shù)比大數(shù)少多少。⑼一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍。⑽求一個數(shù)的幾倍是多少。⑾己知一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾，求這個數(shù)。

按基本數(shù)量關(guān)系歸類，將有聯(lián)系的、易混的、互逆的應(yīng)用題一組一組地出現(xiàn)，交錯對比，辨別異同，促進(jìn)知識的系統(tǒng)化，培養(yǎng)思維的可逆性。世界上的事物有其相同點(diǎn)和差異性，根據(jù)“質(zhì)的規(guī)定性”，可把它們歸入相應(yīng)的類別，揭示知識的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，同時做好知識的縱向銜接。由于小學(xué)解決問題教學(xué)是隨著兒童對數(shù)的認(rèn)識的不斷深入和計(jì)算的不斷擴(kuò)展而分散于各冊教材之中的。容易忽視教學(xué)的系統(tǒng)性，教學(xué)的不連貫，在教學(xué)中應(yīng)注意做好知識間的銜接和遷移，使之前有鋪墊，后有發(fā)展。

3.架起策略之間的立體建構(gòu)

兒童的認(rèn)知規(guī)律一般是：動作、感知→表象→概念→概念系統(tǒng)（系統(tǒng)知識）。兒童認(rèn)知發(fā)展的第一階段主要是靠感覺和動作探索周圍世界。在教學(xué)過程中，注意把文本中沒有反映出來的過程還原出來，使兒童看到教材完整的知識體系和內(nèi)在的聯(lián)系，從而更好地構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（1）結(jié)構(gòu)化

媽媽帶100元錢，帶小明去商場買一套衣服，在你看中的上衣和褲子下面打上★，再算一算你應(yīng)付給營業(yè)員多少元錢？

在兒童審題的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)兒童初步分析題目中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行必要的問題模型的建立，通過討論確定解題方案，運(yùn)用數(shù)量關(guān)系的基本模型去分析、解釋、拓展、應(yīng)用，這是解決問題的核心部分。在此過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生對審題時輸入頭腦中的表象進(jìn)行分析，抽取有效條件，抽象出基本模型，在觀察、分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象概括，達(dá)到內(nèi)化，掌握其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)結(jié)、轉(zhuǎn)換、組合，順應(yīng)產(chǎn)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師要逐步讓兒童掌握分析、綜合、比較、抽象、概括、推理等基本思想方法。

（2）數(shù)學(xué)化

明明今天上午做了8架紙飛機(jī)，下午做了9架紙飛機(jī)，明明今天一共做了多少架紙飛機(jī)？可先讓兒童擺小棒：第一次擺8根，第二次擺9根。思考“明明今天上下午一共做的紙飛機(jī)是由哪幾個部分組成的？求明明今天一共做了多少架紙飛機(jī)就是要怎么樣？8和9加起來組成幾？怎樣計(jì)算？”

對于這樣的用加法計(jì)算的實(shí)際問題，兒童很容易從已有的數(shù)的組成思考，可以借助兒童已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，并通過必要的抽象、推理，遷移到用加法解答。在此過程中，讓兒童明白，要解決的問題一般是由兩個條件和一個問題組成的，把兩個數(shù)合并成一個數(shù)用加法計(jì)算，而用加法計(jì)算的基礎(chǔ)就是數(shù)的組成與分解。這樣，通過不斷的數(shù)學(xué)化，新的知識就比較容易地納入原有的知識結(jié)構(gòu)。

（3）符號化

小朋友排隊(duì)做操，從左往右數(shù)，方方排第四個，從右往左數(shù)，方方排在第六個，方方前面有幾個人？一共有幾個人？（你可以畫一畫、數(shù)一數(shù)，也可以想一想，寫一寫）。孩子們采用的方式：

解決問題過程同樣要培養(yǎng)兒童善于感知理解所要解決的問題，要求兒童認(rèn)真審題，對于不能直接提取數(shù)學(xué)模型的問題，解題時可以用線段圖示法、表格法、連線列舉法、集合法等，來分析理解題目中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，從而在頭腦中形成問題表象，對題目的整體結(jié)構(gòu)有一個初步的認(rèn)識。對于情節(jié)比較復(fù)雜、數(shù)量關(guān)系不輕易看出的問題，可通過實(shí)物或?qū)W具演示、畫圖、描述等符號化的方法，讓兒童反復(fù)地感知，準(zhǔn)確地理解題意，識別其結(jié)構(gòu)特征，形成清晰表象。

（4）模型化

根據(jù)乘法口訣“三四一十二”，可得出3×4=12，12÷4=3和12÷3=4三個算式。根據(jù)速度、時間、路程之間的關(guān)系，可得出以下三個數(shù)量關(guān)系式：速度×?xí)r間=路程，路程÷時間=速度，路程÷速度=時間。

對于逆向敘述的文字題或解決問題，如“4和幾相乘得28？”“一條路修了8千米，還剩4千米，這條路共長多少千米？”引導(dǎo)兒童先列出算式：“4×（ ）=28”和“（ ）—8=4（千米）”。然后再讓兒童根據(jù)算式中的四則運(yùn)算關(guān)系進(jìn)行解答，為今后列方程解決問題打下基礎(chǔ)。

抓好式題、文字題的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，加強(qiáng)概念、計(jì)算、解決問題之間的聯(lián)系。在指導(dǎo)兒童解答解決問題時，先從描述解決問題的具體情節(jié)中抽象出數(shù)量關(guān)系，用文字題的形式表述出來，再根據(jù)四則運(yùn)算的意義確定算法，列式計(jì)算。為了使算術(shù)解法與代數(shù)解法有機(jī)地聯(lián)系起來，從低年級填括號練習(xí)起，到根據(jù)一個數(shù)量關(guān)系式推出另外兩個關(guān)系式的練習(xí)，都應(yīng)注意加強(qiáng)加減、乘除互逆關(guān)系的訓(xùn)練。創(chuàng)設(shè)情境培養(yǎng)兒童分析數(shù)量關(guān)系的能力，兒童學(xué)會了分析數(shù)量關(guān)系，遇到各種類型的解決問題都會在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行解答，這樣會逐步地提高解決問題的能力。

總之，根據(jù)兒童的發(fā)展規(guī)律，兒童的思維是從表象到抽象的，數(shù)學(xué)解決問題心理表征的研究可幫助人們更加清晰地了解小學(xué)兒童表征數(shù)學(xué)問題的特點(diǎn)及內(nèi)在機(jī)制，掌握小學(xué)兒童數(shù)學(xué)思維變化的規(guī)律。通過心理表征方面的研究尋找解決問題教學(xué)中的突破點(diǎn)，在今后的教學(xué)中應(yīng)以兒童的心理特點(diǎn)為基礎(chǔ)，采用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式、教學(xué)材料和教學(xué)安排，通過適度的教育促進(jìn)兒童的身心發(fā)展。

（莊惠芬，常州市武進(jìn)區(qū)湖塘橋中心小學(xué)，213161）