高冶

摘要：在介紹GPS水準(zhǔn)原理的基礎(chǔ)上，論述了GPS測線高程擬合的兩種方法，即：三次樣條函數(shù)擬合及最小二乘曲線擬合，并根據(jù)實(shí)測資料應(yīng)用這兩種方法分別進(jìn)行了計(jì)算分析，結(jié)果表明最小二乘曲線和三次樣條曲線擬合方法轉(zhuǎn)換GPS高程的可行性和可靠性。

關(guān)鍵詞：GPS水準(zhǔn) GPS測線 三次樣條函數(shù) 最小二乘曲線擬合

中圖分類號：P2 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2012）10（b）-0024-02

GPS測量技術(shù)的出現(xiàn)引起了測繪界一次新技術(shù)的革命，由于GPS測量具有高精度、全球性、全天候等特點(diǎn)，因此已被廣泛應(yīng)用到國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的各個(gè)領(lǐng)域。GPS的平面定位精度目前已達(dá)到毫米級，可以滿足工程建設(shè)中對平面位置的精度要求；GPS的高程精度對于20km以內(nèi)的短基線向量，其高程分量的精度亦可以達(dá)到毫米級，但GPS測高數(shù)據(jù)卻沒有像GPS平面成果那樣被廣泛應(yīng)用，這主要是因?yàn)镚PS測量系統(tǒng)的測高數(shù)據(jù)為相對于橢球表面的大地高，而在工程測量中，地面點(diǎn)的高程通常采取的是相對于似大地水準(zhǔn)面的正常高或者是相對于大地水準(zhǔn)面的正高，所以GPS高程只有經(jīng)過高精度的高程異常改正才能應(yīng)用于工程測量中。

1 GPS水準(zhǔn)的原理

1.1高程系統(tǒng)

（1）通過參考橢球面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng)的為大地高。橢球面為基準(zhǔn)面的大地高就是通過地面抹點(diǎn)的大地高（H）給定義為由地面點(diǎn)沿著改點(diǎn)通過的橢球法線到橢球面的距離。（2）通過大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng)的為正高。地面某點(diǎn)的正高（Hg）定義為由地面沿鉛垂線至大地水準(zhǔn)面的距離。

大地水準(zhǔn)面至橢球面的距離為大地水準(zhǔn)面差距（N）：

（1）

（3）正常高是以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng)。地面某點(diǎn)的正常高（Hr）定義為由地面點(diǎn)至似大地水準(zhǔn)面的距離。

似大地水準(zhǔn)面與橢球面之間的差距稱為高程異常（）：

（2）

三個(gè)高程系統(tǒng)的關(guān)系如圖1所示。

1.2GPS水準(zhǔn)的基本原理

實(shí)際應(yīng)用中的地面點(diǎn)高程是以似大地水準(zhǔn)面為起算面的正常高，而GPS高程是以WGS-84橢球面為基準(zhǔn)的大地高。由前所述已知兩者之間相差為高程異常，如（2）式。顯然，如果知道了各GPS點(diǎn)的高程異常，則可由各GPS點(diǎn)的大地高按（2）式反求得各點(diǎn)的正常高。

GPS水準(zhǔn)就是在已獲得大地高的GPS點(diǎn)上同時(shí)施測少量的幾何水準(zhǔn)點(diǎn)（稱這些點(diǎn)為已知點(diǎn)），按（2）式求出已知點(diǎn)的高程異常值，再根據(jù)已知點(diǎn)的平面坐標(biāo)和所求出的高程異常值，采用數(shù)學(xué)擬合計(jì)算的方法，擬合出測區(qū)內(nèi)的似大地水準(zhǔn)面，從而據(jù)此解算出其它GPS點(diǎn)（稱這些點(diǎn)為待定點(diǎn)）的高程異常值，最后按（2）式反求出待定點(diǎn)的正常高。對于線性帶狀工程，各GPS高程點(diǎn)的位置往往近似處于一條直線上，當(dāng)各點(diǎn)位于同一直線上時(shí)，不能建立平面、曲面等面狀擬合模型，而當(dāng)近似于直線時(shí)，其面狀擬合模型具有較大的不穩(wěn)定性，即當(dāng)某點(diǎn)位置或高程有一些微小的變化時(shí)，擬合的結(jié)果極不穩(wěn)定。線性模型只顧及了縱向高程異常的變化而沒有考慮橫向的變化，對帶狀區(qū)域其擬合高程比面狀模型穩(wěn)定，適用于線性帶狀工程的GPS高程擬合。

針對線性帶狀工程的特點(diǎn)，我們采用解析內(nèi)插法來進(jìn)行GPS高程的轉(zhuǎn)換。本文主要論述多項(xiàng)式曲線擬合法和三次樣條曲線擬合法。多項(xiàng)式曲線擬合法是用多項(xiàng)式曲線（最小二乘曲線）來擬合線性帶狀區(qū)域的高程異常模型，并根據(jù)最小二乘原理來解算最優(yōu)解的轉(zhuǎn)換GPS高程方法。三次樣條曲線的樣條函數(shù)是一種連續(xù)和平滑的組合函數(shù)，由三次多項(xiàng)式構(gòu)成，用來對高程異常值進(jìn)行擬合。下面主要討論用解析內(nèi)插法進(jìn)行線性帶狀區(qū)域的GPS高程轉(zhuǎn)換的基本原理和方法。

2 GPS測線高程擬合的方法

2.1三次樣條函數(shù)：

計(jì)算時(shí)，邊界條件取自然邊界條件，即y0″=yn″=0

2.2最小二乘曲線擬合

多項(xiàng)式曲線逼近（曲線擬合的最小二乘法）的一般原理是：設(shè)測點(diǎn)的和（或擬合坐標(biāo)）存在如下函數(shù)關(guān)系：

（3）

根據(jù)最小二乘原理，使節(jié)點(diǎn)處的殘差平方和為最小的條件下解出式（3）中的各系數(shù)，即可按式（3）求出測線方向（或方向線左右）任一點(diǎn)的高程異程值。

基本算法如下：

設(shè)已知n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，建立（m-1）次最小二乘擬合多項(xiàng)式：

其中≤且≤10。

設(shè)擬合多項(xiàng)式為各正交多項(xiàng)式的線性組合：

其中可以用以下遞推公式來構(gòu)造：

若設(shè)：

則：

可以證明，由上述遞推構(gòu)造的多項(xiàng)式函數(shù)組

是互相正交的。根據(jù)最小二乘原理，可得

最后可以化成一般的m-1次多項(xiàng)式：

3 工程計(jì)算實(shí)例

測區(qū)內(nèi)的GPS測線共有10個(gè)GPS點(diǎn)，平差后其平面點(diǎn)位誤差均值為1.55cm，且各點(diǎn)均實(shí)測四等水準(zhǔn)。

在計(jì)算時(shí)，首先把GPS測線上的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使GPS測線方向與y坐標(biāo)軸大致相同，然后以測線兩端及中間的4個(gè)點(diǎn)為已知點(diǎn)，用各點(diǎn)的y坐標(biāo)值代入三次樣條函數(shù)、最小二乘曲線擬合的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，求出6個(gè)待定點(diǎn)的高程異常及殘差如表1所示。

從表中可看出，各點(diǎn)的擬合殘差均在5cm以內(nèi)，而且兩種擬合方法的擬合中誤差，分別為2.92cm及3.02cm。

4 結(jié)語

由計(jì)算結(jié)果可知采用三次樣條函數(shù)和最小二乘曲線擬合求出的GPS測線的高程異常值均較小，可以滿足工程的實(shí)際需要。三次樣條函數(shù)的擬合結(jié)果僅略優(yōu)于最小二乘曲線擬合的結(jié)果，但二者相差不多，這主要是因?yàn)闇y區(qū)的測線較短且高程異常值變化不大的緣故。然而當(dāng)測線較長，已知點(diǎn)多，高程異常值變化大的時(shí)候，按最小二乘曲線擬合解求的系數(shù)誤差會增大，擬合的高程異常值的誤差有可能增大。如果進(jìn)行整體擬合，精度較低，若分段擬合計(jì)算，則分段點(diǎn)上將不連續(xù)，也影響擬合精度，為此，采用三次樣條曲線擬合的結(jié)果將會優(yōu)于最小二乘曲線擬合的結(jié)果。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳俊勇.我國GPS水準(zhǔn)網(wǎng)的布設(shè)及其精度的探討[J].測繪學(xué)報(bào)，1993，22（2）：1-4.

[2] 徐紹銓.擬合法求定GPS點(diǎn)的正常高[J].武測科技，1992（2）：12-18.