李德橋

旋轉(zhuǎn)變換是幾何圖形三大變換之一,旋轉(zhuǎn)法是通過旋轉(zhuǎn)變換,使旋轉(zhuǎn)后的圖形與原來圖形建立起某些聯(lián)系,即通過圖形變換,把條件不明的量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為明顯的量的關(guān)系,由此溝通已知與未知,以利于探索出解題途徑的思想方法.在中考中,可以利用這種變換,打破常規(guī)解題的思維局限,大膽構(gòu)想,大手筆運(yùn)用圖形,使問題得以轉(zhuǎn)化.在幾何問題中,巧妙地運(yùn)用旋轉(zhuǎn)法解題,有時(shí)可以起到四兩撥千斤的作用.以下幾例就是巧用旋轉(zhuǎn)法來求解的題型.

一、運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換化歸求面積

求不規(guī)則圖形面積往往需要轉(zhuǎn)化思想,根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu),利用旋轉(zhuǎn)變換把分散的、不規(guī)則的陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為集中的、規(guī)則圖形的面積,從而使問題得以解決.

例1:如圖1,菱形ABCD的對(duì)角線的長分別為2和5,P是對(duì)角線AC上任一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合),且PE∥BC交AB于點(diǎn)E,PF∥CD交AD于點(diǎn)F,則陰影部分的面積是.

圖1圖2

分析:由PE∥BC,PF∥CD可知四邊形AEPF是平行四邊形,則△POF和△AOE關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱,

∴△POF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°之后與△AOE重合.

這樣陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為△ABC的面積了(如圖2),

S■=S■=■S■=■×■×AC·BD=■×■×2×5=■.

例2:如圖3,在Rt△ABC中,E為斜邊AB上一點(diǎn),AE=2,EB=1,四邊形DEFC為正方形,則陰影部分的面積為.

圖3 圖4

分析:∵四邊形CDEF是正方形,∴點(diǎn)D可以看成是點(diǎn)F繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°所得,若點(diǎn)B也繞著點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′(如圖4),則Rt△EDB′≌Rt△EFB,故所求陰影部分的面積即為Rt△AEB′的面積.

∴S■=S■=■AE·B′E=■AE·BE=■×2×1=1.

本題抓住EF與ED共點(diǎn)等長的特征,把三角形EBF旋轉(zhuǎn)到三角形EB′D的位置,從而把分散的陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為一個(gè)直角三角形的面積,非常巧妙地簡化了計(jì)算.

二、利用旋轉(zhuǎn)變換求角度

例3:如圖5,P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度數(shù).

圖5

分析:考慮到以3,4,5為邊的三角形是直角三角形,故設(shè)法構(gòu)造以3,4,5為三邊的三角形.由于3,4,5比較分散,因此把它們集中成為某個(gè)三角形的邊是問題解決的關(guān)鍵.

∵△ABC是等邊三角形,利用旋轉(zhuǎn)變換是最好的手段之一,∴可將△ABP繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△ACQ,連接PQ.

∵△ABP≌△ACQ,

∴AQ=AP=3,CQ=BP=4,∠CAQ=∠BAP,∠AQC=∠APB,

∴∠PAQ=∠BAC=60°,∴△APQ是等邊三角形,∴∠AQP=60°,PQ=AP=3.

在△PQC中,PQ■+QC■=3■+4■=25=5■=PC■,

∴∠PQC=90°,

∴∠APB=∠AQC=∠AQP+∠PQC=60°+90°=150°.

例4:如圖6,正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)M、N分別在BC、CD上,使得△CMN的周長是2,求∠MAN的大小.

圖6

分析:∵四邊形ABCD是正方形,

∴將Rt△AND繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ABL,

則Rt△ABL≌Rt△ADN,

∴DN=BL,AN=AL,∠1=∠2,

∴∠NAL=∠DAB=90°.

又MN=2-CN-CM=(1-CN)+(1-CM)=DN+BM=BL+BM=ML,且AM=AM,

∴△MAN≌△MAL.

∴∠NAM=∠MAL=90°÷2=45°.

三、運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換求線段的長度

例5:如圖7,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠C=90°,AE⊥BC于點(diǎn)E,四邊形ABCD的面積為16,求CE的長.

圖7

分析:由于圖中四邊形是任意四邊形,利用面積無法直接求出CE的長.但是,題中有條件AB=AD,且∠BAD=90°,所以如果把△ABE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,則可以得到四邊形AECE′,

根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理:∠ADC+∠B=360°-90°-90°=180°,

∴∠ADC+∠ADE′=∠ADC+∠B=180°,∴C、D、E′三點(diǎn)共線.

由∠C=∠CEA=∠E′=90°,AE′=AE,易證四邊形AECE′是正方形.∴S■=S■=16,∴CE=4.

注:本題是將一個(gè)不規(guī)則的四邊形通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為正方形,由于面積沒有改變,從而使問題得以解決.

例6:如圖8,四邊形ABCD中,∠BAD=60°,∠BCD=30°,AB=AD,BC=12,CD=9,求AC的長.

圖8

分析:∵AB=AD,∠BAD=60°,

∴可將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,

得到△ADE,連接CE.

則∠4=∠5,∠CAE=∠BAD=60°,AE=AC,DE=BC=12,

∴△ACE是等邊三角形,

∴AC=CE.

∵∠CDE=∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠2+∠3+∠5=∠CAE+∠BCD=60°+30°=90°,

∴△CDE是直角三角形.

又DE=12,CD=9,

∴AC=CE=■=■=15.

注:本題是抓住AB和AD共點(diǎn)等長的特征,通過旋轉(zhuǎn)三角形ABC構(gòu)造出正三角形ACE解決問題.

四、比較線段的大小關(guān)系

例7:如圖9,AD為△ABC中BC邊上的中線,試比較AB+AC與2AD的大小關(guān)系.

圖9

分析:構(gòu)造2AD是解決本題的關(guān)鍵.

∵AD為BC邊上的中線,

∴DC=BD,

∴可將△ADC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到△EDB,

則DE=AD,BE=AC,

∴AE=2AD.

∵在△ABE中,AB+BE>AE,

∴AB+AC>2AD.

例8:如圖10,點(diǎn)D是等腰直角△ABC斜邊上任意一點(diǎn),比較AD■+BD■與2CD■的大小關(guān)系.

圖10

分析:由線段的平方我們雖然想到了勾股定理,而運(yùn)用勾股定理卻需要直角三角形作為條件,因此構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.

∵AC=BC,∠ACB=90°,

∴可將△ACD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,

得到△CBE.

則BE=AD,CE=CD,∠DCE=∠ACB=90°,

∠CBE=∠A=∠CBA=45°,∴∠DBE=90°,

連接DE,則由勾股定理,得BE■+BD■=DE■,又CE=CD,∠DCE=90°,∴DE■=CD■+CE■=2CD■,

∴BE■+BD■=2CD■,

∴AD■+BD■=2CD■.

旋轉(zhuǎn)變換在幾何中的妙用實(shí)例不勝枚舉,尤其是當(dāng)圖形中出現(xiàn)“共點(diǎn)等長”的線段時(shí),一般可采用旋轉(zhuǎn)變換把已知條件中較為分散的條件集中到一個(gè)圖形中去,從而使問題得以解決.旋轉(zhuǎn)法解題是解幾何題常用重要解題方法之一,等邊三角形、正方形、等腰直角三角形的特殊性質(zhì),為運(yùn)用旋轉(zhuǎn)法解題提供了廣闊的天地.