郭妞萍

摘要: 本文對(duì)一道不定積分的多種求解方法進(jìn)行了探討.從多種角度,運(yùn)用不同的基本方法來(lái)求解同一道題,對(duì)于豐富初學(xué)者的解題經(jīng)驗(yàn)十分重要.希望本文能對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維及發(fā)散思維的培養(yǎng)有所幫助,從而提高學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的興趣和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞: 不定積分創(chuàng)新思維發(fā)散思維一題多解

求解不定積分的方法有公式法,換元法,分部積分法,倒代換,等等,方法多,靈活性強(qiáng).在同濟(jì)大學(xué)的《高等數(shù)學(xué)》中,有這樣一道不定積分試題I=?蘩■dx,現(xiàn)給出此題的多種解法,方便讀者體會(huì)各種不同積分方法的優(yōu)點(diǎn)和思維過(guò)程.對(duì)同一例題,如果從不同的角度去分析,采用不同的處理方法,則可得到不同的解法,通過(guò)比較,可以選擇最優(yōu)的解法,這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力有極大的好處.

解法1:簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)積分方法

I=?蘩■dx

令■=t,則x=■,dx=-■dt,因此

I=?蘩■=?蘩-■dt=-■t+C=-■■+C

解法2:簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)積分方法

I=?蘩■dx

令■=t,則■=t■,3t■dt=-■dx,因此

I=-■?蘩■dx=-■?蘩■·■dx=-■?蘩■=-■t+C=-■■+C

解法3:第一類(lèi)換元方法(巧妙利用(■)′=-■)

I=?蘩■dx=?蘩■dx

=-■?蘩■dx=-■?蘩■d(■)

=-■■+C

解法4:第一類(lèi)換元法

I=?蘩■dx=-?蘩■=-■?蘩■d(■+1)=-■■+C

解法5:第二類(lèi)換元方法

令x-1=t,dx=dt,則

I=?蘩■=?蘩■=?蘩■

=-■?蘩■=-■■+C=-■■+C

解法6:第二類(lèi)換元方法

令x+1=t,dx=dt,則

I=?蘩■=?蘩■=?蘩■=■?蘩■=-■■+C=-■■+C

解法7:倒代換

令x-1=■,dx=-■dt,則

I=?蘩■=?蘩■=-■?蘩■=-■■+C=-■■+C

解法8:倒代換

令x+1=■,dx=-■dt,則

I=?蘩■=?蘩■=?蘩■

=■?蘩■

=-■■+C=-■■+C

以上求解方法說(shuō)明,求不定積分不必拘泥于單一的方法,可根據(jù)實(shí)際情況選擇最佳的積分方法,達(dá)到最好的計(jì)算效果.一題多解體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的靈活性和實(shí)用性,有利于提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn):

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2002:182-222.

[2]李治飛,陳清江.一道積分不等式的多種證法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2011,14(1):53-55.