潘麗麗

摘 要 數(shù)學是一門嚴謹性和科學性相結合的學科，在數(shù)學的學習及解題過程中，學生做錯題是一個普遍現(xiàn)象，“錯題教學”成為常態(tài)教學的重要組成部分。本文結合多年的中學數(shù)學教學實踐，從界定錯題教學內(nèi)涵入手，通過實例分類剖析中學數(shù)學教學中的常見錯題，引導學生學會自主探究錯題，并根據(jù)學生具體學習情況制訂針對性的教學策略。

關鍵詞 “錯題教學” 歸因 探究錯題 教學策略

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

Explore Math "Wrong Question Teaching",

Creatt Interactive and Efficient Classroom

PAN Lili

(Hangzhou Caihe Middle School, Hangzhou, Zhejiang 310012)

Abstract Mathematics is a combination of rigorous and scientific disciplines, in mathematics learning and problem-solving process, students' wrong question is a universal phenomenon, "wrong question teaching" has become an important part of the normal teaching. In this article combined with years of secondary school mathematics teaching practice, define the wrong question to teaching connotation, through a common mistake in the title in the instance of the classification analysis of secondary school mathematics teaching, guide students to learn independently to explore the wrong title, and develop targeted instructional strategies based on students' specific learning .

Key words "wrong question teaching"; cause; explore wrong question; teaching strategy

在中學數(shù)學日常教學中，不論是平時的作業(yè)，還是測驗，乃至中考中，總會有些題型反復強調(diào)和練習，但學生仍然解錯，筆者曾一度對這個問題產(chǎn)生了困惑，并開始思考如何更好緩解這個矛盾。經(jīng)過深刻反思，筆者發(fā)現(xiàn)問題的根源在于：很多學生做習題很少進行認真仔細的反思，為做題而做題，做錯時只就題改題，不能對知識和方法進行歸納；同時多種因素導致教師過多的關注知識和錯誤本身，而忽視反思錯誤產(chǎn)生的根源。

美國心理學家桑代克說過：“學習的過程，是一種漸進的嘗試錯誤的過程?！笨梢哉f，沒有錯誤就沒有真正意義上的學習。利用和研究學生錯誤，反思自身教學，拓展師生共同成長的空間，是新課程改革背景下教師促進學生學習，順利完成教學目標的必由之路。因此，筆者提出，通過探究“錯題教學”，努力創(chuàng)設互動高效課堂。

1 “錯題”教學的內(nèi)涵

筆者認為，“錯題教學”不僅僅是訂正作業(yè)、試卷或者建立錯題本，而是在教學中，充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用，充分利用教學機智去發(fā)現(xiàn)學生在課堂、作業(yè)、試卷中出現(xiàn)的錯題，并對其歸納整理；通過展示錯題，引導學生自探究錯題；再由教師講評錯題，包括解題方法和數(shù)學思想，從而使學生糾正錯誤并獲得進一步理解；最后，教師指導學生進行變式訓練，使得學生能鞏固知識。因此，“錯題教學”就是把知識、過程、情感目標三者有機統(tǒng)一起來，把講評與針對性練習有機統(tǒng)一起來，是提高數(shù)學教學有效性的一條重要途徑?！板e題教學”可以是教授新課時的一個片斷，或者是一次作業(yè)后的講評，也可以是完整的一堂糾錯課。

2 錯題的歸因分類

多數(shù)學生面對錯題時缺乏反思意識和反思能力，總結做錯的原因幾乎都是“粗心”、“理解錯了”、“審題不仔細”等；對于學生“一錯再錯”的現(xiàn)象，教師也不能簡單歸咎于學生粗心或不認真。所以教師有必要記錄和積累學生學習過程中產(chǎn)生的錯題，正確評價學生反復發(fā)生的錯誤，多角度探究錯題的成因，從而采取更有效和更具針對性的教學策略。由于錯誤原因的多樣化，使得劃分錯誤的標準多元化，且收集的錯誤也未必覆蓋全部內(nèi)容，因此筆者在此只是做一個大致的劃分。

2.1 知識型錯題

這類錯題產(chǎn)生的主要原因是學生對概念理解不準確，或者沒有深刻理解概念的內(nèi)涵和外延；忽視了數(shù)學中的公式、性質(zhì)或定理的前提條件或者限制條件；不能充分挖掘題中隱含條件等等。

題1：下列方程是一元二次方程的是（ ）

A. += 1 B.

C. = 0 D. = 0

錯解：C

錯因：一元二次方程滿足三個條件：整式方程、一個未知數(shù)、最高次為2次。該錯誤屬于沒有把握概念的內(nèi)涵。學生判斷A、B均含有分母，不是整式，D顯然不是，故選C。錯誤原因還包涵對分式的概念以及二次根式的理解不到位。

題2：已知：如圖1，AB = AD，∠B =∠D。說明：BC = CD。

錯解：證明：連接AC

∵AB=AD，AC = AC，∠B =∠D

∴ ABCACD ∴BC = CD。

錯因：證明三角形全等的定理之一是“邊角邊”定理，如果兩個三角形出現(xiàn)兩邊和一角對應相等，則該角必須是兩邊的夾角才可證明全等。此處對于該定理的使用條件未能把握，導致出錯。

題3：關于的一元二次方程 = 0有實數(shù)根，則k的取值范圍是_________。

錯解：≥ -

錯因：未能挖掘題目中的隱含條件——一元二次方程，故還要滿足二次項系數(shù)≠0。

圖 1圖2

2.2 能力型錯題

分析能力的培養(yǎng)是“全面思考，系統(tǒng)整合”的加工過程。許多學生由于分析能力的欠缺，在解題中常常不能把多個信息進行整合，思路不夠開闊和流暢。

題4：如圖2，已知函數(shù) = 和 = （為負數(shù)）的圖象交點為，且的橫坐標為1，則不等式＞的解集為______。

錯解：＞

錯因：該題沒能利用數(shù)形結合思想，通過觀察圖形進一步挖掘已知條件，從而直接寫出正解。體現(xiàn)了思維的單一性和盲從性。

題5：等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則頂角度數(shù)為________ 。

錯解： 30啊?

錯因：在解決與等腰三角形有關的問題時，要注意數(shù)學的分類討論思想，培養(yǎng)思維的嚴謹性。上題只考慮到腰上的高線在三角形的內(nèi)部是產(chǎn)生錯解的原因。事實上，對于本題腰上的高線還可能在三角形的外部，應分兩種情況進行求解。

題6：定義[ ]為二次函數(shù)的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為 [] 的函數(shù)的一些結論：① 當 = -3時，函數(shù)圖象的頂點坐標是( 1/3 ，8/3 )；

② 當＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于3/2；

③ 當＜0時，函數(shù)在＞1/4時，隨的增大而減??；

④ 當m≠0時，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個點。其中正確的結論有（ ）

A. ①②③④B. ①②④ C. ①③④D. ②④

錯因：本題給出一個“定義”，只有學生充分理解并消化，才能對題中結論加以轉化，從而做出判斷，需要較強的審題能力以及思維的整合能力。相當一部分學生未能分析題意導致無從下手，從而錯誤率較高。

2.3 心理型錯題

還有一類錯題普遍存在：一些涉及知識點不難、思維要求不高的試題，常有較多學生(甚至有的是優(yōu)等生)解錯。許多情況下，都與某種心理因素有關，主要有以下幾種心理偏差：思維定勢、情景性迷惑、行進性遺忘等等。

題7：某廠1月份生產(chǎn)零件2萬個，第一季度共生產(chǎn)零件9.5萬個，若每月的增長率相同，求每月的平均增長率．

錯解：設每月的平均增長率為， = 9.5

錯因：上述解法是解變化率問題的基本模式，導致一見到該類問題就思維定勢，套用模式，從而忽視了審題。

題8：解方程： = 3

錯解： = 3

錯因：本題在方程設置上就具有一定誘惑性，使學生產(chǎn)生麻痹性，從而失根致錯。

題9：如果方程（ ++ 1）（） = 4，那么 += _________。

錯解：-2或3

錯因：用換元法解得 + 的值為-2或3，學生在解出方程后已經(jīng)忘記所求，故產(chǎn)生錯誤。此類錯誤令人遺憾。

布魯納說：“學生的錯誤都是有價值的”。教師要在教學的過程中注意建立錯題資源庫，根據(jù)不同的學生產(chǎn)生的錯誤不斷豐富資源庫，并要巧妙、合理的處理好“錯誤”資源，能夠在學生錯誤產(chǎn)生前、產(chǎn)生時或產(chǎn)生后審時度勢、因勢利導，選用相關策略予以引領，可以使“錯題”增值，課堂高效，不斷提高學生的學習能力，同時促進自身的專業(yè)成長。

3 “錯題”教學的基本環(huán)節(jié)和策略

錯題教學中應突出學生的主體地位和教師的主導地位。教師發(fā)揮主導作用，根據(jù)學生產(chǎn)生的錯誤或困惑，引導和鼓勵他們反思探究，通過交流合作，產(chǎn)生交互影響，以動態(tài)生成方式領悟錯因，鞏固知識，提升能力。其教學流程如圖3：

圖3

3.1 整理錯題——發(fā)現(xiàn)錯題

筆者認為此處“整理錯題”具有廣泛性，主要體現(xiàn)在學生產(chǎn)生錯誤前能預見錯誤；在課堂生成錯誤時能透析錯誤；在學生解答錯誤后能總結錯誤。

3.1.1 課前預設錯誤，以“錯誤”為起點，挖掘知識內(nèi)涵

教師通過認真鉆研教材，憑借教學經(jīng)驗，依據(jù)學生發(fā)生錯誤的規(guī)律，可以預見學生學習新知識的過程中發(fā)生的各種思維錯誤，從而能在教學設計中加以重視，提高教學的有效性。

例如，學習解方程 = 1 ，本題要用到分式的基本性質(zhì)與等式的性質(zhì)，教師預見到學生在使用定理的過程中極可能混淆兩個定理，因此有必要在引入新課前準備一些分數(shù)的基本性質(zhì)與等式的性質(zhì)練習，幫助學生區(qū)分與辨別，避免產(chǎn)生混亂與錯誤。

該錯題教學策略的構思是基于“如何教好”這個前提展開的，分析學生的錯誤，可以使得制定的教學策略更有針對性，既控制了可能發(fā)生的錯誤，防患于未然，把錯誤消滅在萌芽狀態(tài)，又提高了學生分析和解決問題的能力。

3.1.2 捕捉生成錯誤，以“錯誤”為契機，拓展知識容量

葉瀾教授在《重建課堂教學過程》一文中指出：“學生在課堂活動中的狀態(tài)，包括他們的學習興趣、注意力、合作能力、發(fā)表的意見和觀點、提出的問題與爭論乃至錯誤的回答等，都是教學過程中的生成性資源?！薄罢n堂上的錯誤是教學的巨大財富?！闭n堂教學是動態(tài)的、變化發(fā)展的，在師生、生生交流互動的過程中，隨時可能產(chǎn)生錯誤信息。作為教師，要及時捕捉這些生成性的錯誤，及時調(diào)整教學方法，引導學生暴露思維過程，從中找到錯誤的根源。

比如在教學《二次根式的性質(zhì)》時，其中一個性質(zhì)是： = · （≥0，≥0），在引出性質(zhì)后準備了一組開小火車的練習。計算時，一個學生說“等于17”，其他同學很快的回答“對”。筆者停頓了一下。反應快的學生馬上意識到好像不對，但是一下又說不出原因。此時學生產(chǎn)生認知沖突，筆者調(diào)整了教學順序，引導全班討論。原來學生均受性質(zhì)影響，把52、122分別開方了。為什么不能分別開呢？讓學生再來反思自己的錯誤，他們發(fā)現(xiàn)并總結了該性質(zhì)使用的前提和特點。不能分別開方，究竟如何計算該式呢？學生提出了自己的兩種方法，進而推廣到的一般計算方法。由于及時干預學生的錯誤，讓學生在議錯、辨錯中進一步理解知識，類似于這樣的錯誤在后來的作業(yè)中大大減少，同時通過對解題方法的討論，拓展了知識容量。

面對某些典型性、關鍵性、有普遍意義的錯誤，教師能及時捕捉并提煉成為全班學生學習的新資源，并及時適度地進行引導，往往會達到意想不到的效果。從而，教師的課堂教學會因錯誤、發(fā)現(xiàn)、探究、進步的良性循環(huán)而充滿活力。

3.1.3 整理典型性錯誤，以“錯誤”為資源，提升知識高度

整理錯題，做好錯題研究是雙方的。教師應當有自己的錯題資源庫，在日常教學中不斷積累，并予以研究，根據(jù)學生的認知、能力水平以及心理特點加以分類，有助于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，改進教學。學生也可以建立自己的錯題集。錯題集應該是學生知識漏洞的題典，不是簡單地將題目和答案抄錄下來，要在學習的過程中分析哪些是自己經(jīng)常容易出錯的題目，要分析出現(xiàn)錯誤的原因和預防類似錯誤出現(xiàn)的方法。如，筆者在“錯題的歸因分類”中提到的能力型錯題，學生通常會一錯再錯，就非常值得摘記和分析。在復習的過程中，學生會自然而然理解該類錯題的內(nèi)在規(guī)律。

整理錯題是一個自身逐漸學習和修正的過程，但需要持久的耐力和精力，以及充足的時間，一般能力較好的學生基本能完成任務，而對于基礎薄弱同學在功課繁重壓力大的同時，幾乎成為不可能完成的任務。所以，筆者認為，不要復雜化錯題集，越簡單越好，教師要作適當?shù)闹笇?，學生整理的錯題應當要針對他們自身的學習能力和學習狀況，具有個性化和實用性。

3.2 展示錯題——探究錯題

加涅的教學活動設計理論指出：學習者聽到的確內(nèi)容能記住10%，讀到的內(nèi)容能記住20%，看到的能記住30%，做過的事能記住70%。研究錯題只有結合犯錯誤的人才有研究的價值。面對錯題，我們不能無奈、被動地采取“錯題—改正”這樣單一循環(huán)的方式，要讓學生自主發(fā)現(xiàn)問題。正所謂“學問之道，問而得，不如求而得之深固也”。

（1）給予空間，讓學生自主分析。筆者在多次輔導個別學生訂正錯題時，問：“你是怎么思考的？”學生往往說著就一拍腦袋：啊呀，我知道錯哪里了。很多學生在敘述思路的過程中就已經(jīng)能夠感悟到自己的問題所在、漏洞所在，甚至能糾正自己原來的錯誤。

（2）給予方法，讓學生自主反思。教師可以給出多種錯誤的原因供學生參考，使他們對于錯誤的反思不停留于表面和形式；可以讓學生對比正誤兩種解題過程，找出自己解題過程中存在的典型錯誤或疑難問題，從而究其錯因；也可以小組合作訂正，通過與學習的伙伴的交流而得到啟發(fā)等等。學生是學習的主體，學生的反思自省能力強，學習中的錯誤就越容易被其自主自動地發(fā)現(xiàn)、改正、識記，并逐步減少出錯率。

3.3 錯題教學——糾正錯題

“錯題教學”的核心功能是能夠較好的預防或減少學生差錯，以及防止學生再次出現(xiàn)同樣的錯誤。相應的，“錯題教學”策略包括錯題的即時講評教學策略和錯題預防教學策略。教師應當對學生出現(xiàn)的各種錯誤進行診斷，根據(jù)診斷提取相應的解決策略加以糾正。

3.3.1 善用正反例，強化概念差異

對于知識性錯題，教師需要加強概念教學，但教學中不能就概念論概念，僅僅注重概念的文字內(nèi)容，要站在一定高度引導學生，提升學生在學習概念過程中的觀察、歸納能力。奧蘇伯爾曾提到正例和反例因素對概念習得的影響，并發(fā)現(xiàn)，反例之后，繼之以正例，這是最有效的方法結合。

例如：文中提到的“題1”，學生之所以選擇C. = 0為一元二次方程，是對“分式”概念理解模糊情景下的再次犯錯。分母中含有字母是識別分式的重要標志，學生未能把握導致先排除了選項B。因此，教師可在分析完“一元二次方程”概念后給出反例① += 1；② + 1 = 0；③（） + = 0 ，并引導學生辨析，①中分母中含有字母，是分式，不滿足整式方程；②中通過合作交流，根號下含字母，教師解釋這一類屬于根式方程，學生就能認識到在已學過的方程中包括了整式方程、分式方程和根式方程等；③不一定是一元二次方程，若 = 2，就不是一元二次方程；給出反例的過程中輔以正例，讓學生敘述“是”的理由，這樣不僅能鞏固已學的單塊內(nèi)容，又可形成方程的知識網(wǎng)絡和新的認知結構；而且反例③的編排對于預防“題4”的典型錯誤亦起到事半功倍的作用。

3.3.2 運用對比教學，明辨條件差異

對于許多能力型錯題，由于學生對數(shù)學問題本質(zhì)的理解有一個過程，對各知識點之間的聯(lián)系的了解還不到位，解題時往往錯誤較多。學生通常必須經(jīng)過幾次挫折才能掌握。如果教師在教學時，能選用適當?shù)念}組進行對比教學，那么，學生對數(shù)學問題本質(zhì)的理解過程就會縮短，對各知識點之間的聯(lián)系的了解就會到位，可以有效地減少錯誤。

如，在講列一元二次方程解變化率問題后，給出以下題組：

①某廠1月份生產(chǎn)零件2萬個，3月份生產(chǎn)零件9.5萬個，若每月的增長率相同，求每月的平均增長率。

②某廠從1月份開始生產(chǎn)某種零件，若每月的增長率相同，3月份生產(chǎn)零件比1月份增加了44%，求每月的平均增長率。

③某廠原計劃1月份生產(chǎn)零件2萬個，實際只完成了80%，從2月份開始改進技術，第3個月生產(chǎn)零件9.5萬個，若每月的增長率相同，求每月的平均增長率。

④某廠1月份生產(chǎn)零件2萬個，第一季度共生產(chǎn)零件9.5萬個，若每月的增長率相同，求每月的平均增長率。

解這類題目一般可套用模式： = 。在講評過程中，教師應給予點撥：方程的變化是因題目條件的變化引起的：②體現(xiàn)了、的處理方法的不同以及的變化；③體現(xiàn)了的變化；④體現(xiàn)了等量關系的變化。題組中展示了各種變化，通過明辨條件的差異，理解萬變不離其宗的道理，有效的引起學生對審題的重視，有利于錯誤的避免與糾正，也利于培養(yǎng)學生思維的批判性。

3.3.3 巧用變式教學，提升拓展思維

當然，學生作業(yè)考試中出現(xiàn)的一些難題也成為一些主流錯題。但很多難題都是基于基礎的題型加以深化。故教師可通過變式教學，讓學生練習那些在知識、方法上有關聯(lián)而在形式上又不同的題目組成的題組，使學生對一些基本知識、方法及重要的數(shù)學思想加深領會，達到觸類旁通的境地。

如：通過解一個題學會“一線三直角”基本模型。如圖4梯形ABCD中，∠A = 90埃珹D∥BC，AD = 1, BC = 4，AB = 4，E是AB上一點，且DE⊥CE。求AE的長。

圖4

從而會解具有“一線三銳角”、“一線三鈍角”等基本模型的較難題。

教師通過變式教學讓學生理解數(shù)學知識的本質(zhì)，使學生從會解“一個題”發(fā)展到會解“一類題”，有利于克服“多練多錯”的現(xiàn)象，且更能準確的認識解題規(guī)律、優(yōu)化解題方法，使學生能較好的把握較難題，減少出錯率。

3.3.4 注重非智力因素，增強情感激勵

對于很多的心理型錯題，教師需重視學生的非智力因素，注重培養(yǎng)學生良好的學習習慣，增強情感激勵，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情。教師可以從多方面入手，尤其重視以下幾點：

（1）重視學習習慣、方法培養(yǎng)：良好的習慣是正確解題的重要條件。平時教學中，教師應注重自身的思維嚴謹性和言傳身教性，并大力加強學法指導，解題技巧，盡量避免“遺憾性”錯誤。

（2）注重提升學生學習興趣：對于數(shù)學的興趣和自信則能產(chǎn)生良好的習慣。學生憑借學習興趣，就會有強烈的參與欲和高度專注力。因此，筆者總是有意識地把課堂教學的幽默與深刻講解知識相結合，讓學生在數(shù)學課堂上獲得美感享受，提高學生學習的專注性，從而提高學習效率，降低錯誤發(fā)生率。

（3）課堂教學、課外輔導相結合：由于學生的注意力程度及接受能力的差異，教師需要格外關注一些數(shù)學學困生，多進行個別輔導，幫助其盡快克服數(shù)學學習中的苦惱與恐懼心理，提升學習動力，從而減少錯誤覆蓋率。

3.4 精選類題——訓練鞏固

（1）變式錯題， 提升辨析錯誤的感悟。對于課堂的預設或生成錯題，猶如醫(yī)生對癥下藥，教師需設計一些針對錯題的補充性練習題。對優(yōu)生可出一些變式提高題，而不再是簡單的重復；對學困生出一些基礎題，但不宜過多，通過練習培養(yǎng)學生舉一反三的能力。

（2）集合錯題，增強找錯糾錯的效能。當然，教師也可以通過自己精心準備，在階段學習后出一張錯題試卷，不僅是錯題的集合，而且每題的答案均為學生典型的錯解，然后讓學生找錯誤、分析錯誤、寫出正確的過程，從而潛移默化提高學生記錯、議錯、辯錯和改錯的主動性和反思能力。把這樣的單元復習卷加以整理和保留，不僅免去學生整理錯題的繁瑣，還具有反復使用性，相信對于中考的復習也是未雨綢繆、行之有效的好方法。

筆者在數(shù)學教學中一直堅持探究“錯題教學”，經(jīng)過對“錯題教學”的實踐，優(yōu)化了教學過程，促進了學生學習方式的改善，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，從而創(chuàng)設互動高效課堂。

美國教育家杜威指出：“真正思考的人從自己的錯誤中吸取知識比從自己成就中吸取的知識更多，錯誤與探索相聯(lián)姻，相交合，才能孕育出真理?！卞e題就像放在太陽光下的多棱鏡，它能折射出學生在知識、方法、技能等方面的不足，亦能折身出教師在教學中存在的問題；對待錯誤的態(tài)度，亦能透射出教師教育的理念、智慧。教師若能合理地開發(fā)錯題資源，積極引導學生探究錯題，分析錯因，從而對癥取方，對學生改進學習方法和學習方式大有裨益，同時，這無疑是打開了有效教學的一扇窗，開辟了全新的師生互動、生生互動的高效課堂。

參考文獻

[1] 李祎.數(shù)學教學方法論.福建教育出版社,2010.

[2] 馬復.初中數(shù)學教學策略.北京師范大學出版社,2010.

[3] 葉瀾.重建課堂教學過程觀.江蘇教育出版社,1990.

[4] 章敏毅.數(shù)學教學中的題組教學.中學數(shù)學月刊,2001.