路 琪，景 欣，勾志陽(yáng)，錢 旭，晏 磊

（1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）機(jī)電與信息工程學(xué)院，北京100083；2.北京大學(xué)空間信息集成與3S應(yīng)用北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100087）

0 引 言

GPS采用空間距離后方交會(huì)的方法確定待測(cè)點(diǎn)的位置。并已廣泛應(yīng)用于測(cè)繪、軍事、交通、郵電、地礦、煤礦、石油、建筑、氣象、公安、農(nóng)業(yè)、林業(yè)等部門和行業(yè)［1］。手持GPS具有簡(jiǎn)單、便攜的特點(diǎn)，在測(cè)量面積方面也有很多應(yīng)用［2－4］。手持GPS測(cè)量面積是采用向量積方法計(jì)算面積，這就需要先將WGS－84坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為高斯平面直角坐標(biāo)，然后以平面直 角 坐 標(biāo) 求 解 面 積［5－7，8－10］。 由 于 高 斯 平 面直角坐標(biāo)選擇直角坐標(biāo)系中央子午線離所測(cè)地區(qū)距離越遠(yuǎn)，誤差就會(huì)越大。手持GPS的面積計(jì)算功能并沒有考慮這些誤差。以GARMIN vista型GPS為例，探討面積測(cè)定的方法，并對(duì)其精度進(jìn)行評(píng)價(jià)，分析誤差出現(xiàn)的原因，為此類GPS提供參考。

1 原理與方法

1.1 向量積求面積原理

對(duì)于不自交的多邊形，可以利用向量積的方法求面積。向量積也被稱為叉積，叉積的長(zhǎng)度｜a×b｜可以解釋成以a和b為邊的平行四邊形的面積。a×b的方向滿足右手法則，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)方向，逆時(shí)針方向?yàn)檎较颍杂?jì)算面積需要取絕對(duì)值［5］。

圖1 向量積求多邊形面積

如圖1所示，在多邊形ABCDE所在平面任取一點(diǎn)，為方便取原點(diǎn)O，則多邊形ABCDE的面積

1.2 高斯平面直角坐標(biāo)

由于地球面是不可展曲面，若簡(jiǎn)單地將曲面拉平，必然產(chǎn)生裂口和褶皺。采用投影的方法來確定地球面與平面上點(diǎn)位之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，就能解決地球面不能直接展開的矛盾。但這必然會(huì)產(chǎn)生投影變形［11］。

設(shè)想一個(gè)平面卷成橫圓柱套在地球外，如圖2所示。通過高斯投影，將中央子午線的投影作為縱坐標(biāo)軸，用x表示，將赤道的投影作橫坐標(biāo)軸，用y表示，兩軸的交點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，由此構(gòu)成的平面直角坐標(biāo)系稱為高斯平面直角坐標(biāo)系。每一個(gè)投影帶都有一個(gè)獨(dú)立的高斯平面直角坐標(biāo)系［11］。

圖2 高斯投影

高斯投影是正形投影，沒有角度變形，在中央子午線上也沒有長(zhǎng)度變形，但不在中央子午線上的各長(zhǎng)度比均大于1，且距離中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。

設(shè)地球上兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），A與B的中點(diǎn)C（xm，ym），設(shè)大地線長(zhǎng)為s，兩投影點(diǎn)間的直線長(zhǎng)度為d，地球平均半徑為Rm，Δy＝y(tǒng)2－y1.如圖3所示，則有高斯投影距離改化公式

圖3 高斯投影距離改化

WGS－84與北京54坐標(biāo)系是一種橢球參數(shù)的轉(zhuǎn)換。作為這種轉(zhuǎn)換在同一個(gè)橢球里的轉(zhuǎn)換都是嚴(yán)密的，而在不同的橢球之間的轉(zhuǎn)換是不嚴(yán)密的［12］。

1.3 測(cè)定方法

利用GPS測(cè)定面積

1）測(cè)定各航路點(diǎn)的經(jīng)緯度，轉(zhuǎn)換為高斯平面直角坐標(biāo)后再利用向量積法計(jì)算面積。

2）進(jìn)入GPS的航線畫面，將通過環(huán)繞所測(cè)場(chǎng)地邊界航路點(diǎn)組成航線，用GPS的“航線面積”功能來求得面積。

3）用GPS所測(cè)面積與計(jì)算面積比較，確定手持GPS測(cè)定面積的精度范圍［1－2］。

2 測(cè)量?jī)x器與實(shí)驗(yàn)方法

2.1 測(cè)量?jī)x器

GARMIN vista型GPS，其主要性能為定位頻率每1s一次；誤差5～25m以內(nèi)；內(nèi)置GPS天線，標(biāo)準(zhǔn)RS－232接口。可以存儲(chǔ)1 000航路點(diǎn)、20條航線。

2.2 實(shí)驗(yàn)方法

GPS需要同時(shí)能夠接收到4顆衛(wèi)星信號(hào)。為了測(cè)量數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，選擇比較開闊的場(chǎng)地進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。這里選擇了未名湖湖心島進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。繞行湖心島一周，在拐點(diǎn)記錄下航路點(diǎn)坐標(biāo)，并使用MAPSOURCE軟件將數(shù)據(jù)從手持GPS中導(dǎo)入計(jì)算機(jī)。航路點(diǎn)組成的航線可以直接在手持GPS中測(cè)量航線所圍區(qū)域的面積。

3 結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

1）使用GPS分別測(cè)量10個(gè)航路點(diǎn)、記錄坐標(biāo)值，構(gòu)成一個(gè)閉合導(dǎo)線；這10個(gè)航路點(diǎn)需要在同樣條件下多次測(cè)量取平均值。2）使用手持GPS自帶“航線面積”功能計(jì)算測(cè)量結(jié)果坐標(biāo)組成區(qū)域的面積。3）向量積法計(jì)算面積。將測(cè)量結(jié)果坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)后代入式（1）中，計(jì)算面積。

測(cè)量坐標(biāo)結(jié)果如表1所示。

手持GPS自帶“航線面積”功能計(jì)算的結(jié)果為4 351.669m2.

用公式（1）計(jì)算面積需要將WGS－84坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為高斯平面直角坐標(biāo)。實(shí)驗(yàn)所測(cè)地區(qū)中央子午線為E117°，計(jì)算面積為4 342.12m2.與手持GPS自帶“航線面積”功能計(jì)算的結(jié)果相比，相對(duì)誤差為0.22%.

表1 GPS所測(cè)各航路點(diǎn)坐標(biāo)（未名湖湖心島）

3.2 實(shí)驗(yàn)分析

由于高斯平面直角坐標(biāo)選擇直角坐標(biāo)系中央子午線離所測(cè)地區(qū)距離越遠(yuǎn)，誤差就會(huì)越大。使用向量積方法求面積只需要相對(duì)坐標(biāo)即可，選取的經(jīng)線越靠近這10個(gè)點(diǎn)越精確而需要刻板地選擇中央子午線，選為經(jīng)過湖心島中心附近的116.303 2°是最接近的。選取經(jīng)線與計(jì)算的面積如圖4所示。

圖4 湖心島面積與經(jīng)線設(shè)置

當(dāng)選取子午線116.303 2°時(shí)計(jì)算面積為4 341.74m2，當(dāng)選取子午線117°時(shí)計(jì)算面積為4 342.12m2，當(dāng)選取子午線120°時(shí)計(jì)算面積為4 352.40m2.手持GPS自帶“航線面積”功能計(jì)算的結(jié)果與選定中央子午線為120°所計(jì)算面積相吻合。

以子午線116.303 2°為基準(zhǔn)，GPS所帶面積計(jì)算功能所測(cè)面積與用公式（1）計(jì)算面積相比較，相對(duì)誤差為0.23%.這是由于高斯投影長(zhǎng)度變形的原因。

如圖5所示，用公式（1）測(cè)量目標(biāo)區(qū)域A′BC的面積，由于地球曲率的影響，實(shí)際所計(jì)算的卻是區(qū)域A＇BC的面積。

圖5 面積變形與距離變形成正比

由于高斯投影在子午線方向沒有長(zhǎng)度變形，而高斯投影距離改化只與緯線方向參數(shù)y有關(guān)，所以在計(jì)算面積時(shí)，可以把所測(cè)區(qū)域按子午線方向分割成小塊，這樣立刻得出結(jié)論面積變形與距離改化成正比例關(guān)系。

即

相對(duì)誤差為

設(shè)所測(cè)區(qū)域東西長(zhǎng)度為u，所設(shè)經(jīng)線距離所測(cè)區(qū)域最遠(yuǎn)點(diǎn)距離為v，以圖3為例，則u＝Δy，v＝將地球平均半徑Rm＝6 370km代入式（4）中，使用Matlab繪制誤差曲面圖，如圖6所示。

圖6 面積誤差曲面圖

由此可見，所選定經(jīng)線距離所測(cè)區(qū)域越遠(yuǎn)，誤差越大；所測(cè)區(qū)域越大，產(chǎn)生的誤差越大。而區(qū)域ABC的面積修正函數(shù)

由式（5）可計(jì)算實(shí)際面積與所測(cè)面積關(guān)系曲面關(guān)系如圖7所示。

測(cè)量目標(biāo)區(qū)域距離120°，經(jīng)線v＝315.35km，目標(biāo)區(qū)域的東西最大長(zhǎng)度u＝0.09km，以120°子午線為準(zhǔn)計(jì)算面積為4 352.40m2，代入方程（4）和（5）中，得

測(cè)量目標(biāo)區(qū)域距離117°，經(jīng)線v＝59.52km，以117°子午線為準(zhǔn)計(jì)算面積為4 342.12m2，代入方程（4）和（5）中，得

如圖8所示。

圖8 修正曲線

3.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

使用相同的實(shí)驗(yàn)方法在北大靜園做了一次實(shí)驗(yàn)。繞行靜園一周，在拐點(diǎn)記錄下航路點(diǎn)坐標(biāo)，并使用MAP SOURCE軟件將數(shù)據(jù)從手持GPS中導(dǎo)入計(jì)算機(jī)。航路點(diǎn)組成的航線可以直接在手持GPS中測(cè)量航線所圍區(qū)域的面積。測(cè)量面積為3 655.604m2.如表2，3所示。

表2 GPS所測(cè)的各航路點(diǎn)坐標(biāo)（靜園）

表3 靜園面積計(jì)算與修正

結(jié)果表明面積修正減小了誤差。

4 結(jié) 論

分析了手持GPS測(cè)量面積的功能在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中產(chǎn)生的誤差。原點(diǎn)（中央經(jīng)線）距離所測(cè)區(qū)域越遠(yuǎn)，產(chǎn)生的誤差越大；所測(cè)區(qū)域越大，產(chǎn)生的誤差越大。所以應(yīng)該對(duì)所計(jì)算結(jié)果加以修正，修正函數(shù)S或者在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)不刻板的選擇中央子午線而是選擇所測(cè)區(qū)域的平均經(jīng)度，這樣可以減小面積變形產(chǎn)生的誤差。

為了得到比較精確的坐標(biāo)，可以在測(cè)繪部門提供的坐標(biāo)對(duì)手持GPS進(jìn)行校正，再用GPS在同一點(diǎn)多次測(cè)量取平均的做法［13］。

若所測(cè)區(qū)域比較大時(shí)，可以采用分區(qū)域計(jì)算的方法。

［1］ 劉 弘，姚連芳，馬 杰，等.GM－101型GPS面積測(cè)量與精度評(píng)價(jià)［J］.河南科技學(xué)院學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版，2008，36（3）：33－35.

［2］ 夏友福.GPS測(cè)量面積的方法研究［J］.西南林學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，25（1）：65－66.

［3］ 夏友福.手持GPS測(cè)量面積的精度分析［J］.西南林學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，26（6）：59－60.

［4］ 鄭成才.GPS林地面積測(cè)量精度分析［J］.武夷科學(xué)，2008（24）：110－113.

［5］ 黃獻(xiàn)芳，向 磊，黃 萌.高斯投影面積在測(cè)量中的局限性研究［J］.光盤技術(shù)，2009（10）：46－47.

［6］ 谷超杰.Excel2003在高斯投影坐標(biāo)換算中的應(yīng)用［J］.測(cè)繪與空間地理信息，2008，31（6）：190－192.

［7］ 劉永義.濟(jì)寧礦區(qū)BJ－54至WGS－84坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型改進(jìn)及精度分析［J］.全球定位系統(tǒng)，2010，35（1）：33－37.

［8］ 趙廷安，田雪豐.礦區(qū)GPS高程擬合精度和可靠性研究［J］.中國(guó)煤田地質(zhì)，2005，17（3）：59－60.

［9］ 晏 磊，苗李莉，劉岳峰.關(guān)于GPS技術(shù)在智能交通系統(tǒng)中的應(yīng)用分析［J］.測(cè)繪通報(bào)，2005（8）：26－28.

［10］ 王可東，晏 磊，聞 輝.GPSOne應(yīng)用于車載導(dǎo)航的可行性分析［J］.全球定位系統(tǒng)，2005，30（5）：35－39.

［11］ 施一民.現(xiàn)代大地控制測(cè)量［M］.北京：測(cè)繪出版社，2003.

［12］ 張秋昭，張書畢，劉 軍.局部區(qū)域GPS網(wǎng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的改進(jìn)模型［J］.全球定位系統(tǒng)，2008，33（5）：62－64.

［13］ 周 蓓，陶彣君.手持GPS定位在野外地質(zhì)測(cè)量中的誤差分析［J］.資源環(huán)境與工程，2009，23（3）：311－313.