段文杰，武穎，劉大亮

（1.山西農(nóng)業(yè)大學(xué) 工學(xué)院，山西 太谷030801；2.太原理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，山西 太原030013；3.首都航天機械公司，北京100076）

球形機器人［1］、獨輪機器人［2］以及雙輪機器人［3］的運動控制問題一直是該研究領(lǐng)域的重要內(nèi)容［4］。多數(shù)情況下，在平面內(nèi)，這3類機器人的運動可以簡化為一均質(zhì)圓盤的垂直滾動。本文首先利用拉格朗日方法［5］建立均質(zhì)圓盤垂直滾動的一階鏈式非完整系統(tǒng)模型；其次利用反步法［6～8］設(shè)計系統(tǒng)的穩(wěn)定運動控制算法，并證明了算法是漸進穩(wěn)定的。狀態(tài)鎮(zhèn)定和路徑跟蹤仿真實驗結(jié)果表明該算法是有效的、可行的。

1 系統(tǒng)建模

如圖1所示，圓盤的位形由坐標平面上的位置x和y，進動角θ和圓盤的自轉(zhuǎn)角ψ確定，記為q＝（x，y，ψ，θ）。圓盤的半徑為r。對圓盤施加的力矩分別為繞鉛垂軸的轉(zhuǎn)向力矩τ1和自轉(zhuǎn)動力矩τ2。圓盤作無滑動的純滾動，該速度約束可以表示為

圖1 系統(tǒng)坐標系與運動模型Fig.1 Coordinate system and motion mode

記m為圓盤的質(zhì)量，J1，J2分別為關(guān)于鉛垂軸和水平滾動軸的轉(zhuǎn)動慣量，則系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)［9，10］為

其中，常值慣性矩陣 M ＝diag（m，m，J1，J2）。經(jīng)計算得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

其中ui＝τi／Ji，i＝1，2。如果系統(tǒng)的輸入控制表示為˙ψ＝ω1和˙θ＝ω2，通過對半徑r的單位正則化處理后，運動學(xué)形式的模型可以表示為

在θ∈（－π／2，π／2）上，應(yīng)用坐標和輸入控制變換

可以得到一個一階鏈式非完整系統(tǒng)

2 運動控制算法

定理：存在時不變且有界的狀態(tài)反饋

在

上，當t＞0時，系統(tǒng)（5）的狀態(tài)x指數(shù)收斂至零。其中k1，k2和k3為正數(shù)，且k3＞k1。

證明：應(yīng)用線性狀態(tài)反饋

使x1指數(shù)穩(wěn)定，其中k1為正常數(shù)。系統(tǒng)（5）變?yōu)?/p>

考慮x3子系統(tǒng)，將x2看成是Ω上的輸入控制，設(shè)計反饋控制

3）資源豐富，情境真實。微課的核心就是視頻的展現(xiàn)和多媒體課件，里面包含專家的點評和教學(xué)反思，還有練習(xí)和測驗，可以給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個具象化的情境。微課的這一特點在國內(nèi)外的微課交流平臺上都展現(xiàn)出來。當前微課不應(yīng)只是視頻資源，還要將微課平臺發(fā)展成一個互動性教學(xué)平臺，不光有練習(xí)和測驗，還要有知識講解、學(xué)習(xí)反饋等資源，這些配套的資源能對學(xué)生自主學(xué)習(xí)發(fā)揮重要作用[4]。

以穩(wěn)定原點x3＝0，其中x1不為零。取Lyapunov函數(shù)V1為

上式對時間的導(dǎo)數(shù)得

因此，˙x3＝－k3x3的原點是漸近穩(wěn)定的。應(yīng)用微分同胚變量代換

對（11）求導(dǎo)得

則x2和x3子系統(tǒng)變換為

取Lyaponov函數(shù)V2為

取

從而得

則x3和ξ是有界的，且當t→0時趨近于零。因此，x2收斂于ψ1。

為了保證x2的有界性和關(guān)于零的收斂性，當t→0時必須保證x1和x3的有界性和關(guān)于零的收斂性。因為

可知當t→∞時，V1以解e－2k3t收斂到零，x3以解e－k3t收斂到零。又因為x1以解e－k1t收斂到零，可知當k3＞k1時，且x1（0）≠0時，x3／x1是有界的，以解e－（k3－k1）t收斂到零。

當初始條件始于Ω，狀態(tài)反饋（6）不僅保證了系統(tǒng)狀態(tài)的有界性，而且原點是指數(shù)收斂。如果系統(tǒng)始于Ω的外部時，可以在任意小的時間內(nèi)應(yīng)用開環(huán)控制驅(qū)動系統(tǒng)從x1＝0點進入Ω內(nèi)，再切換至狀態(tài)反饋（6）。

3 仿真實驗

圖2和圖3為在控制率（6）的作用下，系統(tǒng)（5）狀態(tài)的收斂特性。系統(tǒng)初始狀態(tài)為x（0）＝（x10，x20，x30）＝（0.5，－1，1），位于集合 Ω內(nèi)?？刂坡实目刂茀?shù)為k1＝5，k2＝5和k3＝10。如圖所示，系統(tǒng)在控制率（6）的控制作用下，狀態(tài)能夠漸近收斂到零，因此控制算法是有效的。

圖2 狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 Response curve of state

圖3 運動軌跡響應(yīng)曲線Fig.3 Response curve of motion trace

圖4 圓周曲線跟蹤曲線Fig.4 Tracking curve of circular curve

狀態(tài)反饋控制率（6）可以應(yīng)用于垂直圓盤的軌跡跟蹤控制，即使狀態(tài)（x1，x3）收斂到期望的狀態(tài)（x1d，x3d）。一個期望的圓周曲線滿足方程

其中期望軌跡的線速度和角速度分別為ur＝0.5m·s－1，rr＝0.5rad·s－1。系統(tǒng)初始狀態(tài)為x（0）＝（x10，x20，x30）＝（0.5，－1，1），位于集合Ω內(nèi)。期望軌跡的初始狀態(tài)為 （x1d，ψd，x3d）＝（1，π／4，1）?？刂坡实目刂茀?shù)為k1＝5，k2＝5和k3＝10。系統(tǒng)軌跡跟蹤特性如圖4所示，控制算法（6）能夠?qū)崿F(xiàn)對期望軌跡的跟蹤。

4 結(jié)論

本文將球形機器人、獨輪機器人和雙輪機器人的一種運動方式簡化為均質(zhì)圓盤在平面內(nèi)的垂直滾動，首先建立了系統(tǒng)的鏈式非完整模型，其次利用反步法設(shè)計運行控制算法，并證明了反饋控制系統(tǒng)的原點是漸進穩(wěn)定的。仿真結(jié)果表明控制算法是可行、有效的。

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