邵亞會，葛耀君，柯世堂，楊詠昕

（1.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009；2.同濟大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點實驗室，上海200092）

0 引 言

二維顫振分析基于片條理論，用廣義質(zhì)量模擬全橋真實狀態(tài)的質(zhì)量系統(tǒng)，用節(jié)段模型在氣動力和自身重力作用下的受力狀態(tài)和運動方式模擬全橋真實的受力狀態(tài)，不考慮風(fēng)荷載和結(jié)構(gòu)的三維效應(yīng)。為考察三維效應(yīng)，有必要引入三維橋梁顫振分析。1989年，Agar［1］基于Scanlan的線性自激力模型和顫振分析理論，提出了將顫振問題簡化為求解非對稱實矩陣的特征值問題，采用雙參數(shù)搜索迭代求解；Beith也提出了相同的方法［2］。1992年，Namimi［3］提出了顫振分析的PK－F法，同濟大學(xué)程韶紅、張新軍等人沿用了此法。1994年，陳政清［4］提出多模態(tài)單參數(shù)搜索顫振分析方法，將顫振問題轉(zhuǎn)化為求解復(fù)矩陣的廣義特征值問題，且認為橋梁顫振中高階模態(tài)的參與具有有利與不利雙重效果，該方法能方便地求解顫振臨界風(fēng)速和頻率，但不能描述顫振發(fā)生的全過程。1996年，Jain［5］也將顫振問題轉(zhuǎn)化為求解矩陣特征值問題，側(cè)重于求解特征多項式的實部和虛部方程。1995年，Miyata［6－7］和Yamada首次提出了顫振全模態(tài)分析方法，但沒有考慮結(jié)構(gòu)阻尼的影響。Dung［8］在1998年發(fā)展了該方法，仍無法有效考慮結(jié)構(gòu)阻尼的影響。2000年，葛耀君［9］提出了大跨度橋梁三維顫振分析的全模態(tài)方法，考慮了結(jié)構(gòu)阻尼的影響，同時也將顫振頻域分析方法提高到了一個新的高度，自此之后關(guān)于顫振頻域方面的研究多是基于此的細化和延伸。2000年之后，國內(nèi)外諸多學(xué)者繼續(xù)對大跨度橋梁的顫振問題進行了大量研究［10－13］，通過自主研發(fā)軟件和嫁接商業(yè)軟件進行二次開發(fā)，豐富了大跨度橋梁三維顫振研究，不同之處在于針對不同的研究對象，考慮了不同的求解過程和技巧。

已有文獻多是針對跨度在1500m以下的大跨度懸索橋進行氣動穩(wěn)定性研究，而對于跨度超過1500m，甚至達到5000m的特大跨度懸索橋研究成果較少，可供參考的結(jié)論不多。為此，將在已有三維頻域全模態(tài)顫振分析方法基礎(chǔ)上，進行細化和拓展，考慮三方向氣動導(dǎo)數(shù)的影響、靜風(fēng)荷載非線性的影響、幾何非線性的影響、各種風(fēng)荷載隨高度的梯度影響等因素，研究5000m特大跨度懸索橋的三維空氣動力穩(wěn)定性能，并與風(fēng)洞試驗結(jié)果和二維顫振分析結(jié)果進行對比，從三維顫振穩(wěn)定、三維靜風(fēng)穩(wěn)定的角度，進一步論證特大跨度懸索橋在5000m跨度范圍的可行性。

1 全模態(tài)顫振分析方法

1.1 顫振基本方程

處于風(fēng)環(huán)境中的橋梁結(jié)構(gòu)的動力平衡方程可以表示為：

［Ms］結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣；［Cs］結(jié)構(gòu)總體阻尼矩陣；［Ks］結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣，［Ks］＝［Ke］＋［Kg］，為彈性剛度矩陣和幾何剛度矩陣的和；｛F｝自激氣動力等效荷載，｛F｝＝｛Fd｝＋｛Fs｝＝［Ca］＋［Ka］｛Y｝；｛Fst｝為靜風(fēng)荷載；｛Fa｝為慣性力；｛Y｝結(jié)構(gòu)位移向量。

在進行顫振分析時，將結(jié)構(gòu)自身重力和靜風(fēng)荷載的作用等效為懸索橋結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力，進行有預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析，將各參數(shù)帶入（1）式后，可以得到：

令｛Y｝＝｛φ｝eet，則有：

只有當(dāng)方程左端的矩陣非奇異時方程（2）才具有非平凡解。實際上這就是一個n次特征值問題。求解該方程將得到2n個特征值和對應(yīng)的特征向量。方程（2）的通解可以表達為2n個解的疊加：

對應(yīng)復(fù)共扼特征值對的分量為：

如果所有特征解復(fù)共扼成對的，則式（4）可以寫成如下形式

式中，當(dāng)ui為負時表明系統(tǒng)振動收斂。當(dāng)ui為正時表明系統(tǒng)顫振發(fā)散，此時顫振的圓頻率為Wj。

1.2 風(fēng)荷載的處理

Scanlan建立了橋梁結(jié)構(gòu)的分離流扭轉(zhuǎn)顫振理論，建議用6個實函數(shù)的顫振導(dǎo)數(shù)表示鈍體氣動自激力的公式。近年來，人們逐漸注意到橋梁斷面?zhèn)认蛭灰茖ζ錃鈩有阅艿挠绊懀瑸榇?，Sarka和Jones［5］將該氣動力模型予以推廣，考慮了橋梁斷面?zhèn)认蛭灰茖ζ錃鈩有阅艿挠绊懀岢隽擞?8個顫振導(dǎo)數(shù)表示的氣動力公式。在無風(fēng)洞試驗結(jié)果的情況下，按照擬靜力理論得到的側(cè)向?qū)?shù)如下［14－16］：

對于纜索氣動力，考慮了主纜和吊桿的自激氣動力、靜風(fēng)荷載，以及自激氣動力和靜風(fēng)荷載隨高度的變化，如圖1所示。纜索所受的氣動力表現(xiàn)為正的氣動阻尼，顫振導(dǎo)數(shù)只與阻力系數(shù)有關(guān)，對圓形纜索的阻力系數(shù)均取為0.7，纜索的孔隙率取為20%，即在纜索凈截面面積的基礎(chǔ)上考慮20%的面積放大系數(shù)。

圖1 纜索和吊桿風(fēng)荷載示意圖Fig.1 Wind loads on cable and hangers

結(jié)構(gòu)阻尼的處理，按照經(jīng)典瑞利阻尼來考慮，如式（7～8）所示。

其中，［C］為結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，［M］為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣，［K］為結(jié)構(gòu)剛度矩陣，α、β分別為瑞利阻尼系數(shù)；ωi、ωj分別為結(jié)構(gòu)第i階和第j階振動圓頻率，ξi、ξj分別為結(jié)構(gòu)第i階和第j階振動阻尼比。

基于上述顫振基本方程和風(fēng)荷載處理方式，實現(xiàn)了特大跨度懸索橋三維頻域顫振的全模態(tài)分析方法。該方法有以下重要特點：（1）可以同時考慮豎向?qū)?shù)、側(cè)向?qū)?shù)和扭轉(zhuǎn)向?qū)?shù)對顫振的影響。側(cè)向?qū)?shù)的取值法則如前文所示，按照準定常原則取值。（2）可以同時考慮加勁梁和纜索系統(tǒng)的靜風(fēng)荷載，并考慮風(fēng)荷載隨高度變化的梯度變化。（3）精細化地考慮了主纜和加勁梁吊桿的自激力和靜風(fēng)荷載，主纜和吊桿的受力面積按照毛截面面積取值，主纜的孔隙率為20%。（4）可以同時考慮特大跨度懸索橋的幾何非線性，靜風(fēng)荷載的非線性。

2 5000m懸索橋顫振性能分析

2.1 顫振風(fēng)速與頻率

采用三維全橋全模態(tài)頻域顫振分析方法，和風(fēng)洞試驗識別的顫振導(dǎo)數(shù)以及三分力系數(shù)，對兩種加勁梁方案的特大跨度懸索橋進行了三維全橋顫振分析，每種方案各計算了4種矢跨比的分方案。以窄開槽方案為例，主要分析結(jié)果如表1所示，需要說明的是風(fēng)洞試驗表明，上穩(wěn)定板的顫振控制效果最好，這里只給出此方案的三維分析結(jié)果。顫振計算過程中考慮的主要因素包括：（1）豎向?qū)?shù)、側(cè)向?qū)?shù)和扭轉(zhuǎn)向?qū)?shù)；（2）加勁梁和纜索系統(tǒng)的靜風(fēng)荷載，并考慮風(fēng)荷載隨高度變化的梯度變化，以及由靜風(fēng)荷載引起的初始迎角；（3）加勁梁和纜索系統(tǒng)的自激力荷載；（4）顫振導(dǎo)數(shù)隨風(fēng)迎角的非線性變化；（5）分別搜索了加勁梁正對稱和反對稱扭轉(zhuǎn)顫振的顫振臨界風(fēng)速和顫振形態(tài)，以期對特大跨度懸索橋的顫振性能有更為全面的認識和把握。

表1 窄開槽方案三維顫振分析結(jié)果Table 1 Three dimensional flutter analysis for narrow slotted scheme

研究發(fā)現(xiàn)：

（1）對于上水平穩(wěn)定板、防撞護欄和檢修車軌道組合方案的窄開槽加勁梁懸索橋方案，加勁梁正對稱扭轉(zhuǎn)顫振的臨界風(fēng)速為63m／s，反對稱扭轉(zhuǎn)顫振臨界風(fēng)速為70m／s，與矢跨比無明顯關(guān)系。

（2）顫振頻率隨矢跨比減小而降低，這與二維顫振分析的結(jié)論一致；反對稱扭轉(zhuǎn)顫振頻率均低于同矢跨比的正對稱扭轉(zhuǎn)顫振頻率；正對稱扭轉(zhuǎn)顫振發(fā)生的模態(tài)均為第17階復(fù)模態(tài)，反對稱扭轉(zhuǎn)顫振發(fā)生的模態(tài)為第15階復(fù)模態(tài)，與矢跨比無關(guān)。

（3）二維和三維顫振分析結(jié)果的對比發(fā)現(xiàn)，如圖2所示，二維顫振分析在不同迎角時的顫振臨界風(fēng)速和頻率離散度較大，三維顫振分析中自動考慮了靜風(fēng)引起的附加迎角的變化，其顫振臨界風(fēng)速大于60m／s，0°迎角時的二維顫振臨界風(fēng)速與三維顫振臨界風(fēng)速較接近。

（4）風(fēng)洞試驗、二維和三維顫振分析結(jié)果均證明矢跨比對顫振分析結(jié)果的影響較小，因此在設(shè)計跨度為5000m的懸索橋時，不必刻意選擇矢跨比。

同理，研究證明寬開槽加勁梁方案的顫振臨界風(fēng)速均大于80m／s，顫振形態(tài)的變化規(guī)律與窄開槽方案類似，在此不詳述。

2.2 顫振形態(tài)

圖3為窄開槽方案三維全橋顫振分析獲得的顫振形態(tài)，以矢跨比1∶10和1∶11為例，其余矢跨比的顫振形態(tài)與其相似，在此予以省略。

研究發(fā)現(xiàn)：

（1）顫振形態(tài)：最先出現(xiàn)的顫振形態(tài)均為加勁梁第一階正對稱扭轉(zhuǎn)為主、豎彎向自由度強烈參與的顫振形態(tài)，加勁梁側(cè)向振動參與程度較小，反對稱扭轉(zhuǎn)顫振晚于正對稱扭轉(zhuǎn)顫振出現(xiàn)，這種現(xiàn)象與矢跨比的變化無關(guān)。

（2）反對稱扭轉(zhuǎn)顫振形態(tài)：反對稱扭轉(zhuǎn)顫振形態(tài)以加勁梁的第一階反對稱扭轉(zhuǎn)振動為主，矢跨比為1∶8，1∶9，1∶10時，主要參與的豎向振動為加勁梁第一階反對稱豎彎振動，矢跨比為1∶11時，主要參與的豎向振動為加勁梁第二階反對稱豎彎振動。

（3）主纜振動形態(tài)：顫振臨界狀態(tài)時，主纜的豎向振動幅值遠大于加勁梁，說明對于特大跨度懸索橋，主纜的振動幅值很大，需要引起注意。另外，主纜沿橋梁軸向振動的幅值也較大。

3 二維和三維顫振分析結(jié)果的解釋

通過對特大跨度懸索橋二維和三維顫振分析的對比研究，不難發(fā)現(xiàn)無論從顫振臨界風(fēng)速還是顫振頻率來看，5000m特大跨度懸索橋的二維和三維顫振分析結(jié)果相差均較小，有較大程度的可比性，這有悖于人們對于特大跨度懸索橋的傳統(tǒng)認識。這種現(xiàn)象可以從以下幾個角度來解釋：

（1）三維顫振臨界狀態(tài)時，加勁梁的顫振形態(tài)是以扭轉(zhuǎn)為主的耦合顫振，豎彎振動在顫振運動中有較大程度的參與，加勁梁的側(cè)向振動模態(tài)雖然也參與了顫振運動，但是參與程度較小，不是導(dǎo)致顫振發(fā)散的主要模態(tài)。而二維顫振臨界狀態(tài)時，也是以加勁梁的扭轉(zhuǎn)為主的耦合顫振，豎向自由度參與較為強烈。從這點來看，兩者是統(tǒng)一的，只不過對于三維顫振分析，還有其它高階模態(tài)參與進來，高階模態(tài)的參與會有正負效應(yīng)，可能會升高或者降低顫振臨界風(fēng)速值。

（2）三維顫振分析時，計入了纜索系統(tǒng)的荷載，包括自激力和靜風(fēng)荷載，且考慮了這些荷載沿著高度的梯度變化。計入纜索系統(tǒng)的風(fēng)荷載相當(dāng)于增加了系統(tǒng)的氣動阻尼，可以提高顫振臨界風(fēng)速和降低顫振頻率，據(jù)已有文獻記載，江陰大橋顫振臨界風(fēng)速可以提高0.8%。

（3）三維顫振分析時，考慮了纜索系統(tǒng)的振型，這可以提高顫振臨界風(fēng)速，索橫弦向位移的參與，減小了顫振振型中主梁扭轉(zhuǎn)位移的比重，使橋梁吸收氣動阻尼的能力增加，而吸收氣動負阻尼的能力降低。這種因素導(dǎo)致懸索橋顫振臨界風(fēng)速提高，但是效果不明顯。

（4）三維顫振分析時，考慮了側(cè)向?qū)?shù)的影響，雖然只是按照擬靜力理論來擬合的側(cè)向氣動導(dǎo)數(shù)，但在一定程度上反映了側(cè)向?qū)?shù)對特大跨度懸索橋顫振性能的影響。有研究表明［16－17］，側(cè)向?qū)?shù)對某些加勁梁斷面的懸索橋有較大的影響。而在二維顫振分析中，沒有考慮側(cè)向?qū)?shù)的這種影響，這導(dǎo)致了二維和三維顫振分析結(jié)果的差異。

4 動力和靜力穩(wěn)定性能的關(guān)系

三維靜風(fēng)穩(wěn)定性能分析主要考慮氣動力非線性、結(jié)構(gòu)幾何非線性和材料非線性。隨風(fēng)速的增大，懸索橋自身風(fēng)荷載呈非線性增長，懸索橋整體剛度不斷發(fā)生變化；而當(dāng)風(fēng)速不變時，由于振動姿態(tài)（風(fēng)迎角、迎風(fēng)面積）的變化，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)構(gòu)件的靜風(fēng)力、力矩、位移等沿橋梁軸線不均勻分布，也會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的風(fēng)荷載和剛度發(fā)生變化，帶來風(fēng)荷載的非線性變化，即氣動力的非線性效應(yīng)。幾何非線性表示結(jié)構(gòu)有大變形發(fā)生，荷載和位移不服從線性關(guān)系，剛度矩陣在求解過程中不斷發(fā)生變化，不是固定的。懸索橋具有明顯的幾何非線性特征：首先懸索橋的主纜為幾何可變體系，主要依靠自重和加勁梁恒載獲得結(jié)構(gòu)剛度以抵抗變形，纜索受力狀態(tài)表現(xiàn)出明顯的幾何非線性性質(zhì)；其次懸索橋的加勁梁相對纖細和輕柔，結(jié)構(gòu)在外荷載的作用下較易產(chǎn)生大變形，整體平衡方程不是基于初始平衡位置建立，而是應(yīng)基于變形后的位置建立；長大的懸索橋主纜同時具有垂度效應(yīng)，這也帶來了懸索橋的幾何非線性。隨著懸索橋跨度的不斷增加，其幾何非線性效應(yīng)必將越來越顯著。材料非線性就是材料的本構(gòu)關(guān)系不是線性的，按照鋼材的理想彈塑性曲線進行計算輸入。按照桿系結(jié)構(gòu)的空間穩(wěn)定理論，懸索橋結(jié)構(gòu)靜力失穩(wěn)的問題可以表述為下述三重非線性（幾何、材料和風(fēng)荷載）方程［18］：

其中：

［Ke］為結(jié)構(gòu)彈性剛度矩陣；［］為重力引起的結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣；［］為風(fēng)荷載引起的結(jié)構(gòu)附加幾何剛度矩陣；［Kp］為結(jié)構(gòu)塑性剛度矩陣；G為結(jié)構(gòu)屈服面上的梯度矩陣；Mi為屈服面上的彎矩；Fi為軸向塑性力。

為研究5000m超大跨度懸索橋方案的靜風(fēng)穩(wěn)定性能，對兩種加勁梁方案的懸索橋分別進行了矢跨比為1∶8、1∶9、1∶10、1∶11的三維三重非線性靜風(fēng)穩(wěn)定全過程仿真模擬。計算獲得的靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速如圖4所示，并與三維顫振分析獲得的顫振臨界風(fēng)速相互對比，研究發(fā)現(xiàn)：5000m特大跨度懸索橋的顫振臨界風(fēng)速小于靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速，空氣動力失穩(wěn)是控制設(shè)計的關(guān)鍵因素；對于寬槽加勁梁方案，靜力扭轉(zhuǎn)發(fā)散臨界風(fēng)速與顫振失穩(wěn)臨界風(fēng)速大小相當(dāng)，在同一量級上，對空氣動力失穩(wěn)與靜力失穩(wěn)的極限分析應(yīng)置于同等重要的位置。

圖4 顫振與靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速的對比Fig.4 Comparison of critical flutter wind speed with aero static stability critical wind speed

5 結(jié) 論

從三維顫振穩(wěn)定性和三維三重非線性靜風(fēng)穩(wěn)定性的角度，對5000m特大跨度懸索橋的空氣動力穩(wěn)定性能進行了仔細研究，得出如下結(jié)論：

（1）開槽加勁梁方案的最低顫振臨界風(fēng)速大于60m／s，最高達到74m／s；靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速大于120m／s，顫振發(fā)散先于靜風(fēng)失穩(wěn)出現(xiàn)；顫振和靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速都隨著矢跨比的減小有所升高；

（2）寬開槽加勁梁方案的最低顫振臨界風(fēng)速大于80m／s，最高達到89m／s，靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速最低為83m／s，最高為94m／s。顫振發(fā)散和靜風(fēng)失穩(wěn)在相同的風(fēng)速數(shù)量級出現(xiàn)，顫振失穩(wěn)臨界風(fēng)速略大于靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速；顫振和靜風(fēng)失穩(wěn)臨界風(fēng)速都隨著矢跨比的減小有所升高；

（3）從顫振穩(wěn)定性能的角度看，寬開槽加勁梁斷面優(yōu)于窄開槽加勁梁方案。但是從靜風(fēng)穩(wěn)定性能的角度看，寬開槽加勁梁斷面次于窄開槽加勁梁方案，綜合考慮，寬開槽加勁梁方案在5000m特大跨度懸索橋的設(shè)計中優(yōu)于窄開槽加勁梁斷面；

（4）從三維空氣動力穩(wěn)定性能的角度證明：寬開槽和窄開槽加勁梁方案能給跨度達5000m的懸索橋提供足夠高的顫振失穩(wěn)與扭轉(zhuǎn)發(fā)散臨界風(fēng)速，并能滿足世界上絕大多數(shù)臺風(fēng)區(qū)的要求。

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