汪秉宏， 周 濤， 周昌松

（1.中國科學技術(shù)大學近代物理系，合肥 230026；2.上海理工大學復雜系統(tǒng)科學研究中心，上海 200093；3.電子科技大學互聯(lián)網(wǎng)科學中心，成都 610054；4.香港浸會大學物理系，香港；5.香港浸會大學非線性研究中心，香港）

在自然界、工程、經(jīng)濟和社會的各個領域都有大量復雜體系.十二五提出的可持續(xù)和諧發(fā)展的長遠規(guī)劃對復雜體系，尤其是對與人相關(guān)的復雜系統(tǒng)的研究提出了前所未有的要求.特別是近十幾年來，科學研究的一個巨大變化，就是越來越多地對復雜體系進行系統(tǒng)層次的綜合統(tǒng)計物理學分析.這一趨勢的形成由科學研究在幾個方面長期積累的合力引起，包括：a.復雜性研究的進展.幾十年以來，非線性和復雜性統(tǒng)計物理研究通過模型的理論研究發(fā)展了一套概念和方法來分析耦合體系中復雜的涌現(xiàn)行為，比如人和動物的集群行為.這些行為只出現(xiàn)在系統(tǒng)層次，為分離的系統(tǒng)單元所不具有.這些理論進展導致了科學概念的革命性變化，出現(xiàn)了新興的學科方向，如系統(tǒng)生物學等.特別是過去10多年來統(tǒng)計物理從傳統(tǒng)研究相對獨立的多粒子體中標度與普適現(xiàn)象轉(zhuǎn)移到研究大規(guī)模復雜體系中各單元或子系統(tǒng)之間相互作用的復雜結(jié)構(gòu)關(guān)系，形成了一個跨學科的、影響至深的復雜網(wǎng)絡領域.b.海量數(shù)據(jù)采集和處理技術(shù)的發(fā)展.計算機技術(shù)的進步使得大規(guī)模的數(shù)據(jù)采集取得突飛猛進的變化，提供了大量研究復雜體系結(jié)構(gòu)與演化的實證數(shù)據(jù)，如計算機網(wǎng)絡、萬維網(wǎng)、交通運輸網(wǎng)等.大量有關(guān)人類個體和集體行為的數(shù)據(jù)也為定量研究復雜社會體系提供了前所未有的契機.

目前正處于一個統(tǒng)計物理大革新的時代，許多史無前例的、事關(guān)社會經(jīng)濟發(fā)展的復雜體系正迫切等待發(fā)展新的統(tǒng)計物理分析手段和理論模型來對它們進行全面深入的認識.復雜體系的系統(tǒng)層次統(tǒng)計物理研究雖然已成潮流，然而它卻面臨巨大的挑戰(zhàn).最大的問題是理論模型及計算研究與大規(guī)模真實數(shù)據(jù)之間還存在一個巨大的鴻溝.復雜性統(tǒng)計理論模型往往沒有考慮到許多真實體系，特別是與人個體或群體有關(guān)的生命和社會體系是變化過程中經(jīng)過選擇優(yōu)化的結(jié)果，對它們的多重約束在這樣一個優(yōu)化問題中沒有得到足夠的重視和認識.其次，作為開放系統(tǒng)，它與環(huán)境交換能量和物質(zhì)的邊界條件對優(yōu)化結(jié)果的選擇起到至關(guān)重要的作用.這些是研究真實復雜體系的真正挑戰(zhàn)所在.當模型的構(gòu)建和分析沒有足夠考慮這些重要方面時，理論結(jié)果往往與真實系統(tǒng)很難相符，甚至于不相關(guān).對這些內(nèi)在約束和外在邊界條件的了解有賴于對具體的復雜體系進行細致深入的實驗實證研究.

雖然技術(shù)的進步為在系統(tǒng)層次觀測和收集數(shù)據(jù)提供了前所未有的機會，大規(guī)模的數(shù)據(jù)積累也非常之快.然而，有組織、有針對性地從實驗實證數(shù)據(jù)探索系統(tǒng)的內(nèi)外約束條件還處于初步階段.因而，如何分析應用這些數(shù)據(jù)來全面理解真實系統(tǒng)的行為卻進展甚微.關(guān)鍵的問題是缺乏有效的理論框架，所獲得的數(shù)據(jù)在數(shù)量上可能很大，卻不一定有很強的針對性，信息比較散雜.數(shù)據(jù)中大量貌似雜亂可往往包含有用的系統(tǒng)組織信息，由于缺乏有效的理論指導，在數(shù)據(jù)挖掘中很可能當作噪聲被丟棄了.所得的系統(tǒng)信息不易串聯(lián)在一起形成有效的關(guān)于體系在受到多重約束和邊界條件下的組織圖像.如在認知神經(jīng)科學領域，大腦自發(fā)的復雜活動通常作為噪聲處理，大大限制了對這樣一個動態(tài)復雜體系結(jié)構(gòu)和功能的認識.經(jīng)濟、社會領域的數(shù)據(jù)積累也往往缺乏系統(tǒng)的理論指導.

由于對這些根本性的挑戰(zhàn)還缺乏比較全面深入的認識，復雜體系的統(tǒng)計物理研究還處于初步階段.我國有不少學者在復雜性一般模型和理論方面展開了比較活躍的研究，但還缺乏有意識、有組織和有規(guī)模的在理論和數(shù)據(jù)有機結(jié)合上的系統(tǒng)化發(fā)展.因此，很有必要基于當前國內(nèi)研究團隊的分布，組織國內(nèi)的科研合作力量，把理論研究和實證分析緊密結(jié)合起來，縮小理論及計算研究與大模型實驗實證數(shù)據(jù)之間的鴻溝，從而在根本上推動我國在復雜系統(tǒng)統(tǒng)計物理這一新興領域的進步，在國際學術(shù)競爭中占一席之地，甚至處于領軍位置.

下面將對人類行為、復雜網(wǎng)絡、信息挖掘等3種復雜系統(tǒng)的統(tǒng)計物理研究最新進展和主要問題分別進行詳細闡述和分析.

1 人類行為動力學

人類行為具有高度的復雜性.研究人類行為中的規(guī)律，對于經(jīng)濟學、社會學、管理學的研究和應用有著極為重要的價值.長期以來，對人類社會行為的研究主要為心理學所關(guān)注，通過心理學實驗的方法，研究人類在各種環(huán)境下的心理反應是其主要的研究手段.

最近數(shù)十年來，人們在復雜系統(tǒng)研究領域內(nèi)取得了令人矚目的成就.復雜系統(tǒng)的研究具有著天然的綜合性和交叉性，它所涉及的問題幾乎遍及人們所研究的絕大多數(shù)領域，不但包括物理學、生物學等自然科學學科，也包括了經(jīng)濟學、社會學等社會科學學科.隨著對復雜系統(tǒng)研究的不斷深入，該領域的研究對各種社會學科的滲透越來越強烈，其理論影響和實際應用也越來越廣泛.近年來，對人類行為的統(tǒng)計研究已經(jīng)成為復雜系統(tǒng)中的一個重要議題.

不同于傳統(tǒng)心理學實驗方法，復雜系統(tǒng)研究者對于人類行為的研究主要通過統(tǒng)計物理方法.通過對大量人類行為事件進行定量統(tǒng)計，研究其中所隱藏的統(tǒng)計性規(guī)律，并根據(jù)所研究的問題，提出基本假設，建立理論模型，來探索這些規(guī)律的產(chǎn)生機制和可能的動力學影響.基于這樣的研究方法，近年來人們發(fā)現(xiàn)了人類行為中所存在的大量特殊現(xiàn)象和規(guī)律，這些發(fā)現(xiàn)引發(fā)了人們更深一步地探索人類社會行為的熱潮.特別是從2005年以來，僅在《Nature》、《Science》、《PNAS》、《PRL》等強影響因子期刊上就已經(jīng)發(fā)表了30余篇文章.

1.1 人類行為時間統(tǒng)計特性的實證研究

以往一些對社會、經(jīng)濟系統(tǒng)的研究中，常常把單個人的行為簡化為可以使用泊松過程描述的穩(wěn)態(tài)隨機過程.這種假設必然導致的推論是人的行為的時間統(tǒng)計特征應該是較為均勻的，兩個相繼行為之間存在極大時間間隔的概率很小.但是，自2005年以來，通過對電子郵件發(fā)送與回復、郵件通信等人類行為的時間間隔的實際統(tǒng)計，人們發(fā)現(xiàn)這些行為存在與上述假設極為不同的特性［1－2］：長時間靜默與短期內(nèi)高頻率的爆發(fā)同時呈現(xiàn)在這些人類行為中，其時間間隔分布存在滿足反比冪函數(shù)的胖尾，也就是說，這些行為的發(fā)生過程是不能用泊松過程描述的.這一出人意料的研究結(jié)論提示人們，人類的個體行為可能存在復雜的動力學機制，而隨之而來的一個重要問題是這種非泊松特性在人類行為中是不是普遍存在，人們對這一問題進行了極為廣泛的研究.

通過各種不同的數(shù)據(jù)收集方法，人們的研究涉及市場交易［3－6］、網(wǎng)站瀏覽［7－8］、電影點播［9］、欣賞網(wǎng)絡音樂［10］、手機通訊［11］、在游戲及虛擬社區(qū)中的行為［12－13］、計算機指令的使用行為［14］等，包含了商業(yè)行為、娛樂行為、日常使用習慣等眾多的人類行為.在這些行為中，普遍發(fā)現(xiàn)有類似的偏離泊松過程的特性.這些現(xiàn)象顯示出，除了受到生理周期強烈影響的部分行為外，時間間隔統(tǒng)計所顯示的非泊松特性可能是在人類行為中普遍存在的.

除了時間間隔分布，部分人類行為事件前后時間間隔的相關(guān)性也得到了研究者的注意.研究發(fā)現(xiàn)，這些人類行為相鄰時間間隔的相關(guān)性并不明顯，而其它同樣存在爆發(fā)性和長期靜默性的自然現(xiàn)象（如地震等）卻常常存在正的相關(guān)性［15］.這一項研究初步把人類行為和其它復雜系統(tǒng)中的行為特性進行了比較，暗示可能存在統(tǒng)一的深層機制.

1.2 人類行為動力學模型研究

上述統(tǒng)計特性說明人類的眾多行為不能使用泊松過程來描述，那么一個重要的問題是這種胖尾分布行為特征的來源是什么.目前一種重要的解釋是基于任務隊列理論的［1，16－18］，它把人的各種日常行為視作處理一系列的任務，并根據(jù)日常生活經(jīng)驗假設對這些待處理任務進行優(yōu)先級劃分.首先處理高優(yōu)先級者，指出這種具有優(yōu)先權(quán)的行為模式是造成胖尾分布的重要原因.這種基于任務隊列的理論模型可以合理地解釋很多人類行為中的非泊松特性，例如電子郵件和水陸郵件的發(fā)送等，而且可以相當容易地推廣到存在多個個體之間交互的情況［19］，在解釋人類行為時間統(tǒng)計胖尾分布特征方面取得了很大的成功.

此外，由于人類行為的復雜性，影響人類行為的因素是多種多樣的，所以，有部分研究從不同于任務隊列的方面出發(fā)，提出了多種非排隊論模型.例如，有的工作考慮了人類行為中的記憶效應［20］，有的研究了行為的周期性和季節(jié)性對非泊松機制的影響［21］，近期的一種理論從多重泊松分布的角度解釋了人類的行為特性［22］.

最后，國際上有少數(shù)工作研究了人類行為的非泊松特性對網(wǎng)絡傳播、通訊等動力學過程的影響.例如，發(fā)現(xiàn)相比于一般的泊松特性，這種非泊松特性可以給系統(tǒng)帶來一些特殊性質(zhì)，如更快的傳播速度等［23］.由于這一領域發(fā)展時間很短，在這一問題上還有海量的工作等待開展.

1.3 人類行為空間統(tǒng)計特性的研究

除了發(fā)現(xiàn)人類行為的時間間隔分布中廣泛存在有非泊松特性，最近也發(fā)現(xiàn)在人類行為的空間分布中也存在有非泊松特性等復雜現(xiàn)象.2006年，通過統(tǒng)計帳單傳遞［24］，人們間接地發(fā)現(xiàn)了人類的旅行行程分布存在接近于冪律的胖尾.2008年，Gonzalez等［25］通過統(tǒng)計移動電話用戶在不同基站區(qū)域的漫游過程，更進一步地研究了人的旅行行程分布，同樣發(fā)現(xiàn)該分布具有無標度特性，與早期的結(jié)果基本一致.更為直接的基于GPS數(shù)據(jù)的統(tǒng)計結(jié)論［26］也支持人類行程分布中存在無標度特性.此外，在生物學觀測方面也發(fā)現(xiàn)大量的動物物種的運動具有類似冪律形式的行程分布［27－29］.由于這種冪律形式的行程分布存在較高頻率的遠程運動，它無法通過經(jīng)典的隨機行走進行描述.這種行程分布的廣泛性，使得人們需要去思考它背后的動力學機制是什么.雖然對于動物行為中的冪律行程分布已經(jīng)提出了覓食效率優(yōu)化［30－31］、嗅覺梯度機制［32］、確定性行走［33］等，目前對人類這種行程分布模式產(chǎn)生機制的解釋方面的研究仍然是空白.另一方面，由于這類非泊松特性常常會使得系統(tǒng)出現(xiàn)若干特殊性質(zhì)，那么這種人類行為的空間分布上的非泊松特性同樣可能影響到城市交通、人流控制、緊急避險等系統(tǒng)的運作，可能會使其帶有若干特殊性質(zhì)，這些問題目前尚未被研究，也值得研究者的注意.

1.4 人類行為動力學對傳播的影響

人類行為的特性，不僅幫助人們更好地了解自己的行為特征，進一步挖掘這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)背后所隱藏的人類特性，還關(guān)系到了人們對于多個方向的模擬和理解，其中討論最多的，應屬人類動力學對于疾病在人群中傳播的影響.在這里主要從時間和空間兩個方向來介紹人類行為對于傳播速度、波及范圍、預防策略等的影響.

經(jīng)典疾病傳播模型都基于一些有悖于人類真實行為的假設：a.人活動的時間間隔相同，即所有人都均勻地在每個時間步活動一次，這里的“活動”，是指傳播或康復的行為；b.所有人活動的頻率在群體中是無差別的，即每個個體的活動密度一樣.然而，參考前文人類時間間隔實證統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，這些假設與人類行為具有的陣發(fā)性、記憶性和活躍性有著很大的出入.

為關(guān)注人類活動的陣發(fā)性對于病毒傳播的影響，Vázquez等用人們查收E－mail的兩組數(shù)據(jù)，分別為3 188個用戶之間發(fā)送的129 135封郵件，1 729 165個用戶之間互發(fā)的39 046 030封郵件，在實證數(shù)據(jù)的網(wǎng)絡上，根據(jù)真實時間間隔，模擬了網(wǎng)絡上計算機病毒的傳播情況［23］.以天和小時為單位的統(tǒng)計結(jié)果，都表明人類行為的時間間隔滿足冪律分布，會極大程度上減慢病毒的傳播.人類活動的陣發(fā)性對于病毒傳播具有明顯的延遲作用.

文獻［34］也運用SIR模型通過模擬，討論了時間分布的陣發(fā)性對于傳播過程的影響，設置了存在等待時間的模型，并得到結(jié)論：時間的異質(zhì)性越強，病毒存活的概率越小.

在人類活動時間間隔滿足陣發(fā)性的基礎上，為探討時間序列的記憶性對傳播過程的影響，Karsai等基于電話網(wǎng)絡的實證數(shù)據(jù)，時間跨度為9個月，在規(guī)模為N＝4.6×106的網(wǎng)絡上模擬傳播［35］.通過對比網(wǎng)絡是否含權(quán)重、網(wǎng)絡是否有向、通話時間分布是否有記憶性，模擬結(jié)果表明，人類行為時間和空間上的異質(zhì)性會一定程度地減慢傳播過程.

時間的異質(zhì)性又體現(xiàn)在個體與群體兩個層面上，也有工作進一步比較了兩者對于疾病傳播速度的影響［36］.所謂群體層面的時間異質(zhì)性，是指每個人活動的時間序列間隔平均，而人與人之間的頻率有較大差別，滿足冪律分布.但是個體層面的時間異質(zhì)性，表現(xiàn)為人與人之間活動的頻率相同，而單人活動的時間間隔滿足冪律分布.群體層面上時間的異質(zhì)性對傳播速度的影響非常大，相比之下，個體層面上的對傳播影響很小.

為了揭示人類的行程分布對于傳播過程的影響，Ni等利用連接概率與度成正比，與歐氏距離成反比的機制，構(gòu)造網(wǎng)絡，并在網(wǎng)絡上模擬傳播過程［37］.研究發(fā)現(xiàn)，行程分布的幾何特征越鮮明，即人們更傾向于去到距離自己歐氏距離比較近的地方，病毒傳播所波及的范圍就越小，持續(xù)時間也就越短.

相比于個體形成分布的活動特征，更多人關(guān)注宏觀意義上人類的長程旅行對于病毒在城市間擴散的影響.早在2004年，Hufnagel等就在美國航空網(wǎng)絡上，假設人口密度隨機分布，建立了SARS病毒傳播的模型［38］.該模型考慮了局部病毒傳播和城市間由于飛行造成病毒傳播兩種因素，模擬出的結(jié)果與實證很好地吻合，并提出了有效預防及抑制疾病傳播的策略.針對以上模擬及解析結(jié)果，Hufnagel等還提出了相應的預防策略.通過模擬，比較了減少局部地區(qū)個體接觸和減少長程出行兩種預防策略.得出孤立城市，即減少城市間的長程旅行可以更有效地防治疾病擴散，并給出了集中早期進行疫苗注射的顯著效果［38］.此后，2006年Colizza等專門就人類長程出行的拓撲結(jié)構(gòu)對于病毒擴散造成的影響進行了研究［39］.為了進一步探究網(wǎng)絡的拓撲結(jié)構(gòu)對于疾病人數(shù)分布的影響，還提出了病毒分布熵的概念，來刻畫病毒流行的地區(qū)異質(zhì)性.通過與實際網(wǎng)絡病毒傳播情況的對比，發(fā)現(xiàn)以前很多刻畫人類行程拓撲結(jié)構(gòu)的模型在細節(jié)上還需改進.

1.5 國內(nèi)相關(guān)研究進展

該領域興起也引起了國內(nèi)研究者的注意.目前，中國科學技術(shù)大學復雜系統(tǒng)課題組、上海理工大學管理學院、上海交通大學自動化系等都已經(jīng)有相關(guān)的研究論文在國內(nèi)外學術(shù)期刊上發(fā)表.這些工作可以簡述如下.

在實證方面，中國科學技術(shù)大學復雜系統(tǒng)課題組的周濤等與韓國成均館大學及瑞典皇家學院合作研究了電影點播中的人類行為模式以及與個體活動性之間的關(guān)系［9，40］；洪偉等研究了人類短消息通訊中的時間間隔分布［41］，發(fā)現(xiàn)了多種無標度特性；上海理工大學課題組的張寧、李楠楠和周濤合作分析了魯迅、錢學森等名人的郵件通訊數(shù)據(jù)［42－43］；上海交通大學的胡海波等人研究了網(wǎng)絡在線音樂的收聽行為［10］.在理論模型方面，中國科學技術(shù)大學的韓筱璞等提出可自適應調(diào)節(jié)的興趣機制來解釋人類行為的非泊松特性［44－45］.此外，上海理工大學方面還發(fā)表了針對人類動力學的中文綜述［46］；上海理工大學的郭進利等和中國科學技術(shù)大學的周濤等合作編寫出版了專著《人類行為動力學模型》［47］；中國科學技術(shù)大學的周濤、韓筱璞、汪秉宏也在世界科學出版社出版的專著《Science Matters：Humanities as Complex Systems》中撰寫了關(guān)于人類動力學研究的一個專門章節(jié)［48］.

1.6 面臨的主要問題

由于該領域的發(fā)展時間短暫，目前仍存在大量問題有待于深入研究.

a.已有的實證統(tǒng)計主要針對個體行為，但仍然存在大量的個體行為特性未被研究，已有的研究結(jié)果難以根據(jù)統(tǒng)計特性區(qū)分個體行為的主要類別，而針對團體行為的實證研究更幾乎是空白.事實上，人類的行為常常受到社會關(guān)系的影響，這方面定量的實證研究仍然非常欠缺.另外，一些最近發(fā)展的理論，例如人類動力學的普適類假說，受到了新的實證數(shù)據(jù)的挑戰(zhàn)，更清晰和令人信服的圖景需要更多和更深入的實證分析.

b.除了人類的個體行為，目前所做的一些最新統(tǒng)計也發(fā)現(xiàn)，一些社會團體的宏觀行為也具有類似的非泊松特性，如國家之間戰(zhàn)爭的時間間隔分布等.由于目前的實證統(tǒng)計有限，對于社會團體而言，這些特性在多大范圍內(nèi)存在，是否與人類個體行為具有相似的生成機制，都仍然是未知問題，需要進行深入的研究.

c.在研究人類行為的空間分布方面，目前的實證數(shù)據(jù)都是根據(jù)帳單、手機漫游等數(shù)據(jù)間接獲得，缺少對人類行為空間分布的直接觀察，而其產(chǎn)生機制和動力學效應方面的研究目前幾乎沒有.

d.目前的理論模型研究，雖然已經(jīng)提出了多種唯相機制來解釋人類行為中的非泊松特性，但是這些機制難以覆蓋全部人類行為中的非泊松特性現(xiàn)象，需要提出新的更具有普適性的模型.

e.人類行為特性對各種社會系統(tǒng)動力學效應的影響研究，盡管已經(jīng)出現(xiàn)了少數(shù)成果，但因涉及問題眾多，導致許多研究空白，大量工作需要深入進行.例如人類行為的空間分布特性是如何影響城市交通等.

2 復雜網(wǎng)絡動力學——同步與神經(jīng)動力學

2.1 復雜網(wǎng)絡：科學與技術(shù)的新前沿

過去的10多年，人們見證了由一個影響深遠的交叉學科“復雜網(wǎng)絡”的出現(xiàn)帶來的復雜系統(tǒng)研究上的重大革新（見文獻［49－50］）.在很多真實世界中的復雜系統(tǒng)中，系統(tǒng)基本元素之間相互作用構(gòu)成了復雜的拓撲連接［51－53］.來自不同學科領域的這些復雜網(wǎng)絡既不是規(guī)則連接也不是隨機連接，而是具備兩個共同的特性.這兩個共同的特性分別是由較短路徑長度所描述的小世界特性［54］和具有很大連接（度）的中心節(jié)點的無標度特點［55］.

復雜網(wǎng)絡領域的主要方向是圖理論分析工具的發(fā)展以及將這些工具應用于刻畫不同領域里的復雜系統(tǒng)［49－50］.在復雜網(wǎng)絡領域的研究方法中，復雜系統(tǒng)的基本元素是由節(jié)點來表示，元素之間的相互作用是由邊來表示，而元素和相互作用的一些細節(jié)特點通常被忽略.

在對復雜系統(tǒng)的研究中，上述過度簡化的研究方式限制了方法的效能.一個很大的挑戰(zhàn)是，對整個網(wǎng)絡的全局統(tǒng)計量（如平均路徑長度、簇系數(shù)等）進行測量時，網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)并不能夠真正決定系統(tǒng)的行為.例如，由腦皮層區(qū)域之間長程連接所構(gòu)成的大腦網(wǎng)絡的小世界和無標度特點［56－57］確實能對大腦的功能表現(xiàn)提供一些視角，但是要想對大腦功能作出更重要的深入理解需要基于對神經(jīng)元和復雜網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的重要特性綜合之后對大腦的動力學進行深入細致的分析.

將網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)和復雜系統(tǒng)行為聯(lián)系起來的重要一步是對在網(wǎng)絡上發(fā)生的動力學過程進行研究［50，58］.在很多復雜系統(tǒng)的動力學研究中，特別是對于神經(jīng)系統(tǒng)［59－60］，復雜網(wǎng)絡振子同步作為共同行為自組織現(xiàn)象的重要機制已經(jīng)成為深入探索的一個重要課題（見文獻［61］）.

2.2 復雜網(wǎng)絡同步研究的成就及重大挑戰(zhàn)

在振子同步性問題上，研究的焦點集中考慮網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)方面，特別是小世界和無標度特性的影響上［61－71］.在整個網(wǎng)絡的全局同步方面，很多工作要么考慮全同振子實現(xiàn)的完全同步或者是非全同振子由于鎖相實現(xiàn)的協(xié)作振動［61］.之前已經(jīng)有很多研究主要使用主穩(wěn)定性方程來探索完全同步狀態(tài)的穩(wěn)定性，而在這個方法中，根本不考慮振子的特殊屬性，而是將網(wǎng)絡同步性與網(wǎng)絡的特征譜掛鉤［65－70］.文獻主體部分是通過對權(quán)重和耦合強度的拓撲結(jié)構(gòu)進行調(diào)整來加強振子的全局同步性［61，67－71］.

雖然完全同步非常方便進行穩(wěn)定性分析，但是它不是真實的復雜系統(tǒng)中最自然的狀態(tài).相反，大尺度的強同步對應的是系統(tǒng)病態(tài)情況，如社會災難、癲癇發(fā)作，真實系統(tǒng)是不希望出現(xiàn)這些狀態(tài)的.真實系統(tǒng)特別是神經(jīng)系統(tǒng)，為了實現(xiàn)正常功能需要不同層次的同步，使得系統(tǒng)通過分割成不同動力學模塊在各自的子系統(tǒng)里實現(xiàn)特殊的功能.同時，這些專門的模塊間相互作用有效地實現(xiàn)了分割處理的信息整合.

最近，網(wǎng)絡研究中將網(wǎng)絡分成不同拓撲模塊的研究方法已經(jīng)引起了廣泛關(guān)注［72－75］.除了小世界和無標度特性，模塊化是真實網(wǎng)絡另一個普適特征.例如在神經(jīng)系統(tǒng)中，數(shù)十億神經(jīng)元被耦合形成不同層次的（從單神經(jīng)元連接組成的神經(jīng)柱，由不同神經(jīng)柱連接再形成的功能區(qū)域）模塊網(wǎng)絡.通過模塊之間不同層次上的合作同步，模塊結(jié)構(gòu)為系統(tǒng)實現(xiàn)功能的分類和整合提供了一個天然基礎.雖然關(guān)于模塊研究的最近一些工作仍然考慮完全同步態(tài)的穩(wěn)定性問題［76］，但是主流趨勢已經(jīng)轉(zhuǎn)移來研究系統(tǒng)在并未完全同步時動力學模塊的形成，這個方法同時用于探測網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)模塊［77－81］.

值得注意的是，很多之前著名的研究仍然將網(wǎng)絡隨時間變化的動力學（如網(wǎng)絡演化［49］）和動力學行為在網(wǎng)絡上的表現(xiàn)（如同步，信息傳播［50，58］）分開考慮.然而在大量真實的復雜網(wǎng)絡系統(tǒng)中，結(jié)構(gòu)與動力學的相互影響是至關(guān)重要的.不只是結(jié)構(gòu)決定了動力學斑圖，反過來動力學也使得結(jié)構(gòu)進行了與之相適應的調(diào)整，后者在眾所周知的神經(jīng)系統(tǒng)的學習機制中表現(xiàn)得尤為明顯.很多真實系統(tǒng)自組織了網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，并且在兩者共同演化中實現(xiàn)了對功能的優(yōu)化.有些工作開始關(guān)注在適應性網(wǎng)絡上來對結(jié)構(gòu)和功能的相互影響進行分析［82－84］.

綜上所述，在振子網(wǎng)絡的理論分析和模型研究中的主要挑戰(zhàn)一方面是刻畫復雜同步斑圖的復雜性程度與網(wǎng)絡不同層次結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)，另一方面是探索在各個層次里通過結(jié)構(gòu)模塊和動力學模塊的相互影響實現(xiàn)兩者的自組織.這個方向的探索剛剛起步，將長期影響對可以用振子及其同步來根本表現(xiàn)其功能的真實復雜系統(tǒng)，特別是神經(jīng)系統(tǒng)的理解［59－60］.

2.3 神經(jīng)網(wǎng)絡與神經(jīng)動力學

由幾百億個神經(jīng)元通過極其復雜的、多層次連接而形成的大腦皮層神經(jīng)系統(tǒng)是自然界中所知的最為復雜的動力學網(wǎng)絡體系.它的結(jié)構(gòu)與動力學直接關(guān)系到大腦的各種功能及相應的精神疾病和認知障礙.最近10多年來，由于腦造影技術(shù)的進步，人們已在系統(tǒng)層次對大腦的連接及活動積累了非常多的有益數(shù)據(jù).如何分析理解這些數(shù)據(jù)從而了解大腦大規(guī)模的復雜結(jié)構(gòu)、動態(tài)活動及認知功能之間的關(guān)系，必將是未來研究大腦蓬勃發(fā)展的新方向.

在過去幾十年內(nèi)，非線性與復雜性物理科學的各種理論和方法得到長足的發(fā)展，并將其應用于神經(jīng)科學領域.特別是復雜網(wǎng)絡方法的應用已經(jīng)勾勒出一個關(guān)于大腦的新圖景，使得可以從解剖學上的神經(jīng)連接層面以及動力學，也就是大腦功能上的區(qū)域相互關(guān)聯(lián)層面上來研究這個復雜的神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)［58，85－86］.在大腦的系統(tǒng)層面上，根據(jù)之前的研究［26，87］，由哺乳動物腦區(qū)間的長程連接所構(gòu)成的腦皮層網(wǎng)絡已經(jīng)展示出小世界和無標度特性.這個發(fā)現(xiàn)的意義是巨大的，它暗示著每個腦區(qū)的活動都可能同時被其它腦區(qū)的活動影響.由測量到的不同腦區(qū)活動相關(guān)性所得到的大腦功能區(qū)之間相互作用的功能網(wǎng)絡也展示了這個復雜的大腦斑圖，這一點甚至當大腦處于靜息態(tài)，也就是說大腦在沒有外感覺輸入，只有完全自發(fā)的自組織活動的狀態(tài)下也同樣存在［88－90］.傳統(tǒng)的認知神經(jīng)科學在過去的10多年也開始轉(zhuǎn)而研究大腦自發(fā)活動在功能上的影響［91］.然而，認知科學方面的分析還是主要局限在考慮由少量腦區(qū)所組成的自下而上（前饋）或者自上而下的（反饋）機制［60］.與只研究少量腦區(qū)相比，從復雜網(wǎng)絡角度同時研究神經(jīng)系統(tǒng)中各部分的相互作用將會帶來關(guān)于動力學和功能的相互關(guān)系方面更多的信息，但是該如何解讀這些信息又是需要考慮的問題.

大腦的復雜網(wǎng)絡假設呼喚著新的方法來揭示出大腦大尺度的功能網(wǎng)絡和認知過程的關(guān)聯(lián).如今基于網(wǎng)絡的分析和測量工具不足以應付研究復雜的大尺度動力學相互作用斑圖，并將它們與只在50～100ms的短時間窗口里發(fā)生的各種認知過程相聯(lián)系.現(xiàn)在這些復雜的大腦網(wǎng)絡特征分析只是局限于討論網(wǎng)絡的全局統(tǒng)計量，如簇系數(shù)、平均路徑長度等.而對于功能網(wǎng)絡的分析也主要是考慮在長時間尺度下統(tǒng)計意義上的腦區(qū)活動相互作用斑圖.普適網(wǎng)絡理論對于結(jié)構(gòu)和動力學關(guān)系的探索只是局限在一些理想的情況下，如復雜網(wǎng)絡中振子同步問題已經(jīng)被大量研究（見文獻［77－81］）.但是，這些研究主要是集中在全局同步上［61－64，92－94］，也就是整個網(wǎng)絡的完全同步.通過理論的穩(wěn)定性分析可知，大尺度完全同步并不允許信息的分割處理，這一點與神經(jīng)系統(tǒng)中需要信息的分隔處理與整合的恰當平衡相抵觸，因而與神經(jīng)系統(tǒng)的疾病狀態(tài)相對應，如癲癇發(fā)作［92－94］.

因此，對大腦復雜的連接結(jié)構(gòu)、活動的統(tǒng)計分析和模擬研究的挑戰(zhàn)是如何把復雜網(wǎng)絡和復雜動力學系統(tǒng)的一般理論同真實神經(jīng)系統(tǒng)的特異性有機結(jié)合，發(fā)展新的理論方法并把它應用到真實的數(shù)據(jù)分析和模型的建立上.這需要從事復雜性統(tǒng)計物理研究的學者與神經(jīng)科學家之間的緊密合作.

3 信息挖掘的統(tǒng)計物理分析

隨著因特網(wǎng)的迅猛發(fā)展，接入因特網(wǎng)的服務器數(shù)量［95］和World Wide Web上網(wǎng)頁［96］的數(shù)目都呈現(xiàn)出快速增長的態(tài)勢.用戶可得信息量的激增使得人們的生活變得多元化，但與此同時，也帶來了信息過載的問題.例如，Netflix上有數(shù)萬部電影，Amazon上有數(shù)百萬本書，Del.icio.us上面有超過10億的網(wǎng)頁收藏.如此多的信息，別說找到自己感興趣的部分，即使是瀏覽一遍標題也是不可能的.信息過載，簡單來說，就是信息量的激增使得信息的利用率反而降低.高效準確的信息推薦技術(shù)，特別是針對不同用戶不同喜好的個性化推薦技術(shù)，是解決信息過載問題最有前途的方案［97］.另外需要注意的是鏈路預測技術(shù)，這是一種不完整信息重構(gòu)的有效手段.下面，將從信息推薦理論和算法，以及鏈路預測理論和算法兩方面進行敘述.

3.1 關(guān)于信息推薦

個性化推薦系統(tǒng)，本質(zhì)上講是根據(jù)用戶對相關(guān)產(chǎn)品的歷史評價，代替用戶評估他尚未接觸的產(chǎn)品的一種工具［98］.這些產(chǎn)品包括書、電影、CD、網(wǎng)頁，甚至可以是飯店、音樂、繪畫等.個性化推薦系統(tǒng)作為一個獨立的概念，在20世紀90年代已經(jīng)被提出.由于Web 2.0技術(shù)的發(fā)展和成熟，用戶可以方便地針對網(wǎng)上服務提供反饋信息，這些反饋信息可以反映用戶的喜好，從而被網(wǎng)絡服務提供商用來進行推薦.因此，最近幾年，個性化推薦系統(tǒng)的研究得以迅猛發(fā)展.

雖然早在1992年開發(fā)的Tapestry系統(tǒng)就己經(jīng)是真正意義上的信息推薦系統(tǒng)了，但推薦系統(tǒng)的概念直到1997年才由Resnick和Varian正式定義［98］，推薦技術(shù)也才逐步發(fā)展為一個獨立的研究領域.《Communications of ACM》分別于1992年和1997年出版了兩期推薦系統(tǒng)的專刊，國際著名期刊《Journal of Information Technology and Tourism》、《ACM Transactions on Information System》、《ACM Transactions on Computer－Human Interaction》、《International Journal of Electronic Commerce》、《IEEE Intelligent Systems》、《AI Communications》等也分別于2003年、2004年、2005年、2007年出版了推薦系統(tǒng)的?？?除這些?？?，多個頂級的國際會議，如CHI、ACM SIGIR、ECAI、AAAI、ReColl等都設立專門的推薦系統(tǒng)的工作組.由于推薦系統(tǒng)的重要地位，ACM SIGIR設立了專門的推薦系統(tǒng)會議，其第一屆會議于2007年在美國明尼蘇達大學召開，第二屆會議于2008年在瑞士洛桑理工大學召開.

一般而言，信息推薦系統(tǒng)通常包括3個組成要素［97］：推薦候選對象、用戶和推薦方法.其中，推薦方法是整個推薦系統(tǒng)中最核心、最關(guān)鍵的部分，在很大程度上決定了推薦系統(tǒng)的性能.目前，針對推薦方法的分類也有好幾種，其中多數(shù)研究者將推薦技術(shù)分為3類：基于協(xié)同的推薦（協(xié)同過濾）、基于內(nèi)容的推薦和混合推薦技術(shù).

a.協(xié)同過濾系統(tǒng).協(xié)同過濾系統(tǒng)是最早被提出并得到廣泛應用的推薦系統(tǒng)，其核心思想可以分為兩部分［99］.首先，利用用戶的歷史信息計算用戶之間的相似性；然后，利用與目標用戶相似性較高的鄰居對其它產(chǎn)品的評價來預測目標用戶對特定產(chǎn)品的喜好程度.系統(tǒng)根據(jù)這一喜好程度來對目標用戶進行推薦.協(xié)同過濾推薦系統(tǒng)最大的優(yōu)點是對推薦對象沒有特殊的要求，能處理音樂、電影等難以進行文本結(jié)構(gòu)化表示的對象.Grundy被認為是第一個投入應用的協(xié)同過濾系統(tǒng)［100］，該系統(tǒng)通過建立用戶興趣模型給用戶推薦相關(guān)的書籍；Tapestry郵件處理系統(tǒng)人工確定用戶之間的相似度［101］；GroupLens建立用戶信息群，群內(nèi)的用戶可以發(fā)布自己的信息，依據(jù)社會信息過濾系統(tǒng)計算用戶之間的相似性，進而向群內(nèi)的其他用戶進行協(xié)同推薦［102］；Ringo利用社會信息過濾方法向用戶推薦音樂［103］.其它利用協(xié)同過濾方法進行推薦的系統(tǒng)還有Amazon的書籍推薦系統(tǒng)［104］等.雖然協(xié)同過濾推薦系統(tǒng)得到了廣泛應用，但是也面臨很多問題，如新用戶或新產(chǎn)品推薦問題（冷啟動問題）、打分稀疏性問題、算法可擴展性問題等.

b.基于內(nèi)容的推薦.基于內(nèi)容的推薦不是依據(jù)用戶對項目的評價意見，而是依據(jù)用戶已經(jīng)選擇的產(chǎn)品內(nèi)容信息來計算用戶和產(chǎn)品之間的匹配度，進而進行相應的推薦.基于內(nèi)容的推薦算法的根本之處在于信息獲取和信息過濾［105］，關(guān)鍵在于內(nèi)容信息的獲取和匹配.因為文本信息獲取與過濾方面的研究較為成熟，多數(shù)基于內(nèi)容的推薦系統(tǒng)都建立在對產(chǎn)品的文本分析上.在大多數(shù)的基于內(nèi)容的推薦系統(tǒng)中，產(chǎn)品內(nèi)容常常被描述成關(guān)鍵詞.Fab系統(tǒng)［106］就是一個典型的例子，它用一個網(wǎng)頁中最重要的100個關(guān)鍵詞來表征這個網(wǎng)頁；而Syskill ＆Webert系統(tǒng)［107］則用128個信息量最多的詞表示一個文件，系統(tǒng)根據(jù)文本相似性推薦與用戶過去喜歡的產(chǎn)品最為相似的產(chǎn)品［106－107］.基于內(nèi)容的推薦系統(tǒng)中，用戶的配置文件構(gòu)建與更新是其中最為核心的部分之一，也是目前研究人員關(guān)注的焦點.例如Somlo和Howe［108］以及Zhang等［109］提出了利用自適應過濾技術(shù)更新用戶配置文件；Chang等［110］通過區(qū)分長期感興趣與短期感興趣的關(guān)鍵詞，賦予短期感興趣的關(guān)鍵詞更高的權(quán)重，在此基礎上建立新的關(guān)鍵詞更新樹，從而大大減少了更新配置文件的代價.Degemmis等［111］利用WordNet構(gòu)建基于語義學的用戶配置文件，配置文件通過機器學習和文本分類算法得到，里面包含了用戶喜好的語義信息，而不僅僅是關(guān)鍵詞集.基于內(nèi)容的推薦系統(tǒng)不可避免地受到信息獲取技術(shù)的約束，例如自動提取多媒體數(shù)據(jù)（圖形、視頻流、聲音流等）的內(nèi)容特征具有技術(shù)上的困難，使得這方面的相關(guān)應用受到了很大限制.

c.混合推薦技術(shù).如前所述，協(xié)同過濾和基于內(nèi)容的推薦算法在投入實際運營的時候都有各自的缺陷.因此，實際運營的推薦系統(tǒng)常將兩種甚至多種推薦算法進行結(jié)合，即采用混合推薦算法.針對實際數(shù)據(jù)的研究顯示這些混合推薦系統(tǒng)普遍具有比上述獨立的推薦系統(tǒng)更好的準確率［112－114］.建立混合推薦系統(tǒng)的方法之一是獨立地實現(xiàn)協(xié)同過濾和運用基于內(nèi)容的推薦算法，然后將兩種推薦結(jié)果結(jié)合起來，利用預測打分的線性組合進行推薦［115］；又或者，只推薦某一時刻在某一個評價指標下表現(xiàn)更好的算法的結(jié)果.例如，Daily Learner系統(tǒng)［116］就選擇在某一時刻更可信的結(jié)果進行推薦，而文獻［117］選擇一個與用戶過去的打分相一致的結(jié)果進行推薦.另外常見的方法是在一種推薦算法的框架中嵌入另外的算法作為某一個輔助部分.例如，Melville等［118］利用基于文本分析的方法在協(xié)同過濾系統(tǒng)中用戶的打分向量上增加一個附加打分，附加分高的用戶的信息優(yōu)先推薦給其他用戶；Aciar等［119］利用文本挖掘技術(shù)分析用戶對產(chǎn)品的評論信息，提出基于知識和協(xié)同過濾的混合推薦系統(tǒng).

除了上面3類方法以外，多種數(shù)據(jù)分析技術(shù)，如數(shù)據(jù)分類、數(shù)據(jù)聚類、Bayesian網(wǎng)絡、關(guān)聯(lián)規(guī)則、K－means方法、神經(jīng)網(wǎng)絡、線性回歸、最大熵方法、云模型、多示例學習等均被用于推薦系統(tǒng)，此處不再贅述.此外，用戶的行為特征、個性化的領域知識等也被用于個性化推薦系統(tǒng).

3.2 關(guān)于鏈路預測

鏈路預測（link prediction）問題是指通過對已知網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的分析，包括一些可能的節(jié)點的其它信息，來評估尚不相連的兩個點之間產(chǎn)生鏈接的可能性，進而實現(xiàn)預測［120］.該問題具有重要的應用價值，并且可以對網(wǎng)絡科學的理論研究，特別是網(wǎng)絡演化規(guī)則和節(jié)點相似性指標的評判問題起到重要的貢獻.下面從實際應用和理論意義兩個方面敘述.

很多生物網(wǎng)絡，例如蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡和新陳代謝網(wǎng)絡，節(jié)點之間是否存在鏈路，或者說是否存在相互作用，需要通過大量實驗結(jié)果進行推斷.僅以蛋白質(zhì)相互作用網(wǎng)絡為例，酵母菌蛋白質(zhì)之間80%的相互作用不為人們所知［121］，而對于人類自身，知道的僅有可憐的0.3%［122－123］.由于揭示這類網(wǎng)絡中隱而未現(xiàn)的鏈接需要耗費高額的實驗成本，如果能夠在已知結(jié)構(gòu)的基礎上設計出足夠精確的鏈路預測算法，再利用預測的結(jié)果指導試驗，就有可能非常明顯地降低試驗成本并加快揭開這類網(wǎng)絡真實面目的步伐.實際上，社會網(wǎng)絡分析中也會遇到數(shù)據(jù)不全的問題，這時候鏈路預測同樣可以作為準確分析社會網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的有力輔助工具［124－125］.除了幫助分析數(shù)據(jù)缺失的網(wǎng)絡，鏈路預測算法還可以用于分析演化網(wǎng)絡.舉例來說，近幾年在線社會網(wǎng)絡發(fā)展非常迅速［126］，鏈路預測可以基于當前的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)去預測哪些現(xiàn)在尚未結(jié)交的用戶“應該是朋友”，并將此結(jié)果作為“朋友推薦”發(fā)送給用戶.如果預測足夠準確，顯然有助于提高相關(guān)網(wǎng)站在用戶心目中的地位.另外，鏈路預測的思想和方法，還可以用于在已知部分節(jié)點類型的網(wǎng)絡（partially labeled networks）中預測未標簽節(jié)點的類型——這可以用于判斷一篇學術(shù)論文的類型［127］或者判斷一個手機用戶是否產(chǎn)生了切換運營商（如從移動到聯(lián)通）的念頭［128］，以及用于糾正觀察到的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)中可能存在的錯誤［129］，因為很多構(gòu)建生物網(wǎng)絡的實驗中存在曖昧不清甚至自相矛盾的數(shù)據(jù)［130］.

鏈路預測的研究可以從理論上幫助認識復雜網(wǎng)絡演化的機制.針對同一個或者同一類網(wǎng)絡，很多模型都提供了可能的網(wǎng)絡演化機制［50，131］.由于刻畫網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)特征的統(tǒng)計量非常多，很難比較不同的機制孰優(yōu)孰劣，鏈路預測機制有望為演化網(wǎng)絡提供一個簡單統(tǒng)一且較為公平的比較平臺，從而大大推動復雜網(wǎng)絡演化模型的理論研究.另外，如何刻畫網(wǎng)絡中節(jié)點的相似性也是一個重大的理論問題［132］，這個問題和網(wǎng)絡聚類等應用息息相關(guān)［133］.類似地，相似性的度量指標數(shù)不勝數(shù)，只有能夠快速準確地評估某種相似性定義是否能夠很好刻畫一個給定網(wǎng)絡節(jié)點間的關(guān)系，才能進一步研究網(wǎng)絡特征對相似性指標選擇的影響.在這個方面，鏈路預測可以起到核心技術(shù)的作用.鏈路預測問題本身也帶來了有趣且有重要價值的理論問題，也就是通過構(gòu)造網(wǎng)絡系綜并藉此利用最大似然估計的方法進行鏈路預測的可能性和可行性研究.這方面的研究對于鏈路預測本身以及復雜網(wǎng)絡研究理論基礎的建立和完善，可以起到推動和借鑒的作用.

近幾年，基于節(jié)點相似性的鏈路預測框架受到了廣泛的關(guān)注，在該框架中，兩個節(jié)點之間相似性（或者相近性）越大，就認為它們之間存在鏈接的可能性越大.盡管這個框架非常簡單，但是相似性定義本身內(nèi)涵豐富，它既可以是非常簡單的共同鄰居的個數(shù)，也可以是包含了復雜數(shù)學物理內(nèi)容的諸如隨機游走的平均通訊時間［134］或者矩陣森林數(shù)目［135］.因此，這個簡單的框架事實上提供了無窮無盡的可能性.Liben－Nowell和Kleinberg［136］將相似性指標分為基于節(jié)點和基于路徑兩類，并分析了若干指標對社會合作網(wǎng)絡中鏈路預測的效果.他們發(fā)現(xiàn)，在僅考慮節(jié)點鄰居信息的若干指標中，Adamic－Adar參數(shù)［137］表現(xiàn)最好.周濤、呂琳媛和張翼成［138］在6種不同網(wǎng)絡中比較了9種局部相似性指標在鏈路預測中的效果，并提出了兩種新指標：資源分配指標（resource allocation index）和局部路徑指標（local path index）.研究發(fā)現(xiàn)，新提出來的這兩種指標具有明顯好于包括Adamic－Adar參數(shù)在內(nèi)的9種已知指標的預測能力.最近其它小組的研究結(jié)果顯示，新提出來的相似性指標在進行群落劃分和含權(quán)網(wǎng)絡權(quán)重設置［139］的時候也比原有指標好.呂琳媛、金慈航和周濤［140］進一步在噪音強度可控的網(wǎng)絡模型與真實網(wǎng)絡中細致分析了局部路徑指標的性能，發(fā)現(xiàn)這個指標具有與依賴于網(wǎng)絡全局結(jié)構(gòu)信息的指標（如Katz參數(shù)［141］）可匹敵的預測能力，甚至在噪聲較大的情況下可以比Katz參數(shù)預測得更加準確.局部路徑指標是一個計算量非常小的局部參數(shù)，其應用前景可觀.劉偉平和呂琳媛［142］比較研究了一些基于隨機游走的相似性指標，并提出了兩種局部隨機游走指標，他們發(fā)現(xiàn)有限步的隨機游走反而可以給出超過全局收斂后的預測精度，而最優(yōu)的游走步數(shù)受到網(wǎng)絡平均距離的強烈影響.另外，Huang等的實驗結(jié)果暗示［143］，在得到節(jié)點間的直接相似性后，利用協(xié)同過濾技術(shù)對相似性指標進行一輪加權(quán)處理，一般而言可以得到更好的結(jié)果.

最近，最大似然估計方法被嘗試應用于鏈路預測中.Clauset，Moore和Newman［144］認為很多網(wǎng)絡的連接可以看作某種內(nèi)在層次結(jié)構(gòu)的反映.基于此，他們提出了一種最大似然估計的算法進行鏈路預測，這種方法在處理具有明顯層次組織的網(wǎng)絡，如恐怖襲擊網(wǎng)絡和草原食物鏈，具有較好的精確度.Guimera和Sales－Pardo［129］假設觀察到的網(wǎng)絡是一個隨機分塊模型（stochastic block model［145］）的一次實現(xiàn)，在該模型中節(jié)點被分作若干的集合，兩個節(jié)點間連接的概率只和相應的集合有關(guān).Guimera和Sales－Pardo［129］提出了基于隨機分塊模型的最大似然估計方法，將其用于鏈路預測，可以得到比Clauset，Moore和Newman更好的結(jié)果.

另外一個需要特別注意的趨勢，是隨著一些原來從事復雜網(wǎng)絡研究的學者對鏈路預測問題的關(guān)注，很多復雜網(wǎng)絡，特別是社會網(wǎng)絡分析中遇到的理論與方法被應用到鏈路預測中.例如呂琳媛和周濤［146］發(fā)現(xiàn)在針對某些含權(quán)網(wǎng)絡進行鏈路預測的時候，權(quán)重很小的邊反而起到了比高權(quán)重邊更大的作用，這與社會網(wǎng)絡研究中廣為人知的“弱連接理論”［147］有深刻的關(guān)聯(lián).Leskovec，Huttenlocher和Kleinberg［148］則注意到了近期“社會平衡理論”的定量化研究成果［149－150］，并在此啟發(fā)下設計了可以預測網(wǎng)絡中的正負（友敵）鏈接的算法.

由于一方面受阻于網(wǎng)絡節(jié)點外在屬性在獲取上的難度，另一方面受益于復雜網(wǎng)絡研究的快速發(fā)展，鏈路預測問題的主要研究熱點逐漸從依賴于節(jié)點屬性的方法轉(zhuǎn)移到只利用網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)信息的方法上.顯然，后者在理論上也更優(yōu)美簡潔.不過，這個方面的研究主要集中在社會網(wǎng)絡上，尚欠對于大量算法在各種不同網(wǎng)絡中預測能力的系統(tǒng)分析和總結(jié).另外，目前還沒有算法性能和網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)特征之間關(guān)系的較深入的研究.對于比較復雜的網(wǎng)絡，例如含權(quán)網(wǎng)絡、有向網(wǎng)絡和多部分網(wǎng)絡的討論雖然有，但非常少，也不系統(tǒng)，相關(guān)的研究應該是近幾年該方向的主流.

網(wǎng)絡系綜理論和與之關(guān)聯(lián)的網(wǎng)絡熵的概念以及最大似然估計方法有望推動形成復雜網(wǎng)絡的統(tǒng)計力學理論基礎.這方面研究存在一個問題是熵的精確計算復雜性非常大，對于大規(guī)模網(wǎng)絡而言往往不能實現(xiàn).最近的一些鏈路預測算法已經(jīng)應用了網(wǎng)絡系綜和最大似然的概念，但是這些算法計算復雜性很大，精確性也不是很高［129］，例如文獻［144］的方法目前只能處理數(shù)千節(jié)點的網(wǎng)絡，且其預測效果對于不具有明確層次結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡并不好.作者認為以下兩個問題應該是目前國際上相關(guān)研究小組比較關(guān)注的：一是如何以網(wǎng)絡系綜理論為基礎，建立網(wǎng)絡鏈路預測的理論框架，并產(chǎn)生對實際預測有指導作用的理論結(jié)論，例如通過對網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計分析估算可預測的極限，指導選擇不同的預測方法等；二是如何設計高效的算法來處理大規(guī)模網(wǎng)絡的鏈路預測問題.網(wǎng)絡系綜理論和鏈路預測的深度結(jié)合很可能成為西北大學研究組最近關(guān)注的焦點.

最近10年，復雜網(wǎng)絡研究在很多科學分支，包括物理、生物、計算機等領域掀起高潮［151］，其中相當一部分研究立足于揭示網(wǎng)絡演化的內(nèi)在驅(qū)動因素.僅以無標度網(wǎng)絡（scale－free networks）為例［152］，已經(jīng)報道的可以產(chǎn)生冪律度分布的機制就包括了富者愈富（rich－get－richer）機制［56］、好者變富（goodget－richer）機制［153］、優(yōu)化設計（optimal design）驅(qū)動［154］、哈密頓動力學（Hamiltonian dynamics）驅(qū)動［155］、聚生（merging and regeneration）機制［156］、穩(wěn)定性限制（stability constraints）驅(qū)動［157］等.可是，由于刻畫網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)特征的統(tǒng)計指標非常多，很難比較和判定什么樣的機制能夠更好再現(xiàn)真實網(wǎng)絡的生長特性.利用鏈路預測有望建立簡單的比較平臺，能夠在知道目標網(wǎng)絡演化情況的基礎上量化比較各種不同機制對于真實生長行為的預測能力，從而可以大大推動復雜網(wǎng)絡演化機制的相關(guān)研究.Guimera和Sales－Pardo在提到網(wǎng)絡重建（network reconstruction）的時候已經(jīng)表達了相近的思想，但是這方面的研究尚未見報道.盡管有論文討論了如何將鏈路預測的方法和思想與一些應用問題，例如部分標號網(wǎng)絡的節(jié)點類型預測［158］與信息推薦問題［159］、相聯(lián)系的可能性與方法問題.但是，目前尚缺乏對于大規(guī)模真實數(shù)據(jù)在應用層面的深入分析和研究.這方面的研究不僅僅具有實用價值，而且有助于揭示鏈路預測這個問題本身存在的優(yōu)勢與局限性.

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