有關(guān)“定點(diǎn)”問(wèn)題是解析幾何題中常見(jiàn)的一類(lèi)題型，在近幾年的高考或模擬試題中頻繁出現(xiàn)這類(lèi)題，因?yàn)檫@類(lèi)題型不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化美，而且體現(xiàn)了哲學(xué)中動(dòng)與靜的辯證統(tǒng)一的關(guān)系，所以受到一些命題專(zhuān)家的青睞。高中數(shù)學(xué)直線方程和圓方程中有一類(lèi)涉及定點(diǎn)和定值的問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題中一般都有變量或動(dòng)點(diǎn)，但最終的數(shù)值或點(diǎn)卻是一定的。解決這類(lèi)問(wèn)題，一般都用方程思想探得定值或定點(diǎn)，利用等式恒等的性質(zhì)，可求出定點(diǎn)、定值。

一、 直線方程過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

【例1】直線l:(1+3m)x+(3－2m)y+4m－17=0與圓x2+y2+2x－6y－15=0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

解析直線l方程可化為：(3x－2y+4)m+x+3y－17=0，且直線與實(shí)數(shù)m無(wú)關(guān).

由3x－2y+4=0,

x+3y－17=0,得x=2,

y=5.

∴直線過(guò)定點(diǎn)A(2,5).

∵22+52+4－30－15=－12<0，

∴A點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn).

點(diǎn)撥在本題中，判斷直線與圓的位置關(guān)系既不需要用代數(shù)方法將直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組，消元后觀察一元二次方程判別式與0的關(guān)系；也不需要用幾何方法，即比較圓心與直線的距離與半徑的大小。而是發(fā)現(xiàn)直線方程中含有參數(shù)m，并與參數(shù)m無(wú)關(guān)，故直線必過(guò)定點(diǎn)。通過(guò)判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)而可以得出直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

二、 圓方程過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

【例2】無(wú)論k取什么值，圓x2+y2+kx+ky－4=0恒過(guò)定點(diǎn).

解析當(dāng)k取不同的值，方程對(duì)應(yīng)不同的圓，所求定點(diǎn)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的公共點(diǎn)，將圓的方程化為(x+y)k+x2+y2－4=0，由題意，對(duì)任意k∈R，等式恒成立，故有x+y=0,

x2+y2－4=0，

解得x=－2,

y=2,或x=2,

y=－2,

∴圓恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)或(2,－2).

點(diǎn)撥當(dāng)圓方程中參數(shù)k每取定一個(gè)不同的數(shù)值時(shí)，就得到一個(gè)不同的圓，也可以理解為圓系方程，而定點(diǎn)實(shí)質(zhì)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的交點(diǎn)，只要化為k?A+B=0（A,B是關(guān)于x,y的關(guān)系式），對(duì)于任意k值，k?A+B=0等式恒成立，所以只要滿足A=0,

B=0,解出x,y的值，得出定點(diǎn)坐標(biāo)。

三、 與圓有關(guān)的定點(diǎn)定值問(wèn)題

【例3】已知⊙O:x2+y2=1和點(diǎn)M(4,2),

（1） 過(guò)點(diǎn)M向⊙O引切線l，求直線l的方程；

（2） 求以點(diǎn)M為圓心，且被直線y=2x－1截得的弦長(zhǎng)為4的⊙M的方程；

（3） 設(shè)P為（2）中⊙M上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向⊙O引切線，切點(diǎn)為Q.試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R，使得PQPR為定值？若存在，請(qǐng)舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析（1） ∵42+22>1,∴M點(diǎn)在圓外,

故過(guò)M點(diǎn)的切線有兩條.設(shè)直線l的斜率為k，則l的直線方程為：y－2=k(x－4)，

即kx－y+2－4k=0.

∵直線l與圓O相切,∴2－4kk2+1=1,

化簡(jiǎn)得(2－4k)2=k2+1，解得k=8+1915或k=8－1915,

∴l(xiāng)的直線方程為：y=8+1915x－2+41915或y=8－1915x+419－215.

（2） 設(shè)⊙M的半徑為R，則⊙M的方程為:(x－4)2+(y－2)2=R2.

設(shè)圓心M到直線y=2x－1的距離為d，則d=2×4－2－122+12=5.

又圓M被直線y=2x－1截得的弦長(zhǎng)為4，則弦的一半d′=2.

∵d2+d′2=R2,∴(5)2+22=R2.

即R2=9,∴⊙M的方程為：（x－4)2+(y－2)2=9.

（3） 假設(shè)M上點(diǎn)P(x,y),定點(diǎn)R(a,b),故設(shè)PQ2PR2=λ2(λ為大于0的常數(shù)）,

∵PQ2=x2+y2－1,PR2=(x－a)2+(y－b)2，則有PQ2PR2=x2+y2－1(x－a)2+(y－b)2=λ2，①

（x－4)2+(y－2)2=9整理為x2+y2=8x+4y－11代入①化簡(jiǎn)得8x+4y－12=λ2［(8－2a)x+(4－2b)y+(a2+b2－11)］.

∵等式恒成立,∴λ2(8－2a)=8,

λ2(4－2b)=4,

λ2(a2+b2－11)=－12,

解得a=2,

b=1,

λ=2,或a=25,

b=15,

λ=103,

∴存在點(diǎn)R使得PQPR為定值，當(dāng)R的坐標(biāo)為(2,1)時(shí)，比值為2；

當(dāng)R的坐標(biāo)為25,15時(shí)，比值為103.

點(diǎn)撥當(dāng)然，直線和圓的方程中不僅有定點(diǎn)問(wèn)題，定值問(wèn)題，還有求定直線的問(wèn)題。如已知圓x2+y2－2λx－4λy+92λ2=0(λ≠0)，求證：當(dāng)λ取不同的非零實(shí)數(shù)值時(shí)，所得到的圓都有公切線，并求出公切線的方程。

［方法指導(dǎo)］考慮到若圓系有公切線y=kx+b，則k,b為定值。利用圓心到切線的距離等于半徑，可得λ,k,b滿足的等量關(guān)系，再用分離系數(shù)法，求出k,b。要注意k不存在的情況。

解析圓方程可化為(x－λ)2+(y－2λ)2=12λ2(λ≠0)，

∴圓心為(λ,2λ)，半徑為22|λ|.

易知公切線斜率存在，設(shè)公切線方程為y=kx+b，

則kλ－2λ+b1+k2=22λ，

∴(k2－8k+7)λ2+4b(k－2)λ+2b2=0，

∵上式對(duì)所有λ(λ≠0)成立，

∴k2－8k+7=0,

4b(k－2)=0,

2b2=0，解得k=1,

b=0或k=7,

b=0.

∴公切線方程為y=x,y=7x.

點(diǎn)撥無(wú)論是定點(diǎn)定值問(wèn)題等，我們只要抓住問(wèn)題的關(guān)鍵，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，等式可化為kx+y=0恒成立，只要滿足x=0,y=0，問(wèn)題就得到解決。

牛刀小試

1. 已知點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在射線y=3x(x≥0)上.若OA+OB=6，求證：△OAB的外接圓過(guò)不依賴(lài)于點(diǎn)A,B的定點(diǎn)C（C不同于原點(diǎn)O）.

2. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1:(x+3)2+(y－1)2=4和圓C2:(x－4)2+(y－5)2=4.

（1） 若直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)，且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為23，求直線l的方程；

（2） 設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【參考答案】

1. 記OB=2a，則OA=6－2a，點(diǎn)A(6－2a,0),B(a,3a).a>0

設(shè)△OAB外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2－4F>0)，

把O,A,B三點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，

有F=0，

(6－2a)2+D(6－2a)+F=0，

a2+(3a)2+Da+E3a+F=0，

∴D=2a－6，

E=23(1－a)，

F=0，

∴△OAB外接圓的方程為x2+y2+2(a－3)x+23(1－a)y=0,

整理得：2(x－3y)a+x2+y2－6x+23y=0.

由2(x－3y)=0,

x2+y2－6x+23y=0,解得x=0,

y=0（舍）或x=3,

y=3.

∴△OAB的外接圓過(guò)不依賴(lài)于點(diǎn)A,B的定點(diǎn)C(3,3).

2. (1) 設(shè)直線l的方程為：y=k(x－4)，

即kx－y－4k=0.

由垂徑定理，得圓心C1到直線l的距離

d=22－2322=1，

結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得：|－3k－1－4k|k2+1=1,

化簡(jiǎn)得：24k2+7k=0,k=0或k=－724.

所求直線l的方程為：y=0或y=－724(x－4)，

即y=0或7x+24y－28=0.

(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n)，直線l1、l2的方程分別為：y－n=k(x－m),y－n=－1k(x－m)，

即：kx－y+n－km=0,－1kx－y+n+1km=0.

因?yàn)橹本€l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，兩圓半徑相等.由垂徑定理，得：圓心C1到直線l1與C2直線l2的距離相等.

故有：|－3k－1+n－km|k2+1=－4k－5+n+1km1k2+1，

化簡(jiǎn)得：(2－m－n)k=m－n－3或(m－n+8)k=m+n－5.

關(guān)于k的方程有無(wú)窮多解，有：

2－m－n=0,

m－n－3=0或m－n+8=0,

m+n－5=0,

解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為－32,132或52，-12.

(作者：黃蘭，江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué))