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        談?wù)勚本€和圓中的定點(diǎn)定值問題

        2012-04-09 03:00:14黃蘭
        關(guān)鍵詞:弦長(zhǎng)外接圓等式

        有關(guān)“定點(diǎn)”問題是解析幾何題中常見的一類題型,在近幾年的高考或模擬試題中頻繁出現(xiàn)這類題,因?yàn)檫@類題型不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化美,而且體現(xiàn)了哲學(xué)中動(dòng)與靜的辯證統(tǒng)一的關(guān)系,所以受到一些命題專家的青睞。高中數(shù)學(xué)直線方程和圓方程中有一類涉及定點(diǎn)和定值的問題。這類問題中一般都有變量或動(dòng)點(diǎn),但最終的數(shù)值或點(diǎn)卻是一定的。解決這類問題,一般都用方程思想探得定值或定點(diǎn),利用等式恒等的性質(zhì),可求出定點(diǎn)、定值。

        一、 直線方程過定點(diǎn)問題

        【例1】直線l:(1+3m)x+(3-2m)y+4m-17=0與圓x2+y2+2x-6y-15=0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

        解析直線l方程可化為:(3x-2y+4)m+x+3y-17=0,且直線與實(shí)數(shù)m無(wú)關(guān).

        由3x-2y+4=0,

        x+3y-17=0,得x=2,

        y=5.

        ∴直線過定點(diǎn)A(2,5).

        ∵22+52+4-30-15=-12<0,

        ∴A點(diǎn)在圓內(nèi),故直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn).

        點(diǎn)撥在本題中,判斷直線與圓的位置關(guān)系既不需要用代數(shù)方法將直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組,消元后觀察一元二次方程判別式與0的關(guān)系;也不需要用幾何方法,即比較圓心與直線的距離與半徑的大小。而是發(fā)現(xiàn)直線方程中含有參數(shù)m,并與參數(shù)m無(wú)關(guān),故直線必過定點(diǎn)。通過判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)而可以得出直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

        二、 圓方程過定點(diǎn)問題

        【例2】無(wú)論k取什么值,圓x2+y2+kx+ky-4=0恒過定點(diǎn).

        解析當(dāng)k取不同的值,方程對(duì)應(yīng)不同的圓,所求定點(diǎn)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的公共點(diǎn),將圓的方程化為(x+y)k+x2+y2-4=0,由題意,對(duì)任意k∈R,等式恒成立,故有x+y=0,

        x2+y2-4=0,

        解得x=-2,

        y=2,或x=2,

        y=-2,

        ∴圓恒過定點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,2)或(2,-2).

        點(diǎn)撥當(dāng)圓方程中參數(shù)k每取定一個(gè)不同的數(shù)值時(shí),就得到一個(gè)不同的圓,也可以理解為圓系方程,而定點(diǎn)實(shí)質(zhì)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的交點(diǎn),只要化為k?A+B=0(A,B是關(guān)于x,y的關(guān)系式),對(duì)于任意k值,k?A+B=0等式恒成立,所以只要滿足A=0,

        B=0,解出x,y的值,得出定點(diǎn)坐標(biāo)。

        三、 與圓有關(guān)的定點(diǎn)定值問題

        【例3】已知⊙O:x2+y2=1和點(diǎn)M(4,2),

        (1) 過點(diǎn)M向⊙O引切線l,求直線l的方程;

        (2) 求以點(diǎn)M為圓心,且被直線y=2x-1截得的弦長(zhǎng)為4的⊙M的方程;

        (3) 設(shè)P為(2)中⊙M上任一點(diǎn),過點(diǎn)P向⊙O引切線,切點(diǎn)為Q.試探究:平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R,使得PQPR為定值?若存在,請(qǐng)舉出一例,并指出相應(yīng)的定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

        解析(1) ∵42+22>1,∴M點(diǎn)在圓外,

        故過M點(diǎn)的切線有兩條.設(shè)直線l的斜率為k,則l的直線方程為:y-2=k(x-4),

        即kx-y+2-4k=0.

        ∵直線l與圓O相切,∴2-4kk2+1=1,

        化簡(jiǎn)得(2-4k)2=k2+1,解得k=8+1915或k=8-1915,

        ∴l(xiāng)的直線方程為:y=8+1915x-2+41915或y=8-1915x+419-215.

        (2) 設(shè)⊙M的半徑為R,則⊙M的方程為:(x-4)2+(y-2)2=R2.

        設(shè)圓心M到直線y=2x-1的距離為d,則d=2×4-2-122+12=5.

        又圓M被直線y=2x-1截得的弦長(zhǎng)為4,則弦的一半d′=2.

        ∵d2+d′2=R2,∴(5)2+22=R2.

        即R2=9,∴⊙M的方程為:(x-4)2+(y-2)2=9.

        (3) 假設(shè)M上點(diǎn)P(x,y),定點(diǎn)R(a,b),故設(shè)PQ2PR2=λ2(λ為大于0的常數(shù)),

        ∵PQ2=x2+y2-1,PR2=(x-a)2+(y-b)2,則有PQ2PR2=x2+y2-1(x-a)2+(y-b)2=λ2,①

        (x-4)2+(y-2)2=9整理為x2+y2=8x+4y-11代入①化簡(jiǎn)得8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a2+b2-11)].

        ∵等式恒成立,∴λ2(8-2a)=8,

        λ2(4-2b)=4,

        λ2(a2+b2-11)=-12,

        解得a=2,

        b=1,

        λ=2,或a=25,

        b=15,

        λ=103,

        ∴存在點(diǎn)R使得PQPR為定值,當(dāng)R的坐標(biāo)為(2,1)時(shí),比值為2;

        當(dāng)R的坐標(biāo)為25,15時(shí),比值為103.

        點(diǎn)撥當(dāng)然,直線和圓的方程中不僅有定點(diǎn)問題,定值問題,還有求定直線的問題。如已知圓x2+y2-2λx-4λy+92λ2=0(λ≠0),求證:當(dāng)λ取不同的非零實(shí)數(shù)值時(shí),所得到的圓都有公切線,并求出公切線的方程。

        [方法指導(dǎo)]考慮到若圓系有公切線y=kx+b,則k,b為定值。利用圓心到切線的距離等于半徑,可得λ,k,b滿足的等量關(guān)系,再用分離系數(shù)法,求出k,b。要注意k不存在的情況。

        解析圓方程可化為(x-λ)2+(y-2λ)2=12λ2(λ≠0),

        ∴圓心為(λ,2λ),半徑為22|λ|.

        易知公切線斜率存在,設(shè)公切線方程為y=kx+b,

        則kλ-2λ+b1+k2=22λ,

        ∴(k2-8k+7)λ2+4b(k-2)λ+2b2=0,

        ∵上式對(duì)所有λ(λ≠0)成立,

        ∴k2-8k+7=0,

        4b(k-2)=0,

        2b2=0,解得k=1,

        b=0或k=7,

        b=0.

        ∴公切線方程為y=x,y=7x.

        點(diǎn)撥無(wú)論是定點(diǎn)定值問題等,我們只要抓住問題的關(guān)鍵,將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,等式可化為kx+y=0恒成立,只要滿足x=0,y=0,問題就得到解決。

        牛刀小試

        1. 已知點(diǎn)A在x軸正半軸上,點(diǎn)B在射線y=3x(x≥0)上.若OA+OB=6,求證:△OAB的外接圓過不依賴于點(diǎn)A,B的定點(diǎn)C(C不同于原點(diǎn)O).

        2. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4.

        (1) 若直線l過點(diǎn)A(4,0),且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為23,求直線l的方程;

        (2) 設(shè)P為平面上的點(diǎn),滿足:存在過點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓C1和圓C2相交,且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等,試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

        【參考答案】

        1. 記OB=2a,則OA=6-2a,點(diǎn)A(6-2a,0),B(a,3a).a>0

        設(shè)△OAB外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

        把O,A,B三點(diǎn)坐標(biāo)代入方程,

        有F=0,

        (6-2a)2+D(6-2a)+F=0,

        a2+(3a)2+Da+E3a+F=0,

        ∴D=2a-6,

        E=23(1-a),

        F=0,

        ∴△OAB外接圓的方程為x2+y2+2(a-3)x+23(1-a)y=0,

        整理得:2(x-3y)a+x2+y2-6x+23y=0.

        由2(x-3y)=0,

        x2+y2-6x+23y=0,解得x=0,

        y=0(舍)或x=3,

        y=3.

        ∴△OAB的外接圓過不依賴于點(diǎn)A,B的定點(diǎn)C(3,3).

        2. (1) 設(shè)直線l的方程為:y=k(x-4),

        即kx-y-4k=0.

        由垂徑定理,得圓心C1到直線l的距離

        d=22-2322=1,

        結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式,得:|-3k-1-4k|k2+1=1,

        化簡(jiǎn)得:24k2+7k=0,k=0或k=-724.

        所求直線l的方程為:y=0或y=-724(x-4),

        即y=0或7x+24y-28=0.

        (2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n),直線l1、l2的方程分別為:y-n=k(x-m),y-n=-1k(x-m),

        即:kx-y+n-km=0,-1kx-y+n+1km=0.

        因?yàn)橹本€l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等,兩圓半徑相等.由垂徑定理,得:圓心C1到直線l1與C2直線l2的距離相等.

        故有:|-3k-1+n-km|k2+1=-4k-5+n+1km1k2+1,

        化簡(jiǎn)得:(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5.

        關(guān)于k的方程有無(wú)窮多解,有:

        2-m-n=0,

        m-n-3=0或m-n+8=0,

        m+n-5=0,

        解之得:點(diǎn)P坐標(biāo)為-32,132或52,-12.

        (作者:黃蘭,江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué))

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