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        直線與圓專題強化訓(xùn)練

        2012-04-09 03:00:14周炎

        直線的方程與圓的方程是江蘇高考的C級要求,從近幾年江蘇高考題來看,??嫉闹R點有:直線方程、圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系。復(fù)習(xí)時,要理解直線傾斜角與斜率的概念,掌握直線方程的幾種形式及各自的適用范圍;能靈活選擇直線方程的形式求直線的方程,會根據(jù)直線方程判定直線的平行或垂直。此外,還要能進(jìn)行圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化,根據(jù)條件選擇方程的形式求圓的方程。對于直線與圓的位置關(guān)系要給予足夠的重視,特別是對圓系的研究。常見題型有:求直線方程、求圓方程、判斷直線與圓的位置關(guān)系、直線與圓中的定值定點問題。下面筆者就擷取幾例,并予以解析,供讀者參考。

        題型一求直線方程

        【例1】已知直線l過點P(3,1),且被兩平行線l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截的線段長為5,求直線l的方程.

        分析這類題型有三種情況:被兩已知平行線截得的線段長為定長a的直線,當(dāng)a小于平行線間的距離時無解,當(dāng)a等于兩平行線間距離時有唯一解,大于時有兩解。求直線方程,已知直線過定點,可設(shè)點斜式,但須考慮斜率存在與否。

        解由題意可知,直線方程有兩解.

        兩平行線的傾斜角是135°,兩平行線間距離52,被截線段長為5,可知構(gòu)成等腰直角三角形,結(jié)合圖形,可得所求直線傾斜角為0°或90°.故所求直線方程為x=3或y=1.

        點撥本題采用數(shù)形結(jié)合的思想方法較快的得出結(jié)果,也可分類討論斜率存在與否,構(gòu)造關(guān)于斜率的方程求解。在求直線方程時,選擇哪種形式是非常重要的。

        題型二求圓方程

        【例2】設(shè)平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b的圖象與坐標(biāo)軸有三個交點,求經(jīng)過這三個交點的圓的方程.

        分析這是08年江蘇卷18題的第二問。考查求經(jīng)過三點的圓的方程,可設(shè)圓的一般式方程,用待定系數(shù)法求解。

        解可知二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸三交點坐標(biāo)A(-1-1-b,0),B(-1+1-b,0),P(0,b).設(shè)圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,將三點代入可得,D=2,E=-b-1,F=b,故所求圓的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

        點撥本題還可以這樣做,設(shè)圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0得

        x2+Dx+F=0,這與x2+2x+b=0是同一方程,故D=2,F=b.

        令x=0,得y2+Ey+F=0,此方程一個根為b,代入得E=-b-1,得解。一般情況下,求圓的方程,常用方法為待定系數(shù)法。以知圓過三點,常設(shè)一般式,其他情況一般設(shè)標(biāo)準(zhǔn)式。知道圓過三點,還可以求出每兩點的連線的垂直平分線,兩個垂直平分線的交點即為圓心。

        題型三直線與圓位置關(guān)系

        【例3】已知⊙C1:x2+(y+5)2=5,點A(1,-3).

        (1) 求過點A與⊙C1相切的直線l的方程;

        (2) 設(shè)⊙C2為⊙C1關(guān)于直線l對稱的圓,則在x軸上是否存在點P,使得P到兩圓的切線長之比為2?薦存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,試說明理由.

        分析求切線方程,一要抓住直線方程的形式,二要抓住直線與圓位置關(guān)系的判斷(幾何法),同時事先要判斷點與圓的位置關(guān)系,解決問題時牢記數(shù)形結(jié)合這一重要思想。

        解(1) C1(0,-5),r1=5,因為點A恰在⊙C1上,所以點A即是切點,

        kC1A=-3+51=2,所以k1=-12,

        所以直線l的方程為y+3=-12(x-1),

        即x+2y+5=0.

        (2) 因為點A恰為C1C2的中點,所以C2(2,-1),

        所以⊙C2:(x-2)2+(y+1)2=5,

        設(shè)P(a,0),PC21-5PC22-5=2,①

        或PC22-5PC21-5=2,②

        由①得a2+20(a-2)2-4=2,解得a=-2或10,

        所以P(-2,0)或(10,0),

        由②得a2-4aa2+20=2,求此方程無解.

        綜上,存在兩點P(-2,0)或P(10,0)符合題意.

        點撥直線和圓的位置關(guān)系的判斷主要從幾何法入手,牢記點到直線距離公式,求切線方程往往要考慮斜率存在與否。如果遇到求切線長,抓住直角三角形。

        題型四定值定點問題

        【例4】已知過點A(-1,0)的動直線l與圓C:x2+(y-3)2=4相交于P、Q兩點,M是PQ的中點,l與直線m:x+3y+6=0相交于N.探索AM?AN是否與直線l的傾斜角有關(guān),若無關(guān),請求出其值;若有關(guān),請說明理由.

        分析定值定點問題是近年江蘇高考的熱點,在解決問題過程中往往含有一個甚至更多參數(shù),但這些參數(shù)只參與運算,對結(jié)果并無影響,跟多的考查學(xué)生的運算能力。

        解∵CM⊥MN,∴AM?AN=(AC+CM)?AN=AC?AN+CM?AN=AC?AN.

        當(dāng)l與x軸垂直時,易得N-1,-53,

        則AN=0,-53,又AC=(1,3),

        ∴AM?AN=AC?AN=-5.

        當(dāng)l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為

        y=k(x+1),

        則由y=k(x+1),

        x+3y+6=0,得N-3k-61+3k,-5k1+3k,

        則AN=-51+3k,-5k1+3k,

        ∴AM?AN=AC?AN=-51+3k+-15k1+3k=-5.

        綜上所述,AM?AN與直線l的斜率無關(guān),且AM?AN=-5.

        點撥結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)直線AC與直線m垂直,從而可用三角形相似更快求解,即用幾何法求解會更方便。不能用幾何法或想不到用幾何法,純代數(shù)法一定能解決問題,關(guān)鍵是提高運算能力。

        牛刀小試

        1. 過點P(2,1)的直線交x軸y軸正半軸于A,B兩點,求使:

        (1) 三角形AOB面積最小時直線的方程;

        (2) |PA|?|PB|最小時直線的方程.

        2. 已知圓C1:x2+y2+2x+2y-8=0與圓C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于A、B兩點.

        (1) 求公共弦AB所在的直線方程;

        (2) 求圓心在直線y=-x上,且經(jīng)過A、B兩點的圓的方程.

        3. 已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.

        (1) 若C的切線在x軸,y軸上的截距的絕對值相等,求此切線方程;

        (2) 從圓C外一點P(x1,y1)向圓引一條切線,切點為M,O為原點,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的P點的坐標(biāo).

        4. 已知圓C的方程為x2+y2=1,直線l1過定點A(3,0),且與圓C相切.

        (1) 求直線l1的方程;

        (2) 設(shè)圓C與x軸交于P、Q兩點,M是圓C上異于P、Q的任意一點,過點A且與x軸垂直的直線為l2,直線PM交直線l2于點P′,直線QM交直線l2于點Q′.求證:以P′Q′為直徑的圓C′總過定點,并求出定點坐標(biāo).

        【參考答案】

        1. 可選擇點斜式,或截距式,較為方便,隨后轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值.

        (1) x+2y-4=0;

        (2) x+y-3=0.

        2. (1) x2+y2+2x+2y-8=0,

        x2+y2-2x+10y-24=0輝-2y+4=0.

        (2) 由(1)得x=2y-4,代入x2+y2+2x+2y-8=0中得:y2-2y=0.

        ∴x=-4,

        y=0或x=0,

        y=2,即A(-4,0),B(0,2),

        又圓心在直線y=-x上,設(shè)圓心為M(x,-x),則|MA|=|MB|,解得M(-3,3),

        ∴⊙M:(x+3)2+(y-3)2=10.

        還可設(shè)圓系方程:x2+y2+2x+2y-8+k(x2+y2-2x+10y-24)=0(k≠0),從而寫出圓心坐標(biāo),代入直線y=-x,可解得k,即得方程.

        3. (1) ∵切線在x軸,y軸上的截距的絕對值相等,∴切線的斜率是±1.分別依據(jù)斜率設(shè)出切線的斜率,用點到直線的距離公式或判別式法,解得切線的方程為:x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.

        (2) 將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)式(x+1)2+(y-2)2=2,圓心C(-1,2),半徑r=2,設(shè)P的坐標(biāo)(x1,x2),

        ∵切線PM與CM垂直,

        ∴|PM|2=|PC|2-|CM|2,

        又∵|PM|=|PO|,

        坐標(biāo)代入化簡得2x1-4y1+3=0.

        |PM|最小時即|PO|最小,而|PO|最小即O點到直線2x1-4y1+3=0的距離,即3510.

        從而解方程組x21+y21=920,

        2x1-4y1+3=0,得滿足條件的點P坐標(biāo)為-310,35.

        4. (1) ∵直線l1過點A(3,0),且與圓C:x2+y2=1相切,設(shè)直線l1的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,

        則圓心O(0,0)到直線l1的距離為

        d=|3k|k2+1=1,解得k=±24,

        ∴直線l1的方程為y=±24(x-3).

        (2) 對于圓C:x2+y2=1,令y=0,則x=±1,即P(-1,0),Q(1,0).又直線l2過點A且與x軸垂直,∴直線l2方程為x=3.

        設(shè)M(s,t),則直線PM的方程為y=ts+1(x+1).

        解方程組x=3,

        y=ts+1(x+1),得P′3,4ts+1.同理可得Q′3,2ts-1.

        ∴以P′Q′為直徑的圓C′的方程為

        (x-3)(x-3)+y-4ts+1y-2ts-1=0,

        又s2+t2=1,

        ∴整理得(x2+y2-6x+1)+6s-2ty=0,

        若圓C′經(jīng)過定點,只需令y=0,

        從而有x2-6x+1=0,解得x=3±22,

        ∴圓C′總經(jīng)過定點,定點坐標(biāo)為(3±22,0).

        (作者:周炎,江蘇省平潮高級中學(xué))

        (上接第43頁)

        故所求四邊形的面積S=12|PQ||MN|=4(1+k2)1+1k2(2+k2)2+1k2=42+k2+1k25+2k2+2k2.

        令u=k2+1k2,得S=4(2+u)5+2u=21-15+2u.

        ∵u=k2+1k2≥2,

        當(dāng)k=±1時,u=2,S=169且S是以u為自變量的增函數(shù).∴169≤S<2.

        ②當(dāng)k=0時,MN為橢圓長軸,|MN|=22,|PQ|=2.∴S=12|PQ||MN|=2.

        綜合①②知四邊形PMQN的最大值為2,最小值為169.

        3. 易得a=2c,b=c,

        故橢圓C的方程為x2+2y2=2c2.

        又A(0,c),D(2c,c),F(c,0),T(2c,0),

        直線DF的方程為y=x-c,

        直線AT的方程為x+2y=2c.

        聯(lián)立y=x-c,

        x+2y=2c解得x=43c,

        y=13c,

        易證,點43c,13c在橢圓C:x2+2y2=2c2上,

        而易得點43c,13c即為點M,

        故存在λ=3,使TA=3TM成立.

        (作者:張婧,江蘇省平潮高級中學(xué))

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