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        直線與圓專題強(qiáng)化

        2012-04-09 03:00:14陳勇軍
        關(guān)鍵詞:設(shè)點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)原點(diǎn)

        陳勇軍

        直線與圓是高考的熱點(diǎn),也是高考的難點(diǎn),對(duì)這塊內(nèi)容復(fù)習(xí)切不可只是下苦功夫,要多動(dòng)腦筋、勤施小計(jì),才能使問題得以迎刃而解。本文就直線與圓的問題舉數(shù)例說明。

        【例1】如圖1,一根棒AB長為2米,斜靠在墻壁AC上,∠ABC=60°,如果棒的兩端A,B分別沿AC、CB方向滑動(dòng)到A′B′,且AA′=(3-2)米,問棒的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路程是米.

        分析目標(biāo)需要求棒的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路程,就必須知道點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)變化軌跡;在棒運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)A、B、D的位置發(fā)生變化,哪些量沒有發(fā)生改變呢?——線段AB的長度及∠C=π2是定值,進(jìn)一步可知,△ABC始終是直角三角形,同時(shí)DC=12AB=1,從而點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)變化軌跡是單位圓的一部分。

        解如圖2,點(diǎn)D,D′分別是線段AB,A′B′的中點(diǎn),點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是單位圓的一部分弧DD′,∠DCB=∠DBC=π3,因?yàn)锳A′=(3-2),所以A′C=AC-AA′=3-(3-2)=2,又A′B′=2,從而△A′CB′是等腰直角三角形,所以∠D′CB′=π4,進(jìn)而∠DCD′=π3-π4=π12,所以弧DD′的長度為π12×1=π12米.

        點(diǎn)撥探求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題時(shí),需要理清“動(dòng)”與“定”,從“動(dòng)”“定”中需求解題方法。

        總結(jié):(1) 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,這一結(jié)論是處理圓軌跡問題的常用方法。

        (2) 圓弧l=Rθ(R為半徑,θ為圓弧所對(duì)的圓心角)。

        【例2】點(diǎn)P(1,0)在直線l:ax+by+c=0上的射影為點(diǎn)M,其中a,b,c是滿足2b=c-a的任意三個(gè)實(shí)數(shù),定點(diǎn)N(-3,2),則|MN|的取值范圍是.

        分析(1) 直線l有沒有什么性質(zhì)呢?其中系數(shù)滿足2b=c-a。消去b,直線l可化為ax-12y+c12y+1=0,令x-12y=0,12y+1=0,得x=-1,y=-2,從而直線l過定點(diǎn)Q(-1,-2)。

        (2) 射影點(diǎn)M在哪里?始終保持∠PMQ=π2,且PQ=22,從而點(diǎn)M在以線段PQ為直徑的圓上,問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)M的距離的最值問題。

        解如圖3,根據(jù)分析可得|NA-AM|≤|MN|≤|NA+AM|,從而22≤|MN|≤42,即|MN|的取值范圍是[22,42].

        點(diǎn)撥注意隱含條件直線過定點(diǎn)。

        總結(jié):(1) 直線m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m,n∈R,A1B2≠A2B1)過定點(diǎn),定點(diǎn)為方程A1x+B1y+C1=0,

        A2x+B2y+C2=0的解。

        (2) 直徑所對(duì)圓周角為直角。

        【例3】過圓C:(x-6)2+(y-4)2=8上一點(diǎn)A(4,6)作圓的一條動(dòng)弦AB,點(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn).

        (1) 求點(diǎn)P的軌跡方程;

        (2) 設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)D(9,0)的對(duì)稱點(diǎn)為E,O為坐標(biāo)原點(diǎn),將線段OP繞原點(diǎn)O依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,所得線段為OF,求|EF|的取值范圍.

        分析易知,第一問P的軌跡方程是(x-5)2+(y-5)2=2(x≠4且y≠6),第二問關(guān)鍵是點(diǎn)E、F的變化是根據(jù)點(diǎn)P的變化而變化,從而設(shè)點(diǎn)P(x,y),接下來的任務(wù)是求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)。

        解(1) 連接PC,由垂徑分弦定理知,PC⊥AB,所以點(diǎn)P的軌跡是以線段AC為直徑的圓(除去點(diǎn)A).

        因?yàn)辄c(diǎn)A(4,6),C(6,4),則其中點(diǎn)坐標(biāo)為(5,5),又圓半徑r=|AC|2=2.

        故點(diǎn)P的軌跡方程是(x-5)2+(y-5)2=2(x≠4且y≠6).

        (2) 如圖4,因?yàn)辄c(diǎn)P、E關(guān)于點(diǎn)D(9,0)對(duì)稱,設(shè)點(diǎn)P(x,y),則點(diǎn)E(18-x,-y).

        設(shè)點(diǎn)F(x1,y1),因?yàn)榫€段OF由OP繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,

        則OF⊥OP,且|OF|=|OP|,即

        yx?y1x1=-1,且x2+y2=x21+y21.

        由yx?y1x1=-1,得yx=-x1y1.令y=-tx1,x=ty1(t>0),

        則t2(x21+y21)=x21+y21(t>0),所以t=1.

        因此點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-y,x).

        所以|EF|=(18-x+y)2+(-y-x)2=2?(x-9)2+(y+9)2.

        設(shè)點(diǎn)M(9,-9),則|EF|=2|PM|.

        因?yàn)辄c(diǎn)P為圓(x-5)2+(y-5)2=2上的點(diǎn),設(shè)圓心為N(5,5),則

        |PM|min=|MN|-2

        =(9-5)2+(-9-5)2-2

        =253-2,

        |PM|max=|MN|+2=253+2.

        故|EF|的取值范圍是[2106-2,2106+2].

        點(diǎn)撥向量性質(zhì):(1) 若向a=(x,y),則與它共線且長度相等的向量b=(x,y)或b=(-x,-y);(2) 若向a=(x,y),則與它垂直且長度相等的向量b=(-y,x)或b=(y,-x),從而點(diǎn)F的坐標(biāo)可以根據(jù)向量性質(zhì)直接得到OF=(-y,x),即F(-y,x)。

        總結(jié):(1) 點(diǎn)A(x,y)關(guān)于點(diǎn)M(m,n)對(duì)稱點(diǎn)為A′(2m-x,2n-y)。

        (2) 點(diǎn)A(x,y)關(guān)于直線x=m對(duì)稱點(diǎn)為A′(2m-x,y);點(diǎn)A(x,y)關(guān)于直線y=n對(duì)稱點(diǎn)為A′(x,2n-y)。

        (3) 點(diǎn)A(x,y)關(guān)于直線y=x+b對(duì)稱點(diǎn)為A′(y-b,x+b);點(diǎn)A(x,y)關(guān)于直線y=-x+b對(duì)稱點(diǎn)為A′(b-y,b-x)。

        (4) 點(diǎn)A(x,y)繞原點(diǎn)O依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得A′(-y,x);點(diǎn)A(x,y)繞原點(diǎn)O依順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得A′(y,-x)。

        【例4】如圖5,已知圓O:x2+y2=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn).邊長為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B均在圓O上,C、D在圓O外,當(dāng)點(diǎn)A在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí),C點(diǎn)的軌跡為E.

        (1) 求軌跡E的方程;

        (2) 過軌跡E上一定點(diǎn)P(x0,y0)作相互垂直的兩條直線l1,l2,并且使它們分別與圓O、軌跡E相交,設(shè)l1被圓O截得的弦長為a,設(shè)l2被軌跡E截得的弦長為b,求a+b的最大值.

        分析條件l1⊥l2如何應(yīng)用成為解題的關(guān)鍵!

        解(1) 連接OB,OA,因?yàn)镺A=OB=1,AB=2,所以O(shè)A2+OB2=AB2,

        所以∠OBA=π4,所以∠OBC=3π4,

        在△OBC中,OC2=OB2+BC2-2OB?BC=5,

        所以軌跡E是以O(shè)為圓心,5為半徑的圓,

        即軌跡E的方程為x2+y2=5.

        (2) 設(shè)點(diǎn)O到直線l1,l2的距離分別為d1,d2,

        因?yàn)閘1⊥l2,

        所以d21+d22=OP2=x20+y20=5,

        則a+b=21-d21+25-d22,則

        (a+b)2=4[6-(d12+d22)+2(1-d21)(5-d22)]

        ≤46-(d21+d22)+2?6-d21-d222

        =4[12-2(d21+d22)]=4(12-10)

        =8,

        當(dāng)且僅當(dāng)d21+d22=5,

        1-d21=5-d22,

        即d22=92,

        d21=12,時(shí)取“=”,

        所以a+b的最大值為22.

        點(diǎn)撥關(guān)注圖形中隱含的幾何條件d21+d22=OP2=5。

        總結(jié):考察直線與圓位置關(guān)系時(shí),通??紤]圓心到直線的距離。

        牛刀小試

        1. 如圖,在長方形ABCD中,AB=3,BC=1,E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn),現(xiàn)將△AED沿AE折起,使點(diǎn)D在面ABC上的射影K在直線AE上,當(dāng)E從D運(yùn)動(dòng)到C,則K所形成軌跡的長度為.

        2. 當(dāng)θ取遍所有值時(shí),直線x?cosθ+y?sinθ=4+2sinθ+π4所圍成的圖形面積為.

        3. 已知圓O:x2+y2=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn).正方形ABCD的一邊AB為圓O的一條弦,求線段OC長度的最值.

        【參考答案】

        1. 點(diǎn)D在面ABC上的射影K在直線AE上,則D1K⊥平面ABC,從而D1K⊥AE,在翻折過程中,∠AKD始終保持直角,從而點(diǎn)K的軌跡在以AD為直徑的圓上,如圖.點(diǎn)K在矩形的內(nèi)部及線段AC的上方,從而點(diǎn)K的軌跡為弧DKF,設(shè)線段AD的中點(diǎn)為O,則∠DOF=2∠DAF=2∠DAC=2π3,又半徑R=12,所以弧DKF的長度為π3.

        2. 如圖,點(diǎn)(1,1)到直線的距離為d=4,直線始終與定圓(x-1)2+(y-1)2=16相切,從而動(dòng)直線所圍成的圖形為圓,其面積為16π.

        3. 設(shè)正方形邊長為a,∠OBA=θ,則cosθ=a2,θ∈0,π2.

        當(dāng)A、B、C、D按順時(shí)針方向時(shí),如圖所示,在△OBC中,

        a2+1-2acosπ2+θ=OC2,

        即OC=(2cosθ)2+1+2?2cosθ?sinθ

        =4cos2θ+1+2sin2θ

        =2cos2θ+2sin2θ+3

        =22sin2θ+π4+3,

        (下轉(zhuǎn)第55頁)

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