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        淺談立體幾何課本例題在高考中的應(yīng)用

        2012-04-09 03:00:14蔡飛
        關(guān)鍵詞:線面中點(diǎn)例題

        縱觀近幾年高考立體幾何題,不難發(fā)現(xiàn)基本遵循了“穩(wěn)定大局、控制難度、改革探索”的指導(dǎo)思想和原則,難度有所降低,更著重考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握能力,試題大多源于課本習(xí)題。課本習(xí)題是教材的重要組成部分,它蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)功能和思維模式,運(yùn)用這些典型題目解答問題,具有巧妙、簡(jiǎn)捷、明快的特點(diǎn)。本文以課本數(shù)學(xué)必修2《立體幾何》直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系習(xí)題為例,說明課本習(xí)題在高考中的應(yīng)用。

        我們先從課本例題入手,梳理立體幾何高考相關(guān)考查知識(shí)點(diǎn),進(jìn)而分析課本例題在高考中的應(yīng)用,為同學(xué)們指明高考立體幾何考查的方向。

        【例1】(蘇教版課本P31頁(yè))已知E、F分別是三棱錐ABCD的側(cè)棱AB,AD的中點(diǎn),求證:EF∥平面BCD.

        這道例題主要考查了學(xué)生對(duì)于直線與平面位置關(guān)系的判定,以及空間想象能力和推理論證能力。

        2008年、2009年、2011年的高考立體幾何題的第1問全是基于本例題出題,同學(xué)們只要對(duì)課本例題了解和掌握,對(duì)于此類高考題的解答將是駕輕就熟的。

        【例2】(蘇教版課本P44頁(yè))在正方體ABCDA′B′C′D′中,求證:平面A′C′CA⊥平面B′D′DB.

        這道例題主要考查了學(xué)生對(duì)于平面與平面位置關(guān)系的判定,2008年、2009年、2011年的高考立體幾何題的第2問均出自于本例題,面面垂直的判定看似簡(jiǎn)單,實(shí)則對(duì)于學(xué)生識(shí)圖、將概念、性質(zhì)靈活應(yīng)用于圖形以及對(duì)圖形的處理能力有相當(dāng)高的要求,包括會(huì)把非標(biāo)準(zhǔn)圖形轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)圖形,對(duì)圖形的割、補(bǔ)、折、展等高考長(zhǎng)考不衰的內(nèi)容。

        下面就2008年、2009年、2011年高考立體幾何題進(jìn)行分析和解答。

        例題一(2008年江蘇高考)如圖,在四面體ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F(xiàn)分別是AB,BD的中點(diǎn),

        求證:(1) 直線EF∥面ACD;

        (2) 面EFC⊥面BCD.

        分析第1問要證明直線EF∥面ACD,只要證明直線EF和面ACD內(nèi)的直線AD平行即可。

        第2問要證明面EFC⊥面BCD,只要證明線面垂直。由題目可知,只要證明直線BD⊥面EFC即可。

        解(1) E,F(xiàn)分別為AB,BD的中點(diǎn)軪F∥AD

        軪F∥AD

        AD濟(jì)鍭CD

        EFっ鍭CD軪F∥面ACD.

        (2) EF∥AD

        AD⊥BD軪F⊥BD

        CD=CB

        F為BD的中點(diǎn)軨F⊥BD

        EF∩CF=F

        BD⊥面EFC,又BD濟(jì)鍮CD,

        所以面EFC⊥面BCD.

        例題二(2009年江蘇高考)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分別是A1B,A1C的中點(diǎn),點(diǎn)D在B1C1上,A1D⊥B1C.

        求證:(1) EF∥平面ABC;

        (2) 平面A1FD⊥平面BB1C1C.

        分析第1問重點(diǎn)考查的是直線和平面的位置關(guān)系,由線線平行,得到線面平行。目標(biāo)很明確,對(duì)于考生來講,只要掌握最基本的判定定理,即可順利完成證明。

        第2問重點(diǎn)考查的是平面和平面的位置關(guān)系,要證明面面垂直,只要證明線面垂直,根據(jù)判定定理即可得到證明。

        解(1) 因?yàn)镋,F分別是A1B,A1C的中點(diǎn),所以EF∥BC,又EFっ鍭BC,BC濟(jì)鍭BC,所以EF∥平面ABC.

        (2) 因?yàn)橹比庵鵄BCA1B1C1,所以BB1⊥面A1B1C1,BB1⊥A1D,又A1D⊥B1C,所以A1D⊥面BB1C1C,又A1D濟(jì)鍭1FD,所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.

        牛刀小試

        1. 如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是AD,DD1的中點(diǎn),求證:EF∥平面A1BC1.

        2. 如圖,四棱錐PABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,點(diǎn)E在棱PB上.求證:平面AEC⊥平面PDB.

        【參考答案】

        1. 證明:連接AD1,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,可知AB∥D1C1,AB=D1C1,則四邊形ABC1D1是平行四邊形,所以AD1∥BC1.因?yàn)镋,F分別是AD,DD1的中點(diǎn),所以AD1∥EF,則EF∥BC1,又EFっ鍭1BC1,BC1濟(jì)鍭1BC1,則EF∥平面A1BC1.

        2. 證明:因?yàn)镻D⊥底面ABCD,AC濟(jì)鍭BCD,所以AC⊥PD.

        又因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形,所以AC⊥BD.從而可得AC⊥面PDB,又AC濟(jì)鍭EC,所以平面AEC⊥平面PDB.

        (作者:蔡飛,揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué))

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