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        轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的應(yīng)用

        2012-04-09 03:00:14田秀權(quán)
        關(guān)鍵詞:利用

        立體幾何是高中階段的重要內(nèi)容,也是高考的必考內(nèi)容。針對同學(xué)們在解立體幾何題時常常遇到的困難:一是難以很清晰地想象出題目中給出的空間圖形;二是難以很好的將題設(shè)的條件與所學(xué)知識合理整合并進(jìn)行有效的邏輯推理;三是難以找到合理的運(yùn)算方法,解題常半途而廢。筆者給你支招,教你如何轉(zhuǎn)化,以克敵制勝。

        一、 利用“基本模型”,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

        【命題分析】正方體與長方體是立體幾何中最常見的幾何體,其包含了所有的直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系以及特定的數(shù)量關(guān)系,有著立體幾何中的“百寶箱”的美譽(yù)。出題者往往以它們?yōu)檩d體出題或題目中隱含著正方體、長方體模型。所以利用好正方體與長方體這兩個“基本模型”進(jìn)行轉(zhuǎn)化,可使問題更直觀、簡單化。

        【例1】已知a,b為異面直線,α是一個平面,則a,b在α上的射影有可能是

        ①兩條平行線;②兩條互相垂直的直線;③同一條直線;④一條直線及其外一點(diǎn).

        在上面結(jié)論中,正確結(jié)論的編號是(寫出所以正確結(jié)論的編號).

        解析題設(shè)中的條件比較抽象,若直接想象有難度,故考慮正方體模型.如圖1,在正方體ABCDA1B1C1D1中,A1D與BC1在平面ABCD上的射影互相平行;A1D與AB1在平面ABCD上的射影互相垂直;A1D與BB1在平面ABCD上的射影是一條直線及其外一點(diǎn);③顯然錯誤,故填①②④.

        點(diǎn)撥正方體中包含了所有的直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,故涉及到復(fù)雜的線、面的位置關(guān)系判定時,考慮正方體模型可使問題直觀,簡單化。

        【例2】已知三棱錐PABC,PA=BC=234,PB=AC=10,PC=AB=241,則三棱錐PABC的體積為.

        解析若按常規(guī)方法利用體積公式求解,底面積可用海倫公式求解,但頂點(diǎn)到底面的高難以求出.考慮到該三棱錐的三對對棱兩兩相等,以及長方體的對面對角線相等,聯(lián)想長方體模型.如圖2,設(shè)PE=x,EB=y,EA=z,則由已知得:

        x2+y2=100,

        x2+z2=136,

        y2+z2=164解得x=6,

        y=8,

        z=10,

        從而知VPABC=VAEBGFPDC-VPAEB-VCABG-VBPDC-VAFPC=VAEBGFPDC-4VPAEB=160.

        點(diǎn)撥正方體或長方體中可構(gòu)造出一些特殊的三棱錐或四棱錐,如正四面體、三側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐等等,碰到這些問題時,利用正方體或長方體這兩個“基本模型”,往往可使我們在思路上撥開云霧見晴天。

        二、 利用“降維思維”,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

        【命題分析】解立體幾何問題的一個基本原則就是空間問題平面化,三維的空間向二維的平面轉(zhuǎn)化,即為“降維思想”。這里,也蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)問題,圍繞這樣的問題,命制高考數(shù)學(xué)試題,應(yīng)當(dāng)引起我們的高度重視。

        【例3】如圖3(1),設(shè)正三棱錐SABC的底面邊長為b,側(cè)棱長為2b,E,H分別是SB,SC上的動點(diǎn),求線段和AE+EH+HA的最小值.

        解析如圖3(2),在三棱錐SABC中處理困難,利用側(cè)面展開圖化歸到平面圖形中研究是處理這個問題的關(guān)鍵.從側(cè)面展開圖中可看出,當(dāng)A,E,H,A1四點(diǎn)共線時,AE+EH+HA取得最小值.設(shè)∠ASB=θ,則易得sinθ2=b22b=14,sin32θ=sinθ+θ2=3sinθ2-4sin3θ2=1116,

        所以AE+EH+HA的最小值為2?2b?sin32θ=114b.

        點(diǎn)撥空間多面體、旋轉(zhuǎn)體表面上兩點(diǎn)間的最短距離問題,通常采用“降維思想”,轉(zhuǎn)化到其側(cè)面展開圖上去研究。

        【例4】在三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠ABP=30°,AB=BC,求異面直線AB與PC所成角的余弦值.

        解析直線AB與PC分別在不同的兩個平面ABP,APC中,我們無法去度量,故通過平移的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化,將分散在不同平面的直線轉(zhuǎn)移到同一平面內(nèi),利用平面幾何的知識解決處理.如圖4,分別取線段PB,AC,BC,AB的中點(diǎn)D,E,F,G,

        則DF∥PC,EF∥AB,DG∥AP,由題設(shè)可得EF⊥DE.不妨設(shè)AB與PC所成角為θ,|AP|=a,計算可得:

        |DE|=a,|EF|=32a,|DF|=72a,

        所以cosθ=cos∠DFE=|EF||DF|=217.

        點(diǎn)撥本題將異面直線所成的角的計算,轉(zhuǎn)化為平面角的計算是解題的關(guān)鍵。

        三、 利用“逆向思維”,巧作輔助平面,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

        【命題分析】垂直或平行的證明很好的考查了學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力,另外,新課標(biāo)中,由于文科只學(xué)立幾初步,所以以垂直或平行為主的證明會是高考立體幾何大題的熱門考點(diǎn)。

        【例5】如圖5,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E是棱BC的中點(diǎn).

        (1) 求證:BD1∥平面C1DE;

        (2) 試在棱CC1上求一點(diǎn)P,使得C1E⊥平面A1B1P.

        解析(1) 線面平行的轉(zhuǎn)化途徑是:線線平行菹咼嫫叫校面面平行菹咼嫫叫.若按思路一,如何在平面C1DE內(nèi)找一直線與BD1平行是關(guān)鍵,利用逆向思維,把BD1∥平面C1DE作為條件,應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理找出所需直線,即過直線BD1作一平面與平面C1DE相交,交線即為所要找的直線;如圖5(1)連接D1C交DC1于F,則平面CD1B與平面C1DE交于EF,因?yàn)辄c(diǎn)F是DC1的中點(diǎn),點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),所以線段EF是△CD1B的中位線,所以EF∥BD1,EF∥BD1,

        EF濟(jì)鍯1DE,

        BD1っ鍯1DE

        軧D1∥平面C1DE.

        若按思路二,如何構(gòu)造一平面與平面C1DE平行是關(guān)鍵,利用逆向思維,結(jié)合面面平行的判定定理,故只要過點(diǎn)B或點(diǎn)D1作一直線與平面C1DE,由該直線與BD1確定的平面即為所找平面.如圖5(2)過點(diǎn)B作BF∥DE,交AD于點(diǎn)F,連接D1F.由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),可知點(diǎn)F是AD的中點(diǎn),所以EF

        瘙 綊 CD

        瘙 綊 C1D1,所以四邊形FEC1D1是平行四邊形,所以D1F∥C1E,易證D1F∥平面C1DE;由BF∥DE,易證BF∥平面C1DE,又D1F∩BF=F,所以平面D1FB∥平面C1DE,所以BD1∥平面C1DE.

        (2) (利用逆向思維,則C1E⊥B1P)如圖5(3)過點(diǎn)B1作B1P⊥C1E(即P為中點(diǎn)),連接A1P,

        又由正方體易證A1B1⊥C1E,A1B1∩B1P=B1,

        所以C1E⊥平面A1B1P.

        點(diǎn)撥平行或垂直的判定定理、性質(zhì)定理的本質(zhì)就是轉(zhuǎn)化,比如:線線平行與線面平行的轉(zhuǎn)化,線面垂直與線線垂直的轉(zhuǎn)化等等;而如何找到所需的直線或平面則是關(guān)鍵,利用“逆向思維”,把結(jié)論作為條件和題設(shè)條件整合到一起分析,可幫我們更好地鎖定目標(biāo)(要找的直線或平面)。

        四、 利用“割補(bǔ)法”或“等體積法”,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化

        【命題分析】“化不規(guī)則為規(guī)則,化不熟悉為熟悉”是學(xué)生思維能力、數(shù)學(xué)能力的重要體現(xiàn)。圍繞著這種能力的考查,可以命制出許多令人賞心悅目的數(shù)學(xué)試題。立體幾何中,在求解幾何體的體積時,對于無法直接應(yīng)用體積公式或不是規(guī)則幾何體時,往往采用“等體積法”或“割補(bǔ)法”進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

        【例6】如圖6,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠ADC=120°,AA1=AB=1,點(diǎn)O1,O分別是上、下底面的對角線的交點(diǎn).

        (1) 求證:A1O∥平面CB1D1;

        (2) 求三棱錐OB1D1C的體積.

        解析(1) 證明略.

        (2) 若直接考慮VOB1D1C,點(diǎn)O到面B1D1C的距離相對復(fù)雜,故考慮等體積法,轉(zhuǎn)化頂點(diǎn).因?yàn)镈D1⊥平面ABCD,所以DD1⊥CO;因?yàn)榱庑蜛BCD,所以BD⊥CO;又因?yàn)镈D1∩BD=D,所以CO⊥平面BB1D1D,所以點(diǎn)C到平面OB1D1的距離即為CO的長度,在菱形中,BC=1,∠BCD=60°,CO=32.

        易知點(diǎn)O到直線B1D1的距離為DD1=1,

        所以VOCB1D1=VCOB1D1=13?S△OB1D1?CO=312.

        點(diǎn)撥等體積法的關(guān)鍵在于找出易于求出幾何體高的頂點(diǎn),進(jìn)行轉(zhuǎn)化,另利用等體積法亦可求點(diǎn)到平面的距離。比如:該題可進(jìn)一步求出點(diǎn)O到面B1D1C的距離。在△CB1D1中,CB1=CD1=2,B1D1=1,S△CB1D1=74,所以VOCB1D1=13?S△CB1D1?h=712h。

        又VOCB1D1=VCOB1D1,可解得h=217。

        【例7】如圖7,在多面體ABCDEF中,已知ABCD是邊長為3的正方形,EF∥AB,EF=32,EF與平面ABCD的距離為2,則該多面體的體積是.

        解析這是一個特殊的擬柱體,怎樣將它的體積轉(zhuǎn)化為我們熟悉的幾何體來計算是關(guān)鍵,不妨先讓線段EF沿直線EF動起來,使側(cè)面BCF⊥底面ABCD,再用割補(bǔ)法求解.

        方法一(先割后補(bǔ))過E作截面EMN⊥底面ABCD,則V柱BCFMNE=12?3?2?32=92,V椎EAMND=13?3?32?2=3,

        所以VABCDEF=92+3=152.

        方法二(先補(bǔ)后割)延長FE到M,使EM=EF=32.連接AM,DM,則得直三棱柱BCFADM.

        VBCFADM=12?3?2?3=9,

        V錐EADM=13?12?3?2?32=32,

        所以VABCDEF=9-32=152.

        點(diǎn)撥割補(bǔ)法的關(guān)鍵是把不規(guī)則幾何體或圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體或圖形。

        牛刀小試

        1. 已知PA、PB、PC兩兩垂直且PA=2,PB=3,PC=2,則過P、A、B、C四點(diǎn)的球的體積為.

        2. 有一個各棱長都為a的正四棱錐,現(xiàn)用一個正方形包裝紙將其完全包住,不能裁剪,可以折疊,那么包裝紙的最小邊長為.

        3. 在棱長為1的正方體上,分別用過公共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面截該正方體,則截去8個三棱錐后,剩下的幾何體的體積是.

        4. 如圖,等邊△ABC與直角梯形ABDE所在平面垂直,BD∥AE,BD=2AE,AE⊥AB,M為AB的中點(diǎn).

        (1) 證明:CM⊥DE;

        (2) 在邊AC上找一點(diǎn)N,使CD∥平面BEN.

        【參考答案】

        1. 以PA、PB、PC為過公共頂點(diǎn)的三條棱構(gòu)造長方體模型,長方體的體對角線即為外接球的直徑,易得V=92π.

        2. 利用“降維思想”,把正四棱錐的側(cè)面展開與底面共面,只要包裝紙能包住展開圖就能包住正四棱錐,易得正方形的最小邊長為2+62a.

        3. 利用割補(bǔ)思想,易得V=56.

        4. (1) 因?yàn)锽C=AC,M為AB的中點(diǎn).所以CM⊥AB,又因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ABDE,平面ABC∩平面ABDE=AB,CM計矯鍭BC,

        所以CM⊥平面ABDE,

        又因DE計矯鍭BDE,所以CM⊥DE.

        (2) 當(dāng)ANAC=13時,CD∥平面BEN.連接AD交BE于點(diǎn)K,連接KN,

        因梯形ABDE中,BD∥AE,BD=2AE,

        所以AKKD=AEBD=12,則AKAD=13.

        又因?yàn)锳NAC=13,所以KN∥CD.

        又KN計矯鍮EN,CDて矯鍮EN,

        所以CD∥平面BEN.

        (作者:田秀權(quán),江蘇省海安縣曲塘中學(xué))

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