潘子健， 孟祥寶， 潘淑璋

（吉林大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，吉林 長春 130025）

基于CATIA求圓錐與圓球相貫線的投影分析

潘子健， 孟祥寶， 潘淑璋

（吉林大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，吉林 長春 130025）

分析了用輔助球面法和換面法求圓錐與圓球各種位置相貫線的投影作圖過程，為輔助球面法的求解提供了較多的示例和思路，也為求復(fù)雜回轉(zhuǎn)體交線的作圖過程提供了借鑒，并通過CATIA三維模型佐證求解相貫線的正確性，進(jìn)而使求解過程直觀、準(zhǔn)確、方便。

定心球面法；變心球面法；換面法；相貫線；工程圖學(xué)；CATIA應(yīng)用

求回轉(zhuǎn)體表面的相貫線是工程圖學(xué)課程投影基礎(chǔ)部分較難理解的內(nèi)容之一，其作圖方法和過程有許多限制條件。通常有表面取點(diǎn)法、輔助平面法、輔助球面法、輔助柱面法和輔助錐面法等[1-6]，前兩種方法利用回轉(zhuǎn)體某一投影的積聚性，后3種則要求相貫體之間及其對(duì)投影面有特殊相對(duì)位置。

相貫線是參與相交兩立體表面的共有線，求相貫線投影的實(shí)質(zhì)是求兩立體表面上一系列共有點(diǎn)的投影。用輔助球面與相貫兩回轉(zhuǎn)體表面相交，當(dāng)球心同時(shí)位于兩回轉(zhuǎn)體軸線時(shí)，所得交線是分別與其軸線垂直的圓，此兩圓的交點(diǎn)就是相貫線上的點(diǎn)，即3面共點(diǎn)原理?；诖朔治?，只要兩回轉(zhuǎn)體軸線相交，就可以考慮使用輔助球面法求其相貫線。

換面法則是將不能在投影面上直接投影成圓或直線（其中包含相貫線上點(diǎn)），但通過向新投影面投影能夠得到圓或直線（實(shí)形或?qū)嶉L），以便作出相貫線上點(diǎn)的方法。

1 用輔助球面法求相貫線

輔助球面法分為定心球面法和變心球面法兩種。由于學(xué)時(shí)的限制，多數(shù)教材只簡(jiǎn)介定心球面法，變心球面法介紹很少。本文以圓臺(tái)和圓球相貫為例，分析用定心球面法和變心球面法求解各種位置相貫線的具體作圖過程。

1.1 用定心球面法求相貫線

用定心球面法求相貫線是指固定輔助球球心位置，改變輔助球半徑與兩曲面相交，交線是一系列圓的一種作圖方法。

如圖1上圖所示，圓臺(tái)軸線和圓球球心構(gòu)成正平面，在正面投影中可以以圓臺(tái)軸線與球體對(duì)稱中心線的交點(diǎn) O '為固定球心，依次作輔助球面（正面投影為a '、b '、c' 、d '）與圓臺(tái)相交的水平緯圓分別為h '、e '、f '、g '，與圓球相交分別為側(cè)平圓p '、k '、j '、i '；這些緯圓的正面投影均為直線，其中h '與p '、e '與k '、f '與j '、g '與i '分別相交于1 '、2 '、3 '、4 '點(diǎn)，即分別為輔助球面、圓臺(tái)和圓球的3面共有點(diǎn)。加上圓臺(tái)與圓球正面投影轉(zhuǎn)向輪廓線的交點(diǎn)共有6個(gè)點(diǎn)，將其順次光滑地連接起來，就作出了圓臺(tái)與圓球的正面投影的相貫線，相貫線的另兩面投影按照投影規(guī)律可以方便求出，這里不再贅述。圖1下圖是相應(yīng)投影作圖過程的CATIA三維模型。

圖1 球心和圓臺(tái)軸線構(gòu)成正平面的定心球面法投影作圖之一

如圖2上圖所示，圓臺(tái)與圓球的位置與圖1一致。由于圓臺(tái)軸線與圓球球心構(gòu)成正平面，與無數(shù)條圓球的正平直徑（軸線）相交，因此，也可以把輔助球面的固定球心取在圓臺(tái)軸線的任一位置O'。取任意半徑作輔助球面，在V面投影a '、b '、c '、d '與圓臺(tái)相交的緯圓為h '、e '、f '、g '，與球體相交為緯圓p '、k '、j '、i '，這些緯圓的V面投影都是直線。h 'i '、e 'j '、f 'k '、g 'p'分別相交于1 '、2 '、3 '、4 '點(diǎn)，把這4個(gè)點(diǎn)加上圓臺(tái)與圓球主視轉(zhuǎn)向輪廓線的交點(diǎn)順次光滑連接便作出相貫線的正面投影。圖2下圖是相應(yīng)投影作圖過程的CATIA三維模型。

圖2 球心和圓臺(tái)軸線構(gòu)成正平面的定心球面法投影作圖之二

另外，當(dāng)圓臺(tái)軸線與圓球球心所構(gòu)成的平面是鉛垂面時(shí)，也可以把輔助球固定球心取在圓臺(tái)軸線與過球心的水平面的交點(diǎn)O處，作圖過程需要利用其兩面投影，如圖3上圖所示。

以O(shè)點(diǎn)為固定球心作輔助球面，正面投影為a'、b '，水平投影為a、b，輔助球面與圓球交線的水平投影為e、f，與圓臺(tái)交線的正面投影為c '、d '，根據(jù)c '、d '作出水平投影c、d，c與f的交點(diǎn)3、5；d與e的交點(diǎn)2、6為相貫線上的點(diǎn)，根據(jù)投影規(guī)律，利用緯圓求出這些點(diǎn)的正面投影2 '、3 '、5 '、6 '，再作出兩個(gè)極限點(diǎn)1、1 '、4、4'（為使圖面清晰作圖過程省略），把這6個(gè)點(diǎn)順次光滑連接起來即求出圓臺(tái)與圓球體的相貫線的兩面投影。圖3下圖是相應(yīng)投影作圖過程的CATIA三維模型。

圖3 球心和圓臺(tái)軸線構(gòu)成鉛垂面的定心球面法投影作圖

1.2 變心球面法求相貫線

簡(jiǎn)單地說，用變心球面法求相貫線是改變輔助球球心位置和半徑大小，使之與兩回轉(zhuǎn)體表面交線是一系列圓的一種作圖方法。

如圖4上圖所示，圓臺(tái)軸線和圓球球心構(gòu)成的平面為正平面。任取兩段弦a '、c '，作弦a '、c '的中垂線，交圓臺(tái)軸線于Ob'和Od'，以O(shè)b'和Od'為圓心畫圓b '、d '與圓臺(tái)的主視轉(zhuǎn)向輪廓線交于e '、f '，a '、e '相交于2 '點(diǎn)，c '、f '相交于3'點(diǎn)，2 '、3 '這兩個(gè)點(diǎn)即是相貫線上的點(diǎn)，再作出兩立體主視轉(zhuǎn)向線的交點(diǎn)1 '、4 '，把這4個(gè)點(diǎn)依次光滑連接便作出相貫線的正面投影（為使圖面清晰僅作出兩個(gè)一般位置點(diǎn)）。相應(yīng)的CATIA三維模型如圖4下圖所示。

圖4 變心球面法求相貫線投影作圖之一

如圖5上圖所示，圓臺(tái)與圓球的位置與圖4一致。分別作正垂面pva、pvb、pvc與圓球相交，交線為正垂面內(nèi)的緯圓，過O '分別作pva、pvb、pvc的垂線交圓臺(tái)軸線于Oa'、Ob'、Oc'，再分別以O(shè)a'、Ob'、Oc'為圓心畫圓a '、b '、c '與圓臺(tái)轉(zhuǎn)向輪廓線交于d '、e '、f '，它們與pva、pvb、pvc的交點(diǎn)為2 '、3 '、4 '，再作出圓臺(tái)與圓球體主視轉(zhuǎn)向輪廓線的交點(diǎn)1 '、5 '，將其順次光滑連接便求出相貫線的正面投影。圖5下圖是相應(yīng)的CATIA的三維模型。

圖5 變心球面法求相貫線另一種投影作圖之二

2 用換面法求相貫線

以上用輔助球面法求相貫線都是在圓臺(tái)軸線與圓球球心構(gòu)成正平面或鉛垂面前提下進(jìn)行的，可以方便地用定心球面法或變心球面法。其中當(dāng)圓臺(tái)軸線和圓球球心在構(gòu)成鉛垂面時(shí)（見圖3），球心只能取在圓臺(tái)軸線與過球心水平面的交點(diǎn)處，這時(shí)用變心球面法求相貫線，輔助球面與兩立體的交線在兩個(gè)投影面的投影都不是直線或圓，無法直接作出相貫線，因此可以采用換面法，使新投影面與圓臺(tái)軸線與圓球體球心構(gòu)成的平面（即水平投影的對(duì)稱平面）平行，作圖過程如圖6所示。

圖6 用換面法求相貫線投影作圖

在新投影面作球體投影的弦長a '、b '、c ',作a '、b '、c '的中垂線交圓臺(tái)軸線于Oa'、Ob'、Oc'，以O(shè)a'、Ob'、Oc'為圓心畫圓與圓臺(tái)轉(zhuǎn)向輪廓線相交于緯圓h '、i '、j '，此時(shí)a '、b '、c '和h'、i '、j '相交于2 '、（3 '）、4 '、（5 '）、6 '、（7 '）點(diǎn)，再求出相貫線的極限點(diǎn)1 '、8 '，在新投影面上把這些點(diǎn)光滑連接，就求出了相貫線在新投影面的投影。根據(jù)相貫線在新投影面的投影可以作出原投影面V、H的投影（作圖過程略）。

3 結(jié) 束 語

通過以上作圖過程可以看到利用輔助球面法求相貫線有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，特別適用于復(fù)雜回轉(zhuǎn)體相交的情況。本文的工作為復(fù)雜回轉(zhuǎn)體相貫線的求解提供了一些方法、思路和借鑒。同時(shí)用CATIA三維模型為相貫線投影作圖過程增強(qiáng)了直觀性。

[1] 魏新貴. 輔助球面法應(yīng)用條件的分析和討論[J]. 江蘇工學(xué)院學(xué)報(bào), 1987, (4): 101-107.

[2] 魯建慧. 用異心輔助球面法求作兩曲面的交線[J].黑龍江礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào), 1994, (2): 61-64.

[3] 易原源. 輔助球面法應(yīng)用于非回轉(zhuǎn)面的分析和討論[J].南方冶金學(xué)院學(xué)報(bào), 1992, (2): 323-331.

[4] 大連理工大學(xué)工程畫教研室. 畫法幾何學(xué)[M] . 北京: 高等教育出版社, 1992: 134-146.

[5] 合肥工業(yè)大學(xué)工程圖學(xué)研究室. 畫法幾何學(xué)[M] .北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 1999: 116-124

[6] 同濟(jì)大學(xué), 上海交通大學(xué). 機(jī)械制圖[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997: 130-131.

Projection analysis of intersection of cone and sphere based on CATIA

Pan Zijian, Meng Xiangbao, Pan Shuzhang
( College of Mechanical Science and Engineering, Jilin University, Changchun Jinlin 130025, China )

The projection construction process of intersection of cone and sphere in some spatial locations is analyzed by the auxiliary-sphere method and projection-transformation method. It provides several samples and some clues for the implementation of intersections of basic and complex rotational solids by auxiliary-sphere method. The correctness involved in above is verified by 3D hybrid modeling on CATIA software, in which it makes the construction process pictorial, perfect and convenient.

fixing-center sphere method; shifting-center sphere method; projectiontransformation method; intersection of geometric solids; engineering graphics; CATIA application

TH 126

A

2095-302X (2012)04-0020-04

2011-06-13

吉林省教育廳重點(diǎn)教研資助項(xiàng)目（[2005]23號(hào)）

潘子?。?965-），男，吉林長春人，講師，學(xué)士，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)與理論、機(jī)械CAD。