李勁菲， 盛中平

（1. 大慶石油高級(jí)中學(xué)，黑龍江 大慶 163712；2. 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024）

Julia集和Mandelbrot集的反演變換

李勁菲1， 盛中平2

（1. 大慶石油高級(jí)中學(xué)，黑龍江 大慶 163712；2. 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024）

論文討論了居里葉集與曼德爾布羅特集的反演變換問(wèn)題，通過(guò)擴(kuò)充復(fù)平面上關(guān)于任意定點(diǎn)的反演變換，獲得了兩類共軛函數(shù)。使得這兩類共軛函數(shù)的居里葉集與曼德爾布羅特集，恰好是原居里葉集與曼德爾布羅特集關(guān)于定點(diǎn)的反演變換,并運(yùn)用逃逸時(shí)間算法繪制居里葉集和曼德爾布羅特集的反演圖。

分形；反演圖；逃逸時(shí)間算法；Julia集；Mandelbrot集

近年來(lái)，Mandelbrot集和Julia集以其美麗和復(fù)雜引起了各國(guó)科學(xué)家的關(guān)注和研究，并且利用計(jì)算機(jī)圖形學(xué)繪制Mandelbrot集和Julia集。文獻(xiàn)[1]用VB語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)Mandelbrot集分形圖的編程過(guò)程和結(jié)果，實(shí)現(xiàn)了用拖拽鼠標(biāo)進(jìn)行Mandelbrot集分形圖的局部放大顯示的功能。文獻(xiàn)[2]對(duì)傳統(tǒng)的Mandelbrot集計(jì)算機(jī)生成算法提出改進(jìn)方案，增加了算法內(nèi)循環(huán)中的測(cè)試功能，在復(fù)平面上對(duì)算法內(nèi)循環(huán)中的點(diǎn)進(jìn)行重復(fù)計(jì)算，更加準(zhǔn)確、藝術(shù)地描述出了Mandelbrot集的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[3]構(gòu)造了一系列復(fù)映射 z→ zα+ c( α ∈ R)的廣義Mandelbrot-Julia集的內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖。文獻(xiàn)[4-5]深入研究了Mandelbrot集和Julia集的關(guān)系，在四維空間中建立了Mandelbrot集和Julia集的統(tǒng)一模型，并且得出了Mandelbrot集的芽體的周期的特點(diǎn)。文獻(xiàn)[6-7]提出了一個(gè)解決非解析復(fù)迭代的Mandelbrot集和Julia集的研究方法，并用此方法得出了一些結(jié)論。本文將基于文獻(xiàn)[8]的一些結(jié)果做進(jìn)一步的推廣。

1 Julia集和Mandelbrot集

Mandelbrot集和 Julia集是分形領(lǐng)域中典型的例子，繪制它們的算法是逃逸時(shí)間算法。文獻(xiàn)[8]給出了生成的Julia集和的Mandelbrot集的圖像，本文將推廣此結(jié)果，給出其一般形式。

下面，先給出Julia集的定義。

定義 1 一般由一個(gè)二次復(fù)映射 f(z)= z2+ c, 對(duì)某一個(gè)確定的參數(shù)c∈C，復(fù)平面上的點(diǎn)z，從某一初始值 z0出發(fā)，進(jìn)行反復(fù)迭代運(yùn)算z = z2+ c(n = 0,1,2 …)，那么所有使迭代n+1n函數(shù) f( z)不發(fā)散的起始點(diǎn)的集合就構(gòu)成了一個(gè)填充的Julia集。而真正的Julia集則是指填充Julia集的邊界。

最后，給出Mandelbrot集的定義。

定義3 由一個(gè)二次復(fù)映射 f( z )=z2+c，對(duì)于復(fù)平面上的任意點(diǎn)c，進(jìn)行反復(fù)迭代運(yùn)算 zn+1=那么使所得序列有界c值的集合就構(gòu)成了Mandelbrot集fM 。

定義 4 由一個(gè)二次復(fù)映射 f(z )= z2+對(duì)于復(fù)平面上的任意點(diǎn)c，進(jìn)行反復(fù)迭代運(yùn)算n= 0,1,2 …)，那么使所得序列有界的 c值集合就構(gòu)成了Mandelbrot集 Mf。

以上定義是利用逃逸時(shí)間算法生成 Julia集和Mandelbrot集的基礎(chǔ)。下面將利用逃逸時(shí)間算法做出Julia集和Mandelbrot集，通過(guò)圖形對(duì)比得出兩個(gè)重要的定理。

2 試驗(yàn)與結(jié)果

2.1 逃逸時(shí)間算法基本思想

逃逸時(shí)間算法是根據(jù)M集和J集在復(fù)平面上的收斂性提出的，其構(gòu)造過(guò)程如下：

1） 給定計(jì)算機(jī)屏幕代表的迭代區(qū)域W，逃逸半徑R及最多迭代次數(shù)N。

2） 定義逃逸時(shí)間函數(shù)

3） 對(duì)迭代區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)c，計(jì)算 T (c)。

4） 如果 T (c )=0，則 c ∈M或J；如果T (c )≠0，則 c?M或J。

5） 對(duì)c點(diǎn)根據(jù)一定的渲染技術(shù)著色。

基于逃逸時(shí)間算法的思想，以下對(duì)Julia集和Mandelbrot集的具體算法思想不再贅述。

通過(guò) f (z)=z2+c生成的 Julia集的逃逸時(shí)間算法，得到它的圖像，圖1為 c = 0.1+0.5i的圖像，圖2為 c=-0.12+0.74i 的圖像。

根據(jù)定義2可以得出生成的 Julia集的逃逸時(shí)間算法，進(jìn)而得到它的圖像。其中圖3為 c0=0，c = 0. 1+0.5i 的圖像，即的Julia集在 i c 5.01.0+= 時(shí)的圖像；圖4為的圖像，即的Julia集在時(shí)的圖像；圖5為 c0= 0.1+0.3i ，c = 0. 1+0.5i 的圖像；圖6為 c0= 0.1+0.3i ， c=-0. 12+0.74i 的圖像；圖7為 c0= 0.7+0.1i ， c = 0.1+0.5i的圖像；圖8為c0= 0.7+0.1i ， c=-0. 12+0.74i 的圖像。

觀察圖3～圖8，可以看出圖3是圖1以0點(diǎn)為中心的反演，圖4是圖2以0點(diǎn)為中心的反演，圖5和圖7是圖1以 c0= 0.1+0.3i 和 c0=0.7+0.1i點(diǎn)為中心的反演，圖6和圖8是圖2以 c0=0.1+0.3i和c0= 0.7+0.1i 點(diǎn)為中心的反演，進(jìn)而得出結(jié)論的Julia集是 f (z)= z2+c的Julia集以任意定點(diǎn)c0為中心的反演。

圖1 Julia集f (z )=z2+c c = 0.1+0.5i

圖2 Julia集f (z )=z2+c c=-0.12+0.74i

圖3 Julia集 c0 =0 c = 0.1+0.5i

圖4 Julia集 c0=0 c=-0.12+0.74i

圖5 Julia集c0 = 0.1+0.3i c = 0. 1+0.5i

圖6 Julia集 c0 = 0.1+0.3i c=-0.12+0.74i

圖7 Julia集 c0 = 0.7+0.1i c = 0.1+0.5i

圖8 Julia集c0 =0.7+0.1i c=-0.12+0.74i

由此我們得出：

2.3f(z) = z2+ c及生成的Mandelbrot集

圖9為 f (z )=z2+c的Mandelbrot集的圖像；圖10～15為的Mandelbrot集的圖像。其中圖10是 c0=0，即的Mandelbrot集的圖像；圖11為圖10的放大圖；圖12～15中, c0分別取值 0. 1+ 0.2i，0 . 1- 0.2i，0. 7+ 0.1i ,0 .7- 0.1i。

觀察圖10，我們發(fā)現(xiàn)圖10是圖9以0點(diǎn)為中心的反演。由于 f (z )=z2+c的Mandelbrot集是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的，所以以 0為中心反演后的的 Mandelbrot集也是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，而且芽孢面向內(nèi)部。觀察圖11發(fā)現(xiàn)芽孢形狀類似 f (z )=z2+c的Mandelbrot集。

更進(jìn)一步的，由圖12～圖15可以看出，圖12與圖13二者是關(guān)于實(shí)軸相互對(duì)稱的，圖14與圖15二者亦然。所以我們可以得出結(jié)論當(dāng)c0取兩個(gè)共軛值時(shí)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè) Mandelbrot集是關(guān)于實(shí)軸相互對(duì)稱的。

綜上我們可以得出：

圖9 Mandelbrot集f (z)=z2+c

圖10 Mandelbrot集f(z )= z2+

圖11 Mandelbrot集 圖10的放大圖

圖12 Mandelbrot集

圖13 Mandelbrot集

圖14 Mandelbrot集

圖15 Mandelbrot集

3 結(jié) 論

[1] 陳 亮, 陳錦昌. 用VB實(shí)現(xiàn)Mandelbrot集分形圖的研究[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2003, (3): 99-104.

[2] 陳錦昌, 張國(guó)棟, 陳 亮. Mandelbrot集的內(nèi)部結(jié)構(gòu)[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 25(3): 78-81.

[3] 王興元, 黃 麗. 廣義Mandelbrot-Julia集的內(nèi)部結(jié)構(gòu)[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 26(5): 98-104.

[4] 朱志斌. Mandelbrot集和Julia集關(guān)系的初探[J]. 河西學(xué)報(bào), 2003, 19(5): 59-61.

[5] 朱志斌. Mandelbrot集和Julia集統(tǒng)一新模型的建立與模擬[J]. 微電子科學(xué)與計(jì)算機(jī), 2009, 26(10): 217-219.

[6] 焉德軍, 張 洪, 朱偉勇. 復(fù)迭代z →+c 的Mandelbrot集和 Julia集[J]. 沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 1999, 21(2): 169-171.

[7] 焉德軍. 復(fù)迭代映射zn+1=+c 的廣義Mandelbrot集研究[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2001, 24(4): 527-532.

[8] 派特根 H O, 里希特 P H. 分形——美的科學(xué)[M].北京: 科學(xué)出版社, 1994: 1-100.

The inversion between Mandelbrot and Julia sets

Li Jinfei1, Sheng Zhongping2
( 1. Daqing Petroleum High School, Daqing Heilongjiang 163712, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Changchun Jilin 130024, China )

The inversion problem between Mandelbrot and Julia sets is discussed in this paper. Providing the inversions of arbitrary point on extended complex plane to iterative functions, it obtains two kinds of conjugate function of the iterative function drawing Julia and Mandelbrot sets. The Julia and Mandelbrot sets for the two kinds of conjugate function, are exactly the inversion figures of original ones. Using the escape time algorithm, it draws the inversion figures of Julia and Mandelbrot sets.

fractal; inversion figure; escape time algorithm; Julia set; Mandelbrot set

TP 301.5

A

2095-302X (2012)03-0125-04

2010-06-18

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10971022）

李勁菲（1987-），女，內(nèi)蒙古通遼人，學(xué)士，主要研究方向?yàn)榉中蝿?dòng)力系統(tǒng)。