付紹軍，趙國(guó)棟，卓琨（空軍工程大學(xué)電訊工程學(xué)院，西安710077）

一種新的多信號(hào)卷積混合信號(hào)盲分離算法?

付紹軍，趙國(guó)棟，卓琨
（空軍工程大學(xué)電訊工程學(xué)院，西安710077）

對(duì)于含噪聲情況下多個(gè)源信號(hào)卷積混合盲分離，由于混合矩陣比較復(fù)雜，分離算法會(huì)出現(xiàn)迭代次數(shù)增加、收斂速度變慢等問(wèn)題。在對(duì)多信號(hào)卷積混合進(jìn)行合理簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上，提出一種以四階累積量為獨(dú)立準(zhǔn)則的多信號(hào)卷積混合的新的時(shí)域盲源分離算法。由于采用高階累積量為獨(dú)立準(zhǔn)則，該算法對(duì)高斯噪聲具有良好的抑制作用，改善了信噪比。其次，算法也建立了步長(zhǎng)因子的選取與二次殘差之間的非線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系，使得算法既獲得了較快的收斂速度，也得到較高的分離精度。仿真數(shù)據(jù)表明提出的算法對(duì)于多個(gè)源信號(hào)卷積混合具有良好的分離效果。

盲源分離；卷積混合；四階累計(jì)量；二次殘差

1 引言

盲源分離就是在源信號(hào)和混合參數(shù)均未知的情況下，僅通過(guò)觀察信號(hào)并根據(jù)源信號(hào)的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性恢復(fù)出源信號(hào)的技術(shù)。目前該技術(shù)廣泛應(yīng)用于通信的各個(gè)領(lǐng)域，尤其是在無(wú)線(xiàn)通信、信號(hào)處理等方面。然而，目前盲源分離算法研究大多都是針對(duì)瞬時(shí)混合模型的，但是在實(shí)際的通信情況中，源信號(hào)往往都是經(jīng)過(guò)不同路徑卷積混合而成的，所以有必要對(duì)卷積混合盲分離問(wèn)題進(jìn)行深入研究。

卷積混合結(jié)構(gòu)是復(fù)雜的，目前對(duì)于卷積混合信號(hào)的盲分離可以從時(shí)域和頻域兩方面進(jìn)行［1］，其中頻域算法可以利用快速傅里葉變換，則計(jì)算量較小，該方法可以利用瞬時(shí)盲分離算法，具有一定優(yōu)勢(shì)，但是在重構(gòu)信號(hào)前，必須解決盲源分離固有的尺度不確定性和排列不確定性，這是由于這兩個(gè)不確定性嚴(yán)重影響了分離性能。而時(shí)域算法則采用FIR濾波器模擬卷積混合模型，然后通過(guò)估計(jì)FIR濾波器系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分離。目前，該算法只限于兩個(gè)卷積混合信號(hào)的分離。針對(duì)該問(wèn)題文獻(xiàn)［2］提出了基于相關(guān)理論的卷積混合信號(hào)在多個(gè)源信號(hào)情況下的擴(kuò)展算法。但是該算法忽略了噪聲的影響，本文在此基礎(chǔ)上提出一種基于四階累積量的獨(dú)立準(zhǔn)則的多源卷積混合信號(hào)時(shí)域盲分離算法，該算法在合理簡(jiǎn)化卷積混合模型的基礎(chǔ)上，利用高階獨(dú)立性準(zhǔn)則，對(duì)FIR分離濾波器的系數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并通過(guò)反向回歸分離模型分離出源信號(hào)，為存在多個(gè)源信號(hào)情況下卷積混合提供了一種有效算法。

2 多信號(hào)卷積混合模型

在實(shí)際的通信環(huán)境中，源信號(hào)往往是經(jīng)過(guò)不同的路徑，在不同的時(shí)間延遲和噪聲干擾下，才被傳感器接收。這種復(fù)雜的通信情況可以用卷積混合模型來(lái)描述。在含噪聲的情況下，卷積混合模型可用下式表示［3］：

式中，?表示卷積運(yùn)算；X（t）為傳感器接收到的觀測(cè)信號(hào)；S（t）為相互獨(dú)立的源信號(hào)；A（t）為未知的線(xiàn)性濾波器矩陣，表征從源信號(hào)到傳感器的傳播途徑；B（t）為通信系統(tǒng)中的噪聲項(xiàng)。假設(shè)A（t）為L(zhǎng)階因果可逆濾波器，則式（1）又可以表示為

式中，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n；Xj（t）為第j個(gè)傳感器接收到的信號(hào)；Si為第i個(gè)源信號(hào)；Aji（k）為第i個(gè)源信號(hào)到第j個(gè)傳感器的因果FIR濾波器的第k個(gè)系數(shù)；L為濾波器的階數(shù)。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)源信號(hào)數(shù)目與觀測(cè)信號(hào)數(shù)目相等，即m=n，則在有噪聲情況下的卷積混疊模型可用圖1表示。

將式（1）的卷積混合模型變換到Z域可得：

卷積混合信號(hào)分離的目標(biāo)就是找到一個(gè)階數(shù)為L(zhǎng)的分離濾波器矩陣W（z），使得輸出信號(hào)Y（t）= W（z）X（t）相互之間統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，其中

3 卷積混合模型的合理簡(jiǎn)化

卷積混合系統(tǒng)的噪聲一般可分為高斯噪聲和非高斯噪聲，由于本節(jié)提出的算法采用四階累積量作為獨(dú)立判據(jù)，由高階統(tǒng)計(jì)理論可知，高階累積量對(duì)高斯過(guò)程有抑制作用，應(yīng)用于混有加性高斯噪聲的非高斯信號(hào)時(shí)可改善信噪比情況［4］。而對(duì)于非高斯噪聲則可作為獨(dú)立的源信號(hào)處理，因此在后面的討論當(dāng)中可以忽略噪聲項(xiàng)。則式（2）可簡(jiǎn)化為

對(duì)于混合濾波器矩陣A（z）而言，主對(duì)角元素的系數(shù)往往經(jīng)過(guò)排列變化和濾波變化被非對(duì)角元素的濾波器系數(shù)所吸收，所以對(duì)角元素Aii（z）=1，i=1，2，…，m。則可將混合濾波器矩陣A（z）進(jìn)一步簡(jiǎn)化為［5］

式中，A1m和Am1表示兩個(gè)濾波過(guò)程的交叉耦合。

4 算法的提出

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，這里假設(shè)源信號(hào)數(shù)和觀測(cè)信號(hào)數(shù)均為3，即n=m=3，則混合濾波器矩陣A（z）可表示為

本文算法就是尋找一個(gè)濾波器矩陣W（z）來(lái)逼近A（z）的逆矩陣使得S（t）=W（z）X（t），即得到下式矩陣：

其中，D（z）為A（z）的行列式，為保證A（z）可逆，則D（z）不能為零。而且如果多項(xiàng)式D（z）的零點(diǎn)在單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。分離信號(hào)S（t）就是通過(guò)W（z）由傳感器的濾波信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)的，源信號(hào)和6個(gè)濾波器也是通過(guò)反向傳播的回歸分離過(guò)程逐步識(shí)別的，源信號(hào)重構(gòu)過(guò)程可用下式表示：

式中，lij為濾波器Wij的長(zhǎng)度。式（9）用矩陣可表示為

為得到分離信號(hào)S（t），則需要得到逆濾波器W（z）的系數(shù)Wij。反向傳播回歸分離過(guò)程［6］如圖2所示。

本文通過(guò)在隨機(jī)自適應(yīng)迭代過(guò)程中最大化基于獨(dú)立性準(zhǔn)則的代價(jià)函數(shù)來(lái)估計(jì)逆濾波器W（z）的系數(shù)。迭代公式可用下式表示：

式中，uij（t）為步長(zhǎng)因子，函數(shù)φij（t，k）為可使濾波器系數(shù)收斂的代價(jià)函數(shù)，該代價(jià)函數(shù)基于獨(dú)立性準(zhǔn)則，且滿(mǎn)足收斂性，即φij（t，k）=0。根據(jù)前人研究，給出了相關(guān)獨(dú)立性的評(píng)判準(zhǔn)則［2］，即輸出解相關(guān)準(zhǔn)則：

但是由于文獻(xiàn)［2］忽略了噪聲的存在，所以在實(shí)際應(yīng)用中受到了極大的限制，并且該方法為固定步長(zhǎng)算法，算法不能得到良好收斂效果。

本文提出的高階累積量的判據(jù)準(zhǔn)則只需待分離信號(hào)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立甚至更弱的先驗(yàn)知識(shí)，且高階累計(jì)量對(duì)高斯白噪聲有良好的抑制作用。本文在分離系統(tǒng)中使用基于輸出信號(hào)的四階累積量的準(zhǔn)則調(diào)整濾波器W（z）的系數(shù)，使得分離信號(hào)滿(mǎn)足下式：

在式（13），期望值在實(shí)際中被統(tǒng)計(jì)平均值所代替，基于高階累積量的方法并以估計(jì)輸出信號(hào)的高階統(tǒng)計(jì)信息作為獨(dú)立判據(jù)。從式（11）可知，信號(hào)的分離準(zhǔn)則被定義為一種最小均方準(zhǔn)則問(wèn)題。本文并建立步長(zhǎng)因子與衡量分離狀態(tài)的二次殘差［6］的絕對(duì)值REQ（t ）之間的非線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系，使得步長(zhǎng)根據(jù)分離的狀態(tài)自適應(yīng)變化，使算法的收斂速度和分離精度都有所改善。其中REQ可用下式表示［6］：

式中，α、β為兩常數(shù)，通過(guò)式（15）使REQ（t ）的遞減規(guī)律與步長(zhǎng)因子的選取聯(lián)系起來(lái)。當(dāng)REQ（t ）較大時(shí)，表示系統(tǒng)處于分離的初始階段，這時(shí)選擇的步長(zhǎng)應(yīng)該較大，以獲得較快的收斂速度；而當(dāng)REQ（t ）較小時(shí)，表示系統(tǒng)處于分離的后期階段，算法應(yīng)較小的步長(zhǎng)值以獲得較好的分離效果，即通過(guò)式（15）即可以獲得較快的收斂速度以及較高的分離精度。

本文提出的多信號(hào)卷積混合的時(shí)域盲分離算法可表示為

5 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證算法的有效性，利用3個(gè)通信信號(hào)在存在3 dB高斯白噪聲情況下進(jìn)行卷積混合盲分離試驗(yàn)。3個(gè)源信號(hào)分別為S1調(diào)相信號(hào)：sin（2π1000t-6cos））；S2調(diào)幅信號(hào)：sin）sin）；S3方波信號(hào)：sign（cos））。

混合濾波器矩陣為

且混合濾波器階數(shù)L=25，初始步長(zhǎng)uij=0.001，α =10，β=0.04。采樣頻率為5 kHz，其中混合濾波器A（z）中的6個(gè)濾波器的響應(yīng)如圖3所示，仿真結(jié)果如圖4所示。

從圖4的仿真結(jié)果可知，本文提出的多源卷積混合的盲分離算法成功實(shí)現(xiàn)了多個(gè)源信號(hào)在卷積混合情況下的盲分離，并且從時(shí)域波形上可以看出分離效果較好，只是分離信號(hào)與源信號(hào)相比在幅度和順序都發(fā)生了變化，這是由盲源分離的不確定性造成的，這點(diǎn)可通過(guò)圖5的散點(diǎn)圖來(lái)說(shuō)明。

對(duì)散點(diǎn)圖的幾點(diǎn)說(shuō)明［7］：

（1）橫軸表示各個(gè)源信號(hào)的取值范圍，縱軸表示分離信號(hào)的取值范圍；

（2）若yj與si對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖呈一條直線(xiàn)，說(shuō)明yj是si的分離信號(hào)，當(dāng)直線(xiàn)與橫軸正方向呈銳角，說(shuō)明兩者相位也是一致的；呈鈍角則說(shuō)明相位相反；如果yj不是si的分離信號(hào)，則散點(diǎn)圖散亂盡管其非常規(guī)則；

（3）當(dāng)源信號(hào)滿(mǎn)足si≠sj（j≠i），散點(diǎn)圖的每行每列的小圖中最多形成一條直線(xiàn)或近似直線(xiàn)。

從圖5可以看出y3是s3的恢復(fù)信號(hào)，幅度改變了，且相位反相；y2是s1的恢復(fù)信號(hào)，幅度改變了，且相位反相；y1是s2的恢復(fù)信號(hào)，幅度沒(méi)變，但相位反相。

為了能進(jìn)一步體現(xiàn)本文算法的優(yōu)越性，利用本算法和文獻(xiàn)［2］提出的基于去相關(guān)準(zhǔn)則的算法分別對(duì)上述的含3 dB高斯白噪聲的卷積混合信號(hào)進(jìn)行盲分離試驗(yàn)，并從二次殘差REQ和算法收斂性能兩方面對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析。REQ用于檢驗(yàn)源信號(hào)的恢復(fù)質(zhì)量，其值的絕對(duì)值越小，則說(shuō)明分離效果越好。通過(guò)式（14）計(jì)算，分離前混合信號(hào)與源信號(hào)REQ分別為-43.452 dB、-43.321 dB、-45.221 dB，采用本文方法得到分離后的分離信號(hào)與源信號(hào)之間的REQ分別為-6.235 dB、-7.765 dB、-7.231 dB，而利用文獻(xiàn)［2］的算法，對(duì)三卷積源進(jìn)行分離試驗(yàn)得到的分離后的分離信號(hào)與源信號(hào)之間的REQ分別為-13.341 dB、-14.231 dB、-13.732 dB。本文方法較文獻(xiàn)［2］的方法源信號(hào)恢復(fù)質(zhì)量明顯更高，分離效果更好。以3個(gè)信號(hào)REQ的平均值REQ隨著迭代次數(shù)的變化情況來(lái)表征算法的收斂性能，仿真結(jié)果如圖6所示。

從圖6中可以看出，本文算法收斂速度較文獻(xiàn)［2］算法明顯加快，且精度也得到了提高。這是由于本文算法對(duì)卷積混合模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化，需要求解的參數(shù)也減少，計(jì)算量大大減少，算法引入四階累積量這一獨(dú)立性準(zhǔn)則，使得算法具有一定的抗高斯噪聲的能力，也為卷積模型的簡(jiǎn)化提供了依據(jù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的盲分離算法可成功應(yīng)用于多源卷積混合信號(hào)的盲分離問(wèn)題，并得到了良好的分離效果。

6 結(jié)論

本文針對(duì)多個(gè)信號(hào)卷積混合的分離問(wèn)題，在多信號(hào)卷積混合的一種合理的簡(jiǎn)化模型的基礎(chǔ)上，提出以四階累積量為獨(dú)立準(zhǔn)則，并利用后向分離系統(tǒng)成功實(shí)現(xiàn)多信號(hào)卷積混合的盲分離。由于高階累積量對(duì)高斯噪聲是盲的，可自動(dòng)改善信噪比。其次，算法也建立了步長(zhǎng)因子的選取與二次殘差之間的非線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系，使得算法既獲得了較快的收斂速度，也得到了較高的分離精度。仿真表明，本文提出的算法對(duì)于多個(gè)源信號(hào)卷積混合具有良好的分離效果，且較文獻(xiàn)［2］的相關(guān)方法收斂速度明顯加快。

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FU Shao-jun was born in Xinyang，Henan Province，in 1987. He is now a graduate student.His research direction is satellite communication.

Email：228362397＠qq.com

趙國(guó)棟（1989—），男，山西太原人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星通信；

ZHAO Guo-dong was born in Taiyuan，Shanxi Province，in 1989.He is now a graduate student.His research direction is satellite communication.

卓琨（1986—），男，陜西西安人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星通信。

ZHUO Kun was born in Xi′an，Shaanxi Province，in 1987.He is now a graduate student.His research direction is satellite communication.

A New Blind Source Separation Algorithm for Convolved Multiple Source Signals

FU Shao-jun，ZHAO Guo-dong，ZHUO Kun
（Telecommunication Engineering Institute，Air Force Engineering University，Xi′an 710077，China）

For the convolution mixture of multiple sources with noise signal，the mixed matrix is complex.The iteration number increases and convergence speed is more slow in the separation process.In this paper，a blind source separation algorithm for convolution mixture of multiple sources in time domain is proposed.This algorithm takes fourth-order cumulant as judgment criterion，so the algorithm can inhibit Gaussian white noise as the criterion offourth-order cumulant.The nonlinear function between the step-size ofthe algorithm and REQ is established，so convergence rate of the algorithm is faster and separation accuracy is higher.Simulation results illustrate the good performance of this algorithm for the convolution mixture of multiple source.

blind source separation；convolution mixture；fourth-order cumulant；REQ

TN911

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.03.015

付紹軍（1987—），男，河南信陽(yáng)人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星通信；

1001-893X（2012）03-0328-05

2011-11-16；

2012-01-20