李厚樸

1.海軍工程大學導航工程系，湖北武漢430033；2.海島（礁）測繪技術國家測繪地理信息局重點實驗室，山東青島266510

基于計算機代數系統的大地坐標系精密計算理論及其應用研究

李厚樸1，2

1.海軍工程大學導航工程系，湖北武漢430033；2.海島（礁）測繪技術國家測繪地理信息局重點實驗室，山東青島266510

大地坐標系精密計算往往涉及與參考橢球有關的各類復雜數學分析過程，以往主要依靠人工推導完成，導出的公式形式較為復雜，采取的近似處理影響了公式的精度，有的公式表現為具體的數值形式，僅適用于我國北京54坐標系和西安80坐標系下的解算。當前我國已經啟用2000國家大地坐標系，給出該基準下的精密計算公式以滿足測量和導航等相關學科的應用需求是非常有必要的。本文借助計算機代數系統，研究了常用坐標系統及其轉換、常用緯度、航線、地圖投影及其變換的精確計算問題，導出便于使用和記憶的符號形式的公式和算法，適用于不同參考橢球下的解算。主要內容如下：

（1）將計算機代數分析方法系統地應用于大地坐標系數學分析，提高了分析效率和計算精度。大地坐標系數學分析需要處理涉及橢球偏心率的冪級數展開、橢圓積分、隱函數高階導數求取等復雜數學分析問題。以往主要依靠人工推導完成，導出的公式存在一些小的近似或偏差。本文利用計算機代數系統對上述問題重新進行了推演和檢核，導出了一些過去人工推導未能實現的公式和算法，計算機代數系統的程序化設計語言保證了結果的準確性和可靠性，極大地提高了推導效率。

（2）利用計算機代數系統強大的數學分析能力，推導和建立了橢球各緯度間正反解變換的符號表達式，將以往反解系數的數值形式改進為橢球偏心率e的冪級數形式。推導出大地緯度、地心緯度和歸化緯度相互變換的展開式；推導出等距離緯度、等角緯度和等面積緯度正解展開式，糾正了傳統正解公式系數高階項中存在的偏差；分別采用冪級數展開法、Hermite插值法和Lagrange級數法推導出形式一致、展開式系數完全相同的等距離緯度、等角緯度和等面積緯度反解展開式。上述各類展開式均為正弦函數的倍角形式，展開式系數為橢球第一偏心率e的冪級數形式，并且擴展至e10，給出了我國常用大地坐標系下展開式的系數值，設計算例分析了展開式的精度。

（3）以緯度正反解符號表達式為基礎，改進航海導航領域常用航線的數學表示形式，實現了各類航線的精確計算。研究了Bessel大地主題的精確解算問題，推導出大地線長和球面弧長、橢球面經差和球面經差的關系式，將公式系數分別展至e8，提高了公式的計算精度；在此基礎上，給出了一般情況下Bessel大地主題正解的直接解法和反解的迭代解法，研究了特殊情況下的大地主題正反解，探討了Bessel大地主題反解的非迭代解法。改進了計算導航大地線長的大橢圓法，解決了顧及高程時兩點間大地距離的計算問題，推導出以地心緯度為變量的子午線弧長公式，簡化了傳統大橢圓法的計算過程；通過構造過具有兩已知點平均高程的點且與原橢球相似的新橢球，將兩已知點歸化到該橢球上，利用Andoyer－Lambert公式和大橢圓法計算新橢球上兩點間的大地距離，解決了具有高程的兩點間大地距離的精確計算問題。研究了大圓航線、大橢圓航線和恒向線的計算問題，給出了大圓航線的初始航向角、航程和各分點坐標的計算公式；顧及旋轉橢球的對稱性，采用空間向量分析的方法推導出了大橢圓航線初始航向角和各分點坐標的計算公式；分析了傳統墨卡托航法和傳統中分緯度航法存在的缺陷，對其數學公式進行了重新設定，得到了改進的墨卡托航法和改進的中分緯度航法，提高了航跡計算精度。

（4）建立正軸圓柱投影和正軸圓錐投影的直接變換模型，避免過去間接變換導致的誤差。推導出子午線弧長、等量緯度和等面積緯度函數間變換的直接展開式，將展開式系數統一表示為橢球第一偏心率e的冪級數形式。在此基礎上，系統地建立了正軸圓柱投影間、正軸圓錐投影間以及正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間的直接變換模型。與傳統變換公式相比，這些變換模型形式更為簡單，計算更為精確。

（5）以復變函數為基礎，建立高斯投影、墨卡托投影和等角圓錐投影及變換的復變函數表示形式。將子午線弧長和等量緯度變換的直接展開式拓展至復數域，推導出復變函數表示的高斯投影正反解非迭代公式，給出墨卡托投影和等角圓錐投影正反解的復變函數表達式，并在此基礎上推導出高斯投影、墨卡托投影和等角圓錐投影間變換的復變函數表達式。與傳統實數變換公式相比，這些復數公式形式更為簡單，理論更為嚴密。

E－mail：lihoupu1985＠126.com

The Research on the Precise Calculation Theory of Geodetic Coordinate System Based on Computer Algebra System and Its Application

LI Houpu1，2
1.Department of Navigation，Naval University of Engineering，Wuhan430033，China；2.Key Laboratory of Surveying and Mapping Technology on Island and Reef，National Administration of Surveying，Mapping and Geoinformation，Qingdao 266510，China

his doctorate in navigation，guidance and control from Naval University of Engineering in December 2010.His research interests include geodesy and satellite navigation.

P226

D

1001－1595（2011）05－0630－01

國家自然科學基金（40774002；40904018）；海島（礁）測繪技術國家測繪地理信息局重點實驗室開放研究基金（2010B04）

2011－01－18

李厚樸（1985—），2010年12月獲海軍工程大學導航、制導與控制專業(yè)博士學位（指導教師：邊少鋒教授）。主要研究方向為大地測量與衛(wèi)星導航。

Author：LI Houpu（1985—），he