■武漢市郭希連名師工作室駱惠

《幾個常用函數(shù)的導數(shù)》教學實錄及反思

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第一部分教學過程簡錄

一、創(chuàng)設情境，明確目標

前面我們學習了導數(shù)的幾何意義是曲線上某點處切線的斜率，切線問題是微分學的中心問題，曲線的切線問題又是我們學習導數(shù)應用的一個熱點問題。請看下面問題：

教師：確定一條直線需要兩個條件，從題中可以分析得切線哪兩個條件呢？

學生：易知點P（1，1）即為切點，又由導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率k=f＇(1)。

教師：函數(shù)在某點處的導數(shù)是導函數(shù)在該點所對應的函數(shù)值，因此解題的關鍵就在于如何求函數(shù)的導數(shù)。在導數(shù)問題中常常需要求出函數(shù)的導數(shù)，如何求出函數(shù)的導數(shù)呢？這節(jié)課我們就來研究幾個常用函數(shù)的導數(shù)。

二、合作探究，研究新知

1.例題導析

教師：事實上，導數(shù)定義本身，就給出了求導數(shù)的最基本的方法，瞬時變化率就是導數(shù)，求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)就是求出Δx當趨近于0時，所趨近于的那個值。

（師生共同完成下面求導過程，并強化學生對導數(shù)里的概念符號的熟悉和運用）

提煉方法：由導數(shù)定義求導數(shù)的方法。

教師：下面大家利用所得函數(shù)的導數(shù)求出前面曲線的切線方程。

教師：求出函數(shù)的導數(shù)往往是解決導數(shù)問題的必經(jīng)之路，雖然導數(shù)定義本身，給出了求導數(shù)的最基本的方法，但由于直接運用定義求導數(shù)這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，我們需要知道一些常用的函數(shù)的導數(shù)，以方便導數(shù)的運算。下面再來求幾個常用函數(shù)的導數(shù)。

2.試一試：你能求出下列幾個常用函數(shù)的導數(shù)嗎？（三個學生演排，仿照前例求導）

（1）函數(shù)y=f(x)=c的導數(shù)（學生演板過程略）；

（2）函數(shù)y=f(x)=x的導數(shù)（學生演板過程略）；

（3）函數(shù)y=f(x)=x2的導數(shù)（學生演板過程略）。

3.在例題解析中，師生共同重點討論以下內容，討論有關方法：

（1）規(guī)范的過程（讓其他學生上黑板糾錯）；（2）理解當Δx趨近于0時，為常數(shù)時所趨近于的那個值就是本身；

教師：在常函數(shù)和一次函數(shù)的求導中都出現(xiàn)了平均變化率為常數(shù)的情況，怎樣理解當Δx趨近于0時，為常數(shù)時所趨近于的那個值就是本身呢？平均變化率為常數(shù)意味著平均變化率受不受Δx值的影響？

學生：不受影響。

（3）對（2）作變式處理：求函數(shù)y=2x，y=3x，y=4x的導數(shù)，引伸到函數(shù)y=kx (k≠0)的導數(shù)（為下面幾何意義的探究做好鋪墊）。

教師：導數(shù)是近代數(shù)學中微積分的核心概念之一，它的產(chǎn)生有著深厚的物理背景。這三個常用函數(shù)的導數(shù)蘊涵著怎樣的物理意義呢？

探究物理意義：分析上述三個常用函數(shù)的導數(shù)的物理意義。

教師：如果我把這三個常用函數(shù)都看成是路程關于時間的函數(shù)（x是時間，y是路程），它們的物理意義又分別是什么？（復習導數(shù)物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度，學生思考作答）

①y＇=0可以解釋為某物體每個時刻的瞬時速度始終為0，即物體一直處于靜止狀態(tài)。

②y＇=1可以解釋為某物體每個時刻的瞬時速度始終為1，即物體在做瞬時速度為1的勻速運動。

③y＇=2x可以解釋在時刻的瞬時速度為2x，即隨時間x的改變物體瞬時速度2x也在隨著改變，故物體在做變速運動。

函數(shù)y = c y = x y = x2導數(shù)y＇= 0 y＇= 1 y＇= 2 x物理意義物體靜止勻速運動變速運動

教師：三個常用函數(shù)的導數(shù)的物理意義分別是運動物體的三種不同運動狀態(tài)。

探究幾何意義：分析常用函數(shù)的導數(shù)的幾何意義。

教師：常用函數(shù)的導數(shù)中又蘊涵著怎樣的幾何意義呢？我們先來看課本提出的一個探究問題：

根據(jù)導數(shù)的定義，y=2x，y=3x，y=4x求函數(shù)的導數(shù)。并在同一平面直角坐標系中，畫出它們的圖象。

（1）從圖象上看，它們的導數(shù)分別表示什么？

（2）這三個函數(shù)中，哪一個增加得最快？哪一個增加得最慢？

（3）函數(shù)y=kx (k≠0)增（減）的快慢與什么有關？

教師：通過前面的學習我們已經(jīng)得到（1）的答案是什么？

學生：y＇=2，y＇=3，y＇=4導數(shù)分別為這些直線的斜率。

教師：很好?。?）聯(lián)系著（1）進行思考并說明一下為什么。

學生：y=4x增加得最快，y=2x增加得最慢，因為函數(shù)y=4x的斜率比函數(shù)y=4x的斜率要大。

教師：（3）在（1）（2）的問題上就不難得到答案是什么。

學生：函數(shù)增（減）的快慢與斜率k值有關。

教師：由（1）知導數(shù)分別表示斜率，而斜率又是導數(shù)的幾何意義，那不就是函數(shù)的增（減）的快慢與其導數(shù)有關，它們又有著怎樣的關系呢？下面我們進一步來觀察一下函數(shù)y=x2與函數(shù)圖象的變化情況與其導數(shù)是否存在這種關系。

教師：（打開幾何畫板）大家?guī)е齻€問題觀察圖像，隨著x變大，（1）圖像的增（減）變化情況；（2）增（減）的快慢情況（啟發(fā)：如何看增（減）快慢呢？鼠標像右拖動一格看圖像上升下降多少）；（3）導數(shù)絕對值的變化情況。

1.函數(shù)y=x2的導數(shù)是y＇=2x。（幾何圖略）

當x>0時y＇>0，隨著x的增加y＇在增大，函數(shù)y=x2增加得越來越快。

教師：通過對兩個函數(shù)圖像與導數(shù)值的變化情況的觀察的結論，我們可以歸納得如下結論：函數(shù)圖象增（減）的快慢與函數(shù)的導數(shù)間的關系。

當y＇>0時，導數(shù)值越大函數(shù)增加得越快，導數(shù)值越小函數(shù)增加得越慢。

教師：此結論說明導數(shù)可以反映函數(shù)的變化快慢。

教師：下面再來求一個較為復雜點的函數(shù)的導數(shù)。

（給時間學生在下面求導，稍后師生共同探討）

教師：求導過程中大家遇到什么難題沒有？

教師：你們怎么解決的呢？

有學生搶答：分子實數(shù)化。

教師：精彩！分子實數(shù)化是無理式常用的變形方法，我們在變中求“通”變中求“活”！

（利用實物投影儀展示學生解答）

函數(shù)導數(shù)y=x■y＇=1 2x■

探究規(guī)律：探究五個函數(shù)特點，五個函數(shù)與其導數(shù)之間的規(guī)律。

教師：我們求出了五個常用函數(shù)的導數(shù)，其實這幾個常用函數(shù)有一個統(tǒng)一的名稱叫冪函數(shù)（學生回答）。冪函數(shù)的求導有沒有統(tǒng)一的規(guī)律呢？

教師：請觀察，觀察結構特征、觀察數(shù)據(jù)特點、觀察系數(shù)是怎么來的、觀察指數(shù)是怎么變化的?

學生：導函數(shù)的系數(shù)是原函數(shù)的指數(shù)，導函數(shù)的指數(shù)是原函數(shù)的指數(shù)減1。

教師：按這個規(guī)律我們大膽猜想冪函數(shù)y=f(x)=xn(n∈Q*)的導函數(shù)是什么？

學生：y＇=nxn-1.

推廣：若y=f(x)=xn(n∈Q*)，則f＇(x) =nxn-1

教師：這就是數(shù)學所展現(xiàn)出的美與魅力！

教師：它就是下節(jié)課中冪函數(shù)的導數(shù)公式。常用的函數(shù)還有很多，如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)。它們的導數(shù)都是什么?一個復雜點的函數(shù)往往還要進行加減乘除運算，還有復合函數(shù)，導數(shù)的運算法則又是怎樣的.這些我們將在下節(jié)課進一步學習。

三、鞏固提高

（師生共同探討，當堂實驗以下習題）

1.（1）f(x)=0的導數(shù)是（）

A.0B.1C.不存在D.不確定

（3）.如果函數(shù)f(x)=5，則f＇(1)=（）

A.5B.1C.0D.不存在

四.引導小結

1.用導數(shù)定義推導了幾種常用函數(shù)的導數(shù)，它們都是公式要熟記。

______函數(shù)______y=c ______y=x導數(shù)_ _ y＇=0_ _ y＇=1_ _物理意義物體靜止勻速運動______y=x_____ __2y＇=2x變速運動y=1 ________x y＇=-1 x2y=x■y＇=1__ _________________ ______2x■y=f(x)=xn(n∈Q*) y＇=nxn-1

2.探究了常用涵數(shù)導數(shù)的幾何意義及物理意義。

3.學習了常用函數(shù)導數(shù)的基本應用，下節(jié)課將進一步學習導數(shù)的運算及其應用。

五、分層作業(yè)

必做題：1.課本18面習題1.2A組第1題；

選做題：（2010·江蘇，8）函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(ak，ak2)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak+1，其中k∈N*，若a1=16，則a1+a2+a3的值是________.

第二部分教學反思

一、基本情況

本節(jié)課是我參加武漢市高中數(shù)學“課內比教學”的一節(jié)參賽課，施教對象為武漢市育才高中平行班學生。由于學生基礎不是很好，學生學習導數(shù)的知識也才幾節(jié)課，因此對導數(shù)的概念掌握不是很熟練，理解得也不是很透徹，對符號的表示和運用也有些困難，于是教師在教學中就格外注意在探究新知識的同時強化舊知識復習，加深學生對概念的理解，培養(yǎng)學生語言表達及符號運用的能力。

二、教學設計指導思想

本課初看課題感覺本節(jié)課內容太單一、太簡單,教學中，一般教師不會太重視。通過仔細研讀教材、教參，查閱一些資料后，我放棄常規(guī)使用的從舊知識的復習入手的方法，改為利用教材中的探究問題即以曲線的切線這個高中導數(shù)應用的熱點問題引入，首先就讓學生明白我們?yōu)槭裁匆獙W習幾個常用函數(shù)的導數(shù)，進一步思考怎樣去求函數(shù)的導數(shù)，而舊知識的復習則采用隨著學習的需要逐步進行。

本節(jié)課五個常用函數(shù)的求導都運用的是導數(shù)的定義求導，教學中讓學生認識到導數(shù)的定義本身就給出了求函數(shù)導數(shù)最基本的方法，并讓學生明確其步驟,本節(jié)課的學習又不能僅僅停留在五個常用函數(shù)的導數(shù)公式的推導上。在教學設計上，教師怎樣充分利用五個常用函數(shù)的導數(shù)來挖掘更深層次的東西，準確表達教材意圖，設計了三個探究問題讓學生感受導數(shù)蘊涵的內涵。一是利用三個函數(shù)y=c，y=x，y=x2的導數(shù)，讓學生感受導數(shù)的物理背景；二是利用函數(shù)y=x2及函數(shù)y=1 x的導數(shù),讓學生感受導數(shù)中所蘊涵的幾何意義；三是利用五個常用函數(shù)與其導數(shù)間存在的內在規(guī)律,讓學生感受數(shù)學的美與魅力。

最后，讓學生在導數(shù)問題中感受導數(shù)公式給我們帶來的便捷，讓學生在期盼中去學習下節(jié)課更多的導數(shù)公式。

（作者單位：武漢市黃陂區(qū)第一中學）

責任編輯 王愛民