林文賢

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系，廣東潮州 521041）

1 引言

為了統(tǒng)一微分和差分，1988年德國(guó)學(xué)者Stefan Hilger在他的博士論文[1,2]中首次提出了測(cè)度鏈微積分（The calculus of measure chains）.他的博士導(dǎo)師Bernd Aulbach教授指出，這種新的微積分有三個(gè)主要目的：統(tǒng)一、推廣和離散化（Unification-Extension-Discretization）.而對(duì)于許多情況，只需考慮測(cè)度鏈（measure chains）的一種情形——時(shí)標(biāo)（Time Scale）.一個(gè)時(shí)標(biāo)指的是實(shí)數(shù)集?的任一非空閉子集，它具有由?誘導(dǎo)的拓?fù)湟约?中的順序關(guān)系，通常用記號(hào)T表示.對(duì)于定義在T上的函數(shù) y，考慮其上的所謂 Δ-導(dǎo)數(shù) yΔ和n階時(shí)標(biāo)動(dòng)力方程（Dynamic Equations on Time Scale）f(t,y,yΔ,yΔΔ,…,yΔn)=0.當(dāng)T=?為實(shí)數(shù)集時(shí)，這種導(dǎo)數(shù) yΔ是通常的導(dǎo)數(shù)y′，這些動(dòng)力方程即是微分方程；而當(dāng)T=?為整數(shù)集時(shí)，這種導(dǎo)數(shù)yΔ是通常的前差分Δy（the forward difference）這些動(dòng)力方程則是差分方程.特別重要的是，除了T=?和T=?外，還有許多十分有趣的其它形式的時(shí)標(biāo)，如T=q?:={qk|k∈?}?{0}，其中 q＞1；T=h?:={hk|k∈?}，其中 h＞0；其中a,b＞0；T={tk|k∈?}，其中對(duì)所有k∈?有tk∈R且tk＜tk+1.

這些時(shí)標(biāo)給我們提供廣泛的應(yīng)用空間.需要強(qiáng)調(diào)的是：盡管微分方程和差分方程有許多類(lèi)似的結(jié)果，但仍然存在大量本質(zhì)上完全不同的性質(zhì)和結(jié)論.

對(duì)時(shí)標(biāo)理論（The theory of time scale）的研究，既是數(shù)學(xué)理論自身發(fā)展的需要，也是實(shí)際問(wèn)題的需要.時(shí)標(biāo)理論的研究不僅能把微分方程理論和差分方程理論很好地結(jié)合在一起，而且所有結(jié)果比微分方程和差分方程理論的更為廣泛，它能夠把這些古典情形擴(kuò)充到“兩者之間”，例如擴(kuò)充到所謂的q-差分方程（在量子理論方面有重要的應(yīng)用）.由于實(shí)際模型所對(duì)應(yīng)的時(shí)標(biāo)動(dòng)力方程可解決把停止——開(kāi)始行為和連續(xù)行為結(jié)合在一起的問(wèn)題，因此計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)、工程技術(shù)、物理等領(lǐng)域的許多現(xiàn)象用時(shí)標(biāo)動(dòng)力方程來(lái)描述，更能揭示其本質(zhì)屬性.譬如，利用這一理論建立的昆蟲(chóng)種群模型和電網(wǎng)模型更符合實(shí)際[3,4].

文獻(xiàn)[5]中稱(chēng)“這種時(shí)標(biāo)動(dòng)力方程是更能反映現(xiàn)實(shí)世界的方程式”.

近十幾年來(lái)，對(duì)時(shí)標(biāo)上動(dòng)力方程的振動(dòng)性和非振動(dòng)性理論的研究已經(jīng)得到國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的極大關(guān)注，發(fā)展迅速，取得了大量的成果[6-18].

本文將考慮如下的一類(lèi)二階非線(xiàn)性變時(shí)滯中立型時(shí)標(biāo)動(dòng)力方程

其中自變量t在時(shí)標(biāo)T上變化.這里sup T=∞且h(t)→∞(t→∞).

在T上本文定義了前跳算子 σ(t):=inf{s∈T:s＞t}和后跳算子 ρ(t):=inf{s∈T:s＜t}.對(duì)于函數(shù)f:T→?，我們說(shuō) fΔ(t)是 f在t∈T處的Δ-微分，如果

存在（此處 fΔ(t)要求t∈Tk:=T{m}，如果m存在，其中m是指T的最大孤立點(diǎn)），并且對(duì)任意的ε＞0，存在U=(t-δ,t+δ)?T 使得

對(duì)所有t∈T成立. f的Δ-微分與其步差算子 μ(t)?σ(t)-t之間存在著重要關(guān)系 fσ=f+μfΔ，其中fσ=f°σ.對(duì)任意的兩個(gè)Δ-微分的函數(shù) f和g，其乘積與商的Δ-微分分別為

不妨設(shè)Crd(T,S)是表示T上的所有右稠連續(xù)函數(shù) f:T→S??的一個(gè)集合.稱(chēng) f在t∈T上是右稠連續(xù)的，如果 f在所有右稠密點(diǎn)連續(xù)（所謂右稠密點(diǎn)是指滿(mǎn)足σ(t)=t的點(diǎn)）且在所有的左稠密點(diǎn)（ρ(t)=t）和右發(fā)散點(diǎn)（σ(t)＞t）的左極限存在.文獻(xiàn)[3]表明右稠密點(diǎn)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).其Cauchy積分由 ∫abfΔ(t)Δt=f(b)-f(a)定義，其中 t∈T.如果 a∈T,sup T=∞且 f是[a,∞)上的右稠連續(xù)函數(shù)，則可定義廣義積分如下如果極限存在，稱(chēng)廣義積分是收斂的，如果極限不存在，則稱(chēng)廣義積分是發(fā)散的.當(dāng)a,b∈T,f,g∈Crd時(shí)，有[3]

方程（1）的一個(gè)解是指定義在T的區(qū)間[b,∞)上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)x，且在[c,∞)上滿(mǎn)足（1），其中c＞b足夠大使得h(t)≥b,t≥c，稱(chēng)（1）的一個(gè)解x:T→?是（1）的一個(gè)最終正解，若存在t0∈T使得x在[t0,∞)是正的.考慮到時(shí)標(biāo)T或許是不連續(xù)的，我們說(shuō)函數(shù)x:T→?在h∈T有一個(gè)一般的零點(diǎn)，如果x(h)=0或者h(yuǎn)左發(fā)散的（ρ(h)＜h）且x(h)x(ρ(h))＜0.我們說(shuō)方程（1）的一個(gè)解是振動(dòng)的，如果對(duì)任何r∈T存在一個(gè)t∈T滿(mǎn)足t＞r使得x在t有一個(gè)一般的零點(diǎn).

本文的目的是利用廣義Riccati變換、完全平方技巧和參數(shù)函數(shù)而得到時(shí)標(biāo)動(dòng)力方程（1）的新的振動(dòng)準(zhǔn)則，推廣和包含了文獻(xiàn)[17,18]的結(jié)果，并且在時(shí)標(biāo)上統(tǒng)一了二階中立型微分方程和差分方程解的振動(dòng)性質(zhì).

2 主要結(jié)果

為方便起見(jiàn)，令

并且，在本文中總假設(shè)：

（a） P,Q,F∈Crd(T,R),τ∈Crd(T,T),且

（b）當(dāng)t≥t0時(shí),Q(t)非負(fù)且不恒為零；

（c） xF(x)≥0且F(x)x≥C(x≠0),其中C為正常數(shù);

（e） h(σ(t))≤σ(h(t)),h(t)≤σ(t).

下面的引理在本文中用到.從（2）式立即可以得到下面第一個(gè)引理.

引理1 假設(shè) f和g都是Δ-可微的，則

引理2[17]假設(shè)條件（d）成立，則σ～(h(t))=h(σ(t))，其中指上的前跳算子.

引理3[17]假設(shè)條件（d），(e)成立，如果 yΔΔ≤0,t∈T.令代表=h(T)上的微分，則

引理4 若x(t)是方程（1）的一個(gè)非振動(dòng)解，則有yΔ＞0且yΔΔ(t)≤0,t≥t1.

證明 假設(shè)x(t)是方程（1）的一個(gè)非振動(dòng)解.不失一般性，不妨設(shè)x(t)為一最終正解.即x(t)＞0 ， t≥T0＞t0.由 條 件(a)， 存 在 t1≥T0使 得 y(t)≥x(t)＞0,t≥t1.于 是,存 在 t1≥t?≥t0,使 得從方程(1)可知

因?yàn)镼(t)非負(fù)且不恒為零,故yΔ(t)最終定號(hào).我們斷言yΔ(t)＞0,t≥t1.否則，存在t2≥t1，使得yΔ(t2)=-β＜0 且 yΔ(t)≤-β ，對(duì)每一個(gè) t≥t2成立.故有

而這與“ y(t)＞0,t≥t1”相矛盾.因此有 yΔ＞0 且 yΔΔ(t)≤0,t≥t1.證畢.

證明 假設(shè)x(t)是方程（1）的一個(gè)非振動(dòng)解，不失一般性，不妨設(shè)x(t)最終為正，即存在t1≥t0，使得當(dāng)t≥t1時(shí)有y(t)＞0,x(h(t))＞0（若x(t)最終為負(fù)，證明類(lèi)似）.定義

從（2）式和引理1有

由引理4有 yΔ＞0 且 yΔΔ(t)≤0,t≥t1.由引理3，易知對(duì)一切 t≥t1有 y(h(t))≤x(h(σ(t)))且yΔ～(h(t))≥yΔ(h(t))≥yΔ(σ(t)).由 （3） 式有

由(7)和 (c),方程(1)可寫(xiě)成

根據(jù)條件(d)，（6）和（8）式，可得

對(duì)上述的不等式從t1到t(≥t1)積分得

在上式中，讓t→+∞，在上式兩端取上極限，則可知與條件（5）相矛盾.定理1得證.

注1 當(dāng)P(t)≡0時(shí)，定理1就成為文獻(xiàn)[17]的結(jié)論.

定理2 假設(shè)將條件(a)～(e)成立，記

（Ⅰ） H(t,t)=0,t≥t0;在D0上，H(t,s)＞0;

（Ⅱ）H(t,s)在D0上對(duì)s連續(xù)且有非正的偏導(dǎo)數(shù).即(t,s)∈Crd(D0,?)，(t,s)≤0;

證明 假設(shè)x(t)是方程（1）的一個(gè)非振動(dòng)解，不失一般性，不妨設(shè)x(t)最終為正 (若x(t)最終為負(fù)，證明類(lèi)似）.仿定理1定義w(t)，則由定理1的證明可以得到(9)式，即

將上式的t用s替換后兩邊同乘以H(t,s)k(s)，積分且由（Ⅲ）得

所以

對(duì)于t≥t1由條件（Ⅱ）有

因此

這與（10）矛盾.定理2得證.

注2 當(dāng)P(t)≡0時(shí)，定理2就成為文獻(xiàn)[18]的結(jié)論.

[1]HILGER S.Ein Mabkettenkalkul Mit Anwendung auf Zentrumsmannig faltigkeiten[D]. Wurzburg： University Wurzburg,1988.

[2]HILGER S.Analysis onmeasure chains-a unified approach to continous and discrete calculus[J].Results Math,1990,18（1）:18-56.

[3]MARYTIN B,ALLEN P.Dynamic Equations on Time Scales:An Introduction and Applications[M].Boston：Birkh?user，2001.

[4]AGARWALR,BOHNER M.O’REGAN D,et,al.Dynamic equations on time scales:a survey[J].J Comput Appl Math，2002，141（1-2）：1－26.

[5]瓦妮薩-斯佩丁.征服自然界的數(shù)字[N].參考消息，2003-08-13（7）.

[6]KAYMAKCALAN B,LAKSHMIKANTHAN V,SIVASUNDRAM S.Dynamic Systems on Measure Chains,Mathematics and its Applications[M].Dordrecht：Kluwer Academic Publishers,1996：370.

[7]AGRWALR,BOHNERM.Basic calculuson time scales and some of it sapplications[J].Results Math，1999，35:3-22.

[8]ERBE L,MATHSEN R,PETERSON A.Factorng linear differential operators on measure chains[J].Journal of Inequalities and Applications,2001,6（2）：287-303.

[9]LIN Wenxian.A note on oscillation for systems of high order quasilinear partial differential eqations of neutral type[J].Applied Mathe matics and Computation,2004，156（3）：563-576.

[10]林文賢.一類(lèi)非線(xiàn)性偶數(shù)階中立型方程的振動(dòng)準(zhǔn)則[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，22（1）：159-162.

[11]林文賢.一類(lèi)具連續(xù)偏差變?cè)亩A非線(xiàn)性中立型方程的振動(dòng)性[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，34（4）：1-3.

[12]LIN Wenxian.Interval oscillation theorems for certain second order neutral differential equations with continuous deviating arguments[J].Southeast Asian Bulletin of Mathematics,2010，34（6）：1055-1061.

[13]林文賢.具有阻尼項(xiàng)的中立型Emden-Fowler方程的區(qū)間振動(dòng)準(zhǔn)則[J].韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，32（6）：8-11.

[14]LIN Wenxian.A note on oscillation of certain second order partial functional differential equation with damping[J].Pioneer Journal of Mathematics and Mathematics Sciences,2012，4（1）：125-128.

[15]林文賢.具連續(xù)分布時(shí)滯的二階半線(xiàn)性中立型阻尼泛函微分方程的Philos型振動(dòng)定理[J].韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，33（3）：7-12.

[16]林文賢.具連續(xù)偏差變?cè)亩A阻尼微分方程的振動(dòng)性[J].中國(guó)科學(xué)院研究生院學(xué)報(bào)，2012，29（5）：594-598.

[17]吳洪武，謝勝利，徐遠(yuǎn)通.時(shí)標(biāo)上的二階變時(shí)滯動(dòng)力方程的振動(dòng)準(zhǔn)則[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007，37（20）：131-135.

[18]王艷群，羅李平.時(shí)標(biāo)上的二階變時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的振動(dòng)準(zhǔn)則[J].衡陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，31（3）：18-21.